| 第二章 |
数字的形成

与此同时，在美索不达米亚，一切欣欣向荣。在公元前4千纪末期，那些小小的村庄逐渐发展为繁荣兴旺的城市。这时，有一些城市甚至已经有了数万的人口！工艺技术也进入了史无前例的飞速发展阶段。不论是建筑师、金银匠、制陶工、织布工、木匠还是雕刻师，都必须不断地推陈出新、展露天赋，才能迎接他们所面临的技术挑战。彼时，冶金业还没有得到完全的发展，不过人们已经开始了一些尝试。

逐渐地，在整个美索不达米亚地区，城市之间的道路开始形成交通网络；文化与商业交流也日益增多；越来越复杂的等级制度被建立起来，智人们发现了行政管理的乐趣。所有这一切，都需要一个神圣的组织！为了实现一定的秩序，对于我们智人来说，是时候发明书写了，因为有了文字，智人才走进了历史。而在这一伟大革命酝酿之际，数学将发挥其先锋的作用。

随着幼发拉底河一路奔腾向前，我们离开了见证人类历史上第一批定居村庄诞生的美索不达米亚北部高原，朝着位于美索不达米亚平原地区的苏美尔文明的方向进发，这里——美索不达米亚南部大草原上——汇集了主要的人口中心。沿着幼发拉底河，我们穿越了基什城邦、尼普尔城邦和舒鲁帕克城邦。这些城市都还很年轻，但是在未来的几个世纪中，伟大与繁荣的承诺将在前方等着它们。

随后，突然，乌鲁克城出现在了地平线上。

乌鲁克城是一个熙熙攘攘、人口密集的地方，它的声望和权力照亮了整个西亚地区。城市主要由经过烧制的土砖建筑而成，远远望去，仿佛巨大的橘色身影笼罩在超过100公顷的地面上，迷路的散步者能在四通八达的阡陌小巷中转悠好几个小时。在城邦的中心，矗立着几座壮观的庙宇。人们在那里祭拜众神之父——安神[1]，尤其是伊南娜[2]——天空女王，人们正是为了她修建了伊南娜神庙（天之屋），其中最大的建筑物长达80米、宽30米。路过的游客们看到此景无不叹为观止。

夏季即将到来，像往年一样，这个时候，一种特殊的兴奋之情笼罩着整座城市。就在几天之后，羊群将前往北部的牧区，直到炎热的季节结束之后才会重新返回。在长达几个月的时间内，牧羊人们将负责看护牲畜，保证它们的生存给养和安全，以便在夏季结束之后，将它们完完整整地带回来归还给主人。伊南娜神庙就拥有好几群羊，其中最大的一群大概有几万只。运输羊群的车队规模十分庞大，以至于有时候需要一些士兵的陪同，以保护运输队伍的安全。

然而，对于羊群的主人们来说，这并不意味着万事大吉、万无一失了，他们必须得做一些防范才行。与牧羊人的合同内容很明确：牧羊人必须保证，带出去多少只羊，带回来也要多少只羊。主人不会允许牧羊人让羊群部分走失，或者用羊和其他什么人进行秘密交换。

于是，问题来了：如何比较羊群离开时和回来时之间的大小关系呢？

为了回答这个问题，在过去的几个世纪里，人类发明了一种黏土筹码系统。这个系统包括多种类型的筹码，根据形状和花纹的不同，每一种筹码对应一个或者几个物品或者动物。比如，一个简单的圆盘，在上面画一个十字标记，就表示一只羊。在牧羊人带着牲畜离开的时候，主人向收据桶里投掷一定数量的筹码，正好对应牲畜群的规模大小。等到牧羊人带着牲畜回来的时候，只需要对比收据桶里的筹码，主人就能确定所有的牲畜是否都顺利归来了。很久很久以后，这些筹码获得了一个拉丁语的名字——calculi，意思是“小石头”，正是在这个词根的基础上，衍生出了“计算”（calcul）一词。

这种方法方便是方便，却有一个缺陷——谁来看管这些筹码呢？由于双方互不信任，牧羊人非常担心在自己带着牲畜离开期间，无良老板擅自在收据桶中增加筹码数量，并很有可能借机要求赔偿那些根本不曾存在过的羊！

于是，人们绞尽脑汁，终于找到了一个解决的办法。筹码会被封存在一个中空的、密封的黏土球中。一旦合上了黏土球，双方都会在“球状信封”的表面上签名，以证明其真实性。现在，只要不砸碎黏土球，就没有办法改变其中的筹码数量了。牧羊人可以安安心心地上路了。

