自序
这不是一本数学教材，而是一本数学体验集。我希望通过这本书，让仅具有高中知识背景的读者——那些青春洋溢、热爱科学、渴望思考、憧憬价值的青少年，可以在课内学业的重压之下，重拾对于数学的喜爱，并建立通过数学来观察、描述、解析和传递世界之美的信念，激发继续学习数学的渴望——尤其是，以数学建模的方式。
自2000多年前的阿基米德时代，数学建模就已经存在，阿基米德的杠杆模型是有史可循的第一个数学模型。从那时起，数学建模的过程就被固定下来：发现问题、提出问题、提出基本假设、建立模型、求解模型、检验模型和应用模型。在随后的2000多年中，数学建模帮助数学学科内部发展出丰富的数学结构以刺激生长，为数学应用于其他基础科学提供沟通桥梁，为基础科学的工程实践提供方法支撑，为信息时代的数据挖掘提供理论依据。公元1世纪托勒密的《天文学大成》、17世纪牛顿的万有引力定律、19世纪麦克斯韦的电磁学方程组、20世纪香农的信息论，这些耳熟能详的先贤大师的旷世杰作都来自数学建模（图1）。从某种意义上说，人类文明在这2000多年中的发展，正是数学建模在基础科学、应用科学和社会生产生活三方面发挥作用并将其逐渐贯通的过程。
图1 历史上先贤的旷世杰作
发展到今天，我们的日常生活已经离不开数学建模（图2）。防盗门之所以能防盗，要仰仗三角形的稳定性，推拉门的灵活变形得靠四边形的不稳定性，估计窗外树枝的平均直径需要应用几何平均数，描述草原上狼和兔子之间的“相爱相杀”离不开动力系统，给图片去雾霾可以借助矩阵和一次函数，压缩文件离不开信息熵和最优编码，外卖和快递小哥的工作调度被蒙日-安培方程所优化——所有这些都是数学建模。人们每天自然地享受着数学建模所带来的便利，无须停下匆忙的脚步去思考这些便利背后的原理。但就像2000年前古希腊人面对着漫天繁星，旷日持久地“发呆”之后创造出璀璨文明一样，我们在享受便利的同时，也应当保有经常性的思考和好奇，才能将这些便利背后的原理、科学、思想和文化传承和改进。这种传承和改进需要数学教育对学生从小就进行铺垫和引领，数学教育应该具备这种意识和能力，以及加强培养富有好奇心的全面的人的功能。
图2 日常生活已经离不开数学建模
庆幸的是，基于几代前辈数学家和数学教育家的努力，数学建模终于从2020年开始正式进入国家高中数学课程标准。各版本国家教材均将数学建模作为必修章节分配了专门的课时，北师大版高中数学教材更是将数学建模作为高中课程的主线之一。全国范围内的学生活动、教师培训和选拔、教材教法分析和高考命题改革也在如火如荼地展开。
大学数学建模从20世纪80年代就开始推动，到2010年前后已经相当繁荣。目前各优秀高校不仅开设了数学建模课程，有的高校还组织了数学建模社团，各种面向大学数学建模的教材和读物如雨后春笋般涌现。在中小学数学建模教育方面，除刚面世的各版国家教材之外，2017年国际数学建模挑战赛组委会出版了《数学建模教学与评估指南》，当中基于国外多年实证研究的成果介绍了从幼儿园到大学各学段的数学建模培养目标和教学建议；2019年北京师范大学的刘来福教授出版了《高中数学建模》，是一本很好的高中数学建模选修课教材；2020年我通过清华大学出版社出版了《面向建模的数学》，用另一种形式将数学建模案例、思想和方法有机地呈现出来。但与大学数学建模教育相比较而言，中小学数学建模教育尚处于起步和探索阶段，无论是师资、文献、教材还是科普读物依然十分匮乏，仅仅靠上面屈指可数的几本教材无法支撑这份利在千秋的事业。面对国家2035年和2050年两个重要的战略时间节点，急需越来越多适合中小学师生阅读的数学建模科普读物。本书就是在这个背景下所作，希望能够为后来者抛砖引玉。
本书收录了33个研究话题。这些话题来自众多领域，但都与日常生活息息相关。在这些话题中，有的是经典方法在新形式下的重新呈现，有的是根据我在日常生活中的所思所想而提出的原创话题。每个话题在创作时严格遵循如下四个原则，它们不仅可以被视作本书的特点，也能为其他面向中小学的数学建模科普工作提供参考。
