2.6 1925年，海森堡提出了矩阵力学
让我们回到玻尔的原子模型中来。原子中电子的运动方程是怎样的呢？它应该是能级和时间的函数。在一个特定的能级x上，电子以ν频率作周期运动。根据傅里叶分析：任意形状的函数X（νx），都可以把它写成一系列震辐为Fn，频率为nνx的正弦波的叠加：
玻尔理论正是用这种经典方法来处理的：一个能级对应于一个特定的频率。但是，海森堡指出，一个绝对的“能级”或“频率”，有谁曾经观察到这些物理量？没有，我们唯一可以观察的只有电子在能级之间跃迁时的“能级差”。既然单独的能级x无法观测，只有“能级差”可以，那么频率必然表示为两个能级x和y的函数。我们用傅里叶级数展开的不再是nνx，而必须写成νx，y来表示电子频率。νx，y是什么东西？它竟然有两个坐标，这就是一张二维表格。是的，物理世界就是由这些表格构筑的。
图2.11 海森堡
海森堡采用一种二维表来表示物理量，表中每个数据用横坐标和竖坐标的两个交量来表示。比如下面这个3×3的方块表示：
其实就是3×3矩阵。海森堡的表格和玻尔的原子模型不同，它没有作任何假设和推论，不包含任何不可观察的数据。但作为代价，它采纳了一种二维的庞大结构。然而，让人不能理解的是，这种表格难道也像普通的物理变量一样能够进行运算吗？你怎么把两个表格加起来，或者乘起来呢？因为对于当时的物理学家来说，矩阵几乎是一个完全陌生的名字。甚至连海森堡自己对于矩阵的性质也不完全了解。例如下面两个矩阵Ⅰ和Ⅱ相乘：
居然得出结果：Ⅰ×Ⅱ≠Ⅱ×Ⅰ。
有人讽刺地说，那么牛顿第二定律究竟是F＝ma还是F＝am呢？海森堡回答说，牛顿力学是经典体系，我们讨论的是量子体系。永远不要对量子世界的任何奇特性质过分大惊小怪，否则会让你发疯的。量子的规律，并不一定要受乘法交换律的束缚。海森堡坚定地沿着这条奇特的表格式道路去探索物理学的未来。
经典力学常用的动量p和位置q这两个物理量也要变成矩阵表格，它们并不遵守传统的乘法交换律，p×q≠q×p。后来，玻恩和约尔丹甚至把p×q和q×p之间的差值也算出来了，其结果是
（式中I为单位矩阵）。
可见，原有的乘法交换律被破坏了，但用h/2πi代替0之后，又重建了一种量子力学新关系。新关系中包含了普朗克常数h，因而打上了量子化的烙印。经典的牛顿力学方程被矩阵形式的量子方程所代替，成为量子力学的第一个版本。1925年12月，爱因斯坦在给好友贝索的信中对这个新理论评价说：
近来最有趣的理论成就，就是海森堡—玻恩—约尔丹的量子态的理论。这是一份真正的魔术乘法表，表中用无限的行列式（矩阵）代替了笛卡儿坐标。它是极其巧妙的……
后来，玻恩对这个新的力学表述自己的看法时说：“这是从经典力学的光明世界走向尚未探索过的、依然黑暗的新的量子力学世界的第一步。”