然而，这一次，羊群的主人又发现了这种方法的缺陷。出于商业活动的需要，他们有必要随时知道自己的牲畜数量，但是怎么才能时时知道呢？在心中牢牢记住羊的数量吗？这并不容易做到，要知道，在当时的苏美尔语中，还没有能够表示这么大数字的单词。难道要给所有的密封“球状信封”做一个内含同样数量筹码但是不需要密封的备份吗？这实在很不方便。

人们终于又找到了一个解决方法。借助切割过的芦苇秆，人们在每个密封的“球状信封”表面画出了内部筹码的样子。于是，就能够在不破坏信封的前提下，随心所欲地阅读“信封”的内容。

当时看来，这种方法真是让所有人都皆大欢喜。它被广泛地运用，不但用来数羊，还用来密封各种协议。谷物（比如大麦或小麦）、羊毛、纺织品、金属、珠宝、宝石、油或者陶器也有了属于它们的筹码，即使是国王的税收也受到了筹码的控制。总之，在公元前4千纪结束时的乌鲁克城，任何类型的合同都必须由“球状信封”通过密封黏土筹码的方式建立。

所有的这一切都在良性运转中，然后突然有一天，一个绝妙的点子出现了。所谓“绝妙的点子”，就是又出色又简单，以至于人们不禁自问——为什么就没早点儿想到呢。既然牲畜的数量已经被刻画在了“球状信封”的表面，那我们为什么还要在内部封存筹码呢？我们为什么还要继续制作这种中空的球状信封呢？我们完全可以简简单单地把筹码的图像画在随便哪一块黏土板上嘛。比如，一块扁平的黏土板。

而这，就是我们所说的“书写”的起源。

我又回到了卢浮宫。东方古文物的藏品证实了这段历史。当看到这些“球状信封”的时候，首先让我感到震撼的，就是它们的大小。这些由苏美尔人围绕着大拇指捏出来的黏土小球几乎只有乒乓球那么大。至于内部的筹码，它们的直径则不超过1厘米。

离这些小球稍远的地方，展出了苏美尔人的第一批黏土板，黏土板的数量越来越多，很快占满了玻璃橱窗。渐渐地，书写变得越来越清晰，可以清楚地看到由小小的钉子形状凹槽构成的楔形文字。公元元年左右，在美索不达米亚平原上最初的人类文明消失之后的若干个世纪里，这些黏土板中的大部分都沉睡在被遗弃的城市废墟之下，一直到17世纪，才开始被来自欧洲的考古学者挖掘出来。直到19世纪，人们才逐渐破译了这种文字。

这些黏土板的个头也不是很大。有一些不过是名片大小，但是上面却写满了上百个微小的字符，一个挨着一个，好不拥挤。毫无疑问，美索不达米亚的誊写人在书写方面是很会节省黏土的！黏土板边上的说明卡片上写着这些神秘字符的含义，往往是关于牲畜、珠宝或者谷物的。

在我身边，有一些游客掏出他们的平板电脑[3]给这些黏土板拍照。历史滑稽地眨了眨眼，于是人类的书写工具也随之发生改变，从黏土到大理石、蜂蜡、纸莎草或羊皮纸，再到纸，仿佛历史还要再开又一个玩笑，于是人类发明了和祖先的黏土板形状一模一样的平板电脑。黏土板穿越时空和平板电脑面对面的时候，总给人的内心带来一种特别的澎湃之情。又有谁知道，再过5000年，这些平板电脑会不会和黏土板你挨着我、我挨着你，一起被放进博物馆的玻璃橱窗里呢。

随着时间的流逝，我们现在来到了公元前3千纪初期。人类又在楔形文字的基础上前进了一步：数字从被计量的物体中解放了出来！此前，无论是“球状信封”还是最初的黏土板，计数符号都取决于被记数的对象。因为一只绵羊与一头母牛是不同的，所以数羊的符号和数牛的符号长得也不一样。每一种可能被记数的物体都有着属于自己的特别符号，就好像它们曾经有过不同的黏土筹码一样。

但是现在，这种情况结束了。数字已经获得了属于自己的符号。显然，为了表示8只羊，人们不再使用8个表示羊的符号，而是写一个数字8，然后再画上一只羊的符号。为了表示8头牛，只要把羊的符号换成牛就好，而数字本身则保持不变。