原则1：真实问题，感性激励
我们都很清楚，并不是一句话有道理，别人就会理解，人们只会理解他们愿意理解的内容。本书中的所有话题均有十分明显的生活背景，便于学生接受和理解，让所有的学生都有的可想、愿意去想。一个经典的例子见于《数学建模教学与评估指南》的附录2，话题为“帮助男生A在追求女生C的过程中胜过男生B”。这是大学生很熟悉也很感兴趣的日常话题，学生一开始并不会直接建立数学模型去解决这个问题，而是会按照生活经验进行讨论和分析，直到发现该问题的本质难点（不同学生发现的本质难点可能会不同，这十分正常），才想到借用数学的力量去攻克。这个过程中“为什么要用数学”“在哪里用数学”“用什么数学”在感性激励之下获得了自然而流畅的解决。但是，如果我们将这个话题布置为“帮助企业A在并购企业C的过程中胜过企业B”，学生就会感到十分陌生，不知道怎么思考，找不到切入点，呈现出一种不知所措的迷茫状态。数学建模作为数学思想方法，什么时候使用什么样的数学建立什么样的模型，其艺术性大于技术性，于是，感性激励往往起到引领方向的作用。
原则2：课标为基，适当拓展
作为一本主要面向高中生和低年级本科生的读物，本书在素材和讲法的选取上尽量贴近高中课程标准，也因此对某些经典方法进行了初等改写或用初等办法重新解决。但因为部分问题完全用高中知识解决起来过于烦琐，所以在工具选取上，本书部分内容在高中课标基础之外略有提升和拓展。当然，提升和拓展的原则是不超过优秀高中生可以理解和掌握的范围。
原则3：难度递进，培养能力
本书中每一讲内容的展开均遵循从易到难的原则，并且在每讲开头标注了阅读该讲所需的高中数学知识。读者只要学会了该讲所标注的高中数学知识，就能无障碍地理解该讲前1/3的内容；但是，读者需要对相关高中知识有较为深刻的理解并达到熟练使用的程度，才能无障碍地理解中间1/3的内容；而每讲最后1/3的内容则需要读者具有较高的包括自学和原创能力在内的综合素养才能透彻理解。因为各地各校的学业进度和授课顺序不同，所以读者不必从头至尾顺序阅读本书，而应当根据自己的学业进度和学业水平，先选择自己已经学过的知识板块所对应的话题阅读。如果遇到某些内容暂时无法理解的情况，建议过一段时间之后再重读，以此观察自己的能力是否有所提升。从这个角度来说，本书十分适合高中生用来检验所学课内知识的掌握水平，也适合低年级本科生检验自己的基本数学能力水平。
原则4：任务载体，用以致学
为了便于读者先于正文内容了解话题内容和相关问题，本书在每讲之前写有导读，内容包括该讲话题介绍、研究目标和成果、所采用的基本方法、所需要的高中预备知识以及内容梗概等。这样做的最重要目的是帮助读者带着问题去阅读正文，提升阅读效率，有更多收获。实际上，本书并不希望读者在阅读完一讲之后牢记相关问题的解决办法，马上“学以致用”——特别是，对于中学生来说，受限于所掌握的知识量和能力水平，通常还达不到可以大范围“学以致用”的程度——而是希望读者通过对各讲话题的思考和解决来提升自己的数学思想方法，对相关课内知识有更深的理解，以此达到“用以致学”的目的。
在本书成书的过程中，我要感谢两位伙伴。首先要感谢的是“遇见数学”资源矩阵及其运营者李想老师。在2019年至2020年的一年里，李想老师通过“遇见数学”微信公众号以专栏连载的方式刊登了本书各章的初稿，并通过读者留言为本书提供了不少有益的修订意见。另外，还要着重感谢我的爱人张玲老师在本书成书过程中给予我的支持和鼓励。我一向认为数学乃至一切科学的所有意义和最终归宿都是“爱”——爱自己、爱天地、爱众生。我希望数学带给人们的是内心的安宁与思想的愉悦，而非互相竞争和追逐功利所带来的焦虑与恐惧。最后预祝各位读者不忘初心、一生温暖、一心安宁，将自己的成长和祖国的发展结合起来，做自己人生的操盘手，最大化自己的人生价值。
朱浩楠
2021年2月23日于北京