第一章 物体如何下落
“上”和“下 ”的概念可以追溯到远古时期，“万物有起终有落”的说法可能是由尼安德特人提出的。在古时候，人们认为世界是平的，“上”是通往天堂，即神的居所，而“下 ”是通往阴间的方向。凡是不属神的东西都有自然而然地坠落的倾向，一个从天上掉下来的天使，必然会在下面的地狱中结束。尽管古希腊伟大的天文学家，如埃拉托斯泰尼和亚里士多德，提出了地球是圆的最有说服力的论点；但空间中绝对的上下方向的概念一直持续到中世纪，并被用来嘲笑地球可能是球形的想法。事实上，有人认为，如果地球是圆的，那么生活在地球另一端的“反面人”，就会从地球上掉落到下面的空地上，更糟糕的是，所有的海水都会从地球上往同一个方向倾泻而下。
当麦哲伦环游世界之旅终于在大家的眼中确立了地球的球体性时，作为空间中绝对方向的上下方向的概念不得不被改变。地球被认为是居于宇宙的中心，而所有的天体都是以水晶球为圆心，围绕着地球盘旋。这种宇宙观或宇宙学的概念，源于希腊天文学家托勒密和哲学家亚里士多德。所有物质物体的自然运动都是以地球为中心，只有火，因为它有神性的东西，所以它违背了这一规律，从燃烧的原木上射向上方。几个世纪以来，亚里士多德的哲学和学派主义支配着人类的思想。科学问题的回答是用辩证法的论证（也就是说，仅仅通过交谈），没有人试图通过直接实验来检验所做的陈述的正确性。例如，人们认为重的物体比轻的物体落下的速度要快，但我们从那个时代起就没有研究物体落下运动的记录。哲学家们的借口是，自由落体的速度太快，人眼无法跟踪。
在科学和艺术开始从中世纪的黑暗沉睡中苏醒的时候，意大利著名科学家伽利略·伽利雷（1564—1642年）提出了第一个真正科学的方法来解决事物如何下落的问题。根据这个丰富多彩，但可能不是真实的故事，这一切都源于某一天，年轻的伽利略在比萨大教堂望弥撒时，心不在焉地看着一个烛台，一个侍者把烛台拉到一边点燃蜡烛后来回摆动（图1）。伽利略注意到，虽然随着烛台的停止，连续的摆动幅度越来越小，但每次摆动的时间（振荡期）都没有变化。回到家后，他决定用悬挂在绳子上的石头来检查这一偶然的观察现象，并通过计算自己的脉搏来测量摇摆周期。是的，他是对的，摆动周期几乎没有变化，而摆动的时间却越来越短。伽利略是个好奇心强的人，他开始做实验，用不同重量的石头和不同长度的绳子做实验。这些研究使他有了一个惊人的发现。虽然摆动周期取决于弦的长度（长的弦更长），但它与悬挂的石头的重量无关。这个观察结果无疑是与公认的教条相矛盾的，即重的物体比轻的物体落下的速度要快。事实上，钟摆的运动不过是重物在绳子的限制下从垂直方向上偏转的自由落下，使重物沿着以悬空点为中心的圆弧运动（图1）。
图1 一个烛台（a）和一块石头（b）在绳子上摆动，如果悬架的长度相等，则摆动的周期相同
如果轻的和重的物体悬挂在等长的绳子上，以同样的角度偏转，轻的和重的物体下坠的时间是一样的，那么，如果从同一高度同时下坠，它们下坠的时间也应该是一样的。为了向亚里士多德学派的信徒们证明这一事实，伽利略爬上比萨斜塔或其他的塔楼（或许是委托一个学生来做），将两个砝码，一个轻的和一个重的同时脱手，它们同时落地，让他的反对者们大吃一惊（图2）。
关于这个演示实验似乎没有正式的记录，但事实是，伽利略是发现自由落体的速度与落体的质量无关的人。这个说法后来被许多更确切的实验证明了，而且在伽利略去世272年后，爱因斯坦将其作为他的相对论万有引力理论的基础，这将在本书后面讨论。