这一步在人类的思想史上绝对是至关重要的。如果必须要为数学的诞生选定一个出生日期的话，我无疑会选择这一刻。正是在这一时刻，数字开始独立存在了，正是这一刻，数字从现实中被抽离出来，人们能够从更高层次观察数字。在此之前的漫长岁月，都不过是数学的酝酿期。手斧、腰线、筹码，都是人类为了数字诞生的这一刻所排练的序曲。

从此，数字具有了抽象性，而这正是数学的属性：数学是格外抽象的一门科学。被数学研究的对象从此不再具有物理属性。它们不是物质，它们不是由原子构成的，它们只是一些想法。然而，这些想法对于认识这个世界来说，却是相当有效的！

对数字书写的需求成为文字出现过程中至关重要的时刻，这绝对不是什么巧合。因为，如果说其他的想法可以毫不费力地口口相传，那么建立一个数字系统却恰恰相反——如果没有一个书写系统的话会很麻烦。

甚至直到今天，我们数数的方法难道不正是且只与数字的写法息息相关的吗？如果我请你想象一只绵羊，你会想到什么？你显然会在脑海中想到一只四蹄牲畜，披着毛茸茸的皮咩咩叫。你在脑海中不会想到“绵羊”两个大字的。然而，如果我现在让你想象一下数字128，你会想到什么呢？你的脑海中会不会浮现1、2、8三个字符，一个挨着一个，好像是你的大脑用想象中的墨水写出来的呢？当我们在脑海中想象巨大的数字的时候，毫无疑问，这些数字长得跟它们的写法一模一样。

这样的事情是前所未有的。对于其他的事物来说，书写只不过是表达一种誊抄之前口语中已经存在的内容的方式，而对于数字来说，是书写决定了语言。想想看，当你说出“一百二十八”的时候，你只是念出了128这个数字：100+20+8。当数字大到一定程度的时候，如果没有书写系统的支持，谈论数字的大小则不可能了。在文字书写诞生以前，人类语言中没有表示大数字的单词。

在我们这个时代，一些原住民的语言中，表达数字的词汇依然十分有限。比如对于皮拉罕部落的成员们——他们是生活在亚马孙河支流迈西河流域的狩猎采集者——来说，他们的语言中只有1和2两个数字，除此之外，他们会使用同一个词代表“若干”或者“很多”。同样是亚马孙河流域，蒙杜鲁库人表示数字的语言只有1到5，正好是一只手的手指数量。

在现代社会，数字已经侵入到了我们的日常生活中。数字已经无处不在、不可或缺，以至于我们常常忘记了数字的产生是一个多么伟大的想法，而我们的祖先花了数个世纪才为我们打造出这么宝贵的遗产。

古往今来，人类发明了很多种书写数字的方法，其中最简单的一种就是用画线的方式记录想要的数字。比如，如下图所示的挨在一起的短线。这种方法我们至今仍在使用，比如计算游戏得分的时候。

已知最早的对于画线记数的使用，可能要追溯到苏美尔人发明楔形文字的书写之前。20世纪50年代，人们在如今的刚果民主共和国境内的爱德华湖附近发现的“伊尚戈骨”，可以追溯到大约2万年以前！这些“伊尚戈骨”长度在10～14厘米之间，上面布满了均匀分布的刻痕。这些刻痕的作用是什么呢？或许这是人类历史上第一个记数系统吧。一些人认为这些骨头是一种日历，而另外一些人认为这是一种非常先进的算术知识。如今的我们已经很难确切地知道它们的作用到底是什么了。目前这两块骨头收藏在位于比利时布鲁塞尔的自然科学博物馆中。

这种“每增加一个单位就多刻一条线”的记数方法很快就显得捉襟见肘，因为它不能处理相对较大的数字。为了更快地记数，人们开始画圈！

美索不达米亚人的黏土筹码已经能够表达不同的度量单位。比如，有一种特殊的筹码用来表示10只羊。因此，当书写被发明的时候，这一原则也被保留了下来。人们同样还发现了用来表示10、60、600、3600和36 000的符号。

我们能够注意到，古人们在创造这些符号的时候试图寻找某种逻辑。比如，600（60×10）或者36 000（3600×10），人们就在相应的符号内部多画一个圈。随着楔形文字被发明出来，最初的数字符号也开始逐渐转变。

由于靠近美索不达米亚地区，不久之后，埃及将会在美索不达米亚地区的楔形文字的基础上，从公元前3千纪初期开始，发展出属于自己文明的记数系统。

这个系统看上去是纯十进制的：每一个符号代表的数字都是前一个符号的十倍。

这些只需要规定书写符号所代表的数值的加法系统，将会在全世界范围内取得巨大的成功，并且产生无数种变形，从古希腊时期一直延续到中世纪的大部分时期。尤其是古希腊人和罗马人对这些系统的使用——他们会用自己语言中的字母分别表示数字符号。

面对加法系统，一种新的记数模式即将浮出水面，即位置记数法。在这种模式中，一个符号的数值开始取决于它在数字中所占据的位置。再一次地，又是美索不达米亚人引领了时代的潮流。

公元前2000年左右，正是古巴比伦雄霸西亚地区的时候。楔形文字依然经常被使用，但是这个时候的人们使用的楔形文字只剩下如下这两个符号了：代表1的钉头形和代表10的尖头形。

通过加法，这两个符号能够表示一直到59的数字。比如，数字32就由三个尖头形和两个钉头形构成。

然后，从60起，人们开始使用符号组，记录60的符号组也是由之前使用过的符号构成的。因此，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位、百位，读取数字时先读个位，然后是六十位，然后是三千六百位（也就是六十乘以六十），每一位的数值都是上一位的六十倍。

举例来说，数字145由两个60构成120，然后再加25个单位。古巴比伦人是这样表示这个数字的：

多亏了这个计数系统，古巴比伦学者将创造无与伦比的先进知识。他们当然懂得四种基本运算法则——加、减、乘、除，他们还知道平方根、乘方和倒数；他们发展出了非常全面的运算表格，甚至还列出方程，并且找到了非常巧妙的解法。然而，所有这些知识都将很快被忘记。古巴比伦文明进入了衰退期，很大一部分先进的数学知识遭到了遗忘。位置记数法被遗忘了，方程被遗忘了。一直到若干个世纪之后，这些数学问题才重新被人们提上发展议程，而一直到公元19世纪，由于对楔形文字的成功破译，人们才知道，美索不达米亚人早已经超越了时代。

在古巴比伦人之后，玛雅人也发明了一种位置记数系统，但却是20进制的。然后，古代印度人发明了十进制的记数方法。这种记数法将会被阿拉伯学者重新使用，然后在中世纪的末期传入欧洲。在欧洲，这些符号被称为“阿拉伯数字”，并很快就在全世界范围内普及开来。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

有了数字，人类逐渐地明白了，他们发明了一种工具，借助这种工具，他们就能够书写、分析和理解周围的世界。

有的时候，我们实在太为数字的发明而骄傲，因此会做出一些“出格”的事儿。数字的诞生，同样也是多种“数秘术”实践的诞生。人们给数字赋予了魔法的特性，用不合理的方式解释数字，试图从数字中读出上帝的旨意和世界的命运。

公元前6世纪的时候，毕达哥拉斯在数字的基础上形成了他的基本哲学概念。这位古希腊先哲说：“一切皆数。”在他看来，几何图形正是从数字中衍生出来的，反过来，几何图形又产生了四种物质元素——火、水、土和空气，这四种元素构成了一切生命。因此，毕达哥拉斯创建了一个完全依靠数字的系统。奇数被认为是阳性（男性）的，偶数被认为是阴性（女性）的。数字10由一个被称为“圣十结构”的三角形表示，成为宇宙和谐与完美的象征。毕达哥拉斯学派同样也发展出了数字占卜，声称通过分析构成姓名的字母的数目，就能够分析出一个人的性格特征。

与此同时，人们开始讨论数字究竟是一种什么样的存在。一些人认为，1不是数字，因为所谓数字是为了复数的存在而存在的，因此从2开始才是数字。人们甚至进一步推论说，为了能够生成所有其他的数字，1必须既是奇数又是偶数。

不久之后，出现了零、负数，甚至虚数，它们将引发人们更加热烈的讨论。每一次，当新的观念进入旧有的记数系统时，都将引发争论，迫使数学家们不断地扩大他们的概念领域。

总之，数字发展的事业未竟，人们依然需要时间来学习、掌握这些从他们自己的头脑中产生出来的奇怪创造物。

[1] 译注：安努（阿卡德语：Anu），或称安（苏美尔语：An），是美索不达米亚神话中的天神，为众神之首，也是乌鲁克城的守护神。

[2] 译注：伊南娜（Inanna）是苏美尔神话系统中的“圣女”“天之女主人”，也是金星的代表神，和希腊神话系统的爱与美之女神阿佛洛狄忒是同一位，在苏美尔神话系统里也被认为与战争有关。

[3] 译注：在法语中，“黏土板”和“平板电脑”都是tablet te。