不用去比萨，就可以很容易地重复伽利略的实验。只要拿一枚硬币和一张小纸片，从同样的高度同时掉落到地面上就可以了。硬币会快速下落，而小纸片在空中停留的时间要长得多。但如果你把纸片揉成一个小球，再把它卷成一个小球，它掉落的速度几乎和硬币一样快。如果你让一个长长的玻璃筒子抽出空气，你会发现，一枚硬币、一张未揉碎的纸片和一根羽毛会以完全相同的速度在筒内下落。
伽利略在研究坠落体的下一步是找到坠落时间和覆盖距离之间的数学关系。由于自由落体的速度确实太快了，人眼无法详细观察到，而且伽利略并不具备快速电影摄影机这样的现代设备，所以他决定“削弱”引力，让不同材质的球从倾斜的平面上滚下，而不是直接落下。他正确地认为，由于倾斜的平面为放置在上面的重物提供了部分支撑，所以接下来的运动应该类似于自由落体，只是时间的长短会根据坡度的不同而延长一个系数。为了计算时间，他使用了一个水钟，一个带水龙头的装置，可以打开和关闭。他可以通过称量不同时间间隔内从水嘴里倒出的水的数量来计算
图2 伽利略在比萨斜塔的实验
时间的间隔。伽利略标出了物体在等间隔时间内滚动下来的连续位置。
你不难发现重复伽利略的实验，并检查他所得到的结果[ 笔者不是实验家，不能根据自己的经验说做伽利略的实验有多容易。不过，从各种渠道听说，事实上，这并不是那么容易的，建议本书的读者朋友们可以试试自己的本领。]，取一块6英尺长的光滑木板，将木板的一端离地面2英寸，在木板下放几本书（图3a）。木板的斜率是
，这也将是作用在物体上的重力的系数，现在取一个金属圆柱体（它比球更不容易从木板上端滚下），让它从木板的上端不用力，让它离开木板。听嘀嗒声的时钟或节拍器（如音乐系学生用的），在第一秒、第二秒、第三秒、第四秒结束时，在滚动的圆柱体的位置上做记号。（这个实验要重复几次，才能准确地得到这些位置）。在这些条件下，连续距离上端的距离将是0.53，2.14，4.82，8.50，13.0英寸。我们注意到，正如伽利略所做的那样，第二、三、四秒末的距离分别是第一秒末距离的4，9，16，25倍。这个实验证明，自由落体速度的增加，使运动物体所覆盖的距离随着运动时间的平方增加。（4=22；9=32； 16=42；25=52）用一个木制圆柱体和一个更轻的圆木制成的圆柱体重复这个实验，你会发现，在连续的时间间隔结束时，运动速度和所覆盖的距离都不变。
当时伽利略面临的问题是找到速度随时间变化的规律，从而得出上述的距离-时间依赖性。伽利略在他的《关于两门新科学的对话》一书中写道，如果运动速度与时间的第一次幂成正比，那么所覆盖的距离就会随着时间的平方而增加。在图3b中，我们给出了伽利略论点的一个现代形式。如果速度v与时间t成正比，我们将得到一条从（o，o）到（t，v）的直线。现在，让我们把从o到t的时间间隔分成大量的极短的时间间隔，如
图3 倾斜平面上的滚动圆柱体（a）；伽利略的整合方法（b）
图所示，画出垂直线，从而形成大量的细高矩形。现在，我们可以用一种阶梯来代替与物体连续运动相对应的平滑斜率，在这种阶梯中，速度以小的增量突然变化，并在短时间内保持不变，直到下一次的急拉发生。如果我们把时间间隔分得越来越短，数量越来越大，平滑斜率和阶梯之间的差异就会越来越小，当分界线的数量变得无限大时，就会消失。
在每一个短的时间间隔内，假定运动以一个与该时间间隔相对应的恒定速度进行，所覆盖的距离等于这个速度乘以时间间隔。但由于速度等于细长方形的高度，时间间隔等于它的底边，这个乘积等于长方形的面积。
对每个细长方形重复同样的讨论，我们得出的结论是，在时间间隔（O，t）内所覆盖的总距离等于阶梯的面积，或者说，在极限情况下，等于三角形ABC的面积。但这个面积是矩形ABCD的二分之一，而矩形ABCD的面积反过来又等于它的底面t与它的高v的乘积，因此，我们可以写出在时间间隔t内覆盖的距离。
其中v是时间t的速度，但是，根据我们的假设，v与t成正比，因此：
v=at
其中a是一个常数，称为加速度或速度变化率。将这两个公式结合起来，我们可以得到：
这证明了覆盖的距离随着时间的平方而增加。
公元前3世纪，希腊数学家阿基米德在推导圆锥体和其他几何体的体积时，将一个几何图形分成大量的小部分，并考虑当这些小部分的数量变得无限大而体积无限小时，会发生什么。但伽利略是第一个将这一方法应用于力学现象的人，从而奠定了这门学科的基础，而这门学科后来在牛顿的手中，发展成为数学科学最重要的分支之一。
伽利略对年轻的力学科学的另一个重要贡献是发现了运动叠加原理。我们向水平方向抛出一块石头，如果没有万有引力，石头会像台球桌上的球一样，沿着一条直线运动。反之，如果我们只是把石子扔下去，它就会以我们描述的速度垂直下落。实际上，我们有两种运动的叠加：石头以恒定的速度在水平方向上运动，同时以加速的方式落下。这种情况如图4所示，图中编号的水平和垂直箭头代表两种运动的距离。石头的位置也可以由单箭头（白色箭头）给出，这些箭头越来越长，并绕原点转动。
图4 水平方向匀速运动和垂直方向匀速运动的组合
像这样显示移动物体相对于原点的连续位置的箭头称为位移矢量，其特征是其长度和在空间中的方向。如果物体经历了几个连续的位移，每个位移都由相应的位移矢量来描述，那么最终位置可以由一个称为原始位移矢量之和的位移矢量来描述。您只需从上一个箭头的末端开始绘制每个后续箭头（图4），然后用一条直线将最后一个箭头的末端与第一个箭头的开头连接起来。简单地说，举个小例子，一架从纽约飞往芝加哥、从芝加哥飞往丹佛、从丹佛飞往达拉斯的飞机，本来可以在两个城市之间直线飞行，从纽约飞往达拉斯。两个矢量相加的另一种方法是从同一点绘制两个箭头，完成平行四边形并绘制其对角线，如图5a和b所示。比较两个图形，很容易理解它们都会导致相同的结果。
位移矢量及其加法的概念可以扩展到其他在空间中具有一定方向的机械量。想象一下，一艘航空母舰在西北向北的航道上做了这么多节的运动，而一个水手以每分钟多少英尺的速度从右舷向左舷跑过它的甲板。这两种运动都可以用箭头指向运动方向，长度与相应的速度成正比的箭头来表示（当然必须用相同的单位来表示）。水手相对于水的速度是多少？我们要做的就是根据规则将两个速度矢量相加，即通过构造由两个原始矢量定义的平行四边形的对角线来表示。
力也可以用矢量来表示，表示作用力的方向和作用力的大小，并可以根据同样的规则添加。例如，让我们考虑一下作用在倾斜平面上的物体上的引力矢量（图5c）。当然，这个向量是垂直向下的，但是颠倒一下矢量的加法，我们可以把它表示为两个（或更多）指向给定方向的矢量之和。在我们的例子中，我们希望一个分量指向斜面的方向，另一个分量指向垂直于斜面的方向，如图所示。我们注意到，直角三角形ABC（斜面的几何图形）和ABC（由矢量F、Fp和Ft形成的直角三角形）是相似的，分别在A和a处有相等的角度。根据欧几里得几何图形，可知
而这个方程式证明了我们关于伽利略用倾斜的平面实验的说法。
利用倾斜的平面实验获得的数据，可以发现自由落体的加速度为386.2英寸/秒2，或者在公制中，981厘米/秒2，这个值随地球表面的纬度和海平面以上的海拔高度而略有变化。
图5 a 和 b 两种矢量相加的方法；c 作用在倾斜平面上的圆柱体上的力