卷一：方田

方田术曰：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。

今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？

答曰：三十五分步之十二。

又有田广九分步之七，从十一分步之九，问为田几何？

答曰：十一分步之七。

又有田广五分步之四，从九分步之五。问为田几何？

答曰：九分步之四。

乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。

今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？

答曰：一百二十六步。

又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二。问为田几何？

答曰：二十三步六分步之五。

术曰：半广以乘正从。

原文

（一）今有田广十五步（1），从（2）十六步。问为田几何（3）？

答曰：一亩。

（二）又有田广十二步，从十四步。问为田几何？

答曰：一百六十八步。

方田术（4）曰：广从步数相乘得积步（5）。以亩法（6）二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。

注释

（1）广：田地的宽度。步，古代长度单位，秦汉时一步为5尺，隋唐以后为6尺。

（2）从：田地的长度。

（3）几何：这里指多少。

（4）方田术：方田，古九章算术之一。术，方法。方田术就是田地面积的运算方法。

（5）积步：以步为单位的田地面积，即长（步）乘宽（步）所得的平方步。

（6）亩法：田地亩数的运算方法，1亩等于240步。

译文

（一）现有一块田地宽为15步，长为16步。那么它的面积是多少？

答：面积为1亩。

（二）又有一块田地宽为12步，长为14步。那么它的面积是多少？

答：面积为168平方步。

田地面积的计算方法：长和宽的步数相乘，所得的平方步就是田地面积。平方步除以240，即为亩数。亩数除以100，即为顷数。即：240平方步为1亩；100亩为1顷。

译解

（一）田地面积为：15×16=240平方步=1亩。

（二）田地面积为：12×14=168平方步。

平方步大于240，需要转化为亩数；小于240，即为最后结果。

术解

（1）田地面积=长×宽。

（2）1亩=240平方步。

（3）1顷=100亩。

原文

（三）今有田广一里（1），从一里。问为田几何？

答曰：三顷七十五亩。

（四）又有田广二里，从三里。问为田几何？

答曰：二十二顷五十亩。

里田术（2）曰：广从里数相乘得积里（3）。以三百七十五乘之，即亩数。

注释

（1）里，古代长度单位。秦汉时期300步等于1里。

（2）里田术：以里为单位的田地面积的运算法则。即积里=长（里）×宽（里）。

（3）积里：长乘宽所得的积，单位为平方里。

译文

（三）现有一块田地宽为1里，长为1里。求面积是多少？

答：面积是3顷75亩。

（四）又有一块田地宽为2里，长为3里。求面积是多少？

答：面积是22顷50亩。

田地面积的运算法则：长和宽的里数相乘，所得的平方里就是田地面积。所得平方里乘375亩就是亩数。

译解

（三）1里=300步，1亩=240平方步。

田地面积：（300×300）÷240=375亩；375÷100=3顷75亩。

（四）田地面积：2×3×375=2250亩；2250÷100=22顷50亩。

术解

（1）平方里=长（里）×宽（里）。

（2）亩数=积里×375亩。

原文

（五）今有十八分之十二，问约（1）之得几何？

答曰：三分之二。

（六）又有九十一分之四十九。问约之得几何？

答曰：十三分之七。

约分术（2）曰：可半者半（3）之；不可半者，副置（4）分母、子之数，以少减多，更相减损（5），求其等也。以等数约之。

注释

（1）约：约分，约简。

（2）约分术：分数约简的运算法则。

（3）半：减半。

（4）副置：在旁边布置算筹。算筹，古代计算数学的工具和方法。

（5）更相：相互。减损：相减。

译文

（五）现有分数，约分之后是多少？

答：。

（六）又有分数，约分之后是多少？

答：。

约分的运算法则：如果分子、分母都是偶数，就先把它们减半。如果不是偶数，就把分子、分母分列两边，用大数减小数，反复相减，求最后的等数，最后用等数来约简。等数就是这几个分数的最大公约数。

译解

（五）12与18的最大公约数是6，用6来约，即=。

12的约数有1、2、3、4、6；18的约数有1、2、3、6、9。两个数的公约数是1、2、3、6，因此6就是它们的最大公约数。

（六）49与91的最大公约数是7，用7来约，即=。

术解

以（六）为例：

（1）49和91都不是偶数，先求它们的最大公约数。

（2）把分子分母分别列于两边，用大数减去小数，91—49=42、49—42=7；之后依次相减五次，等数为7。

（3）两边所得的数相等，则7就是49和91的最大公约数。如下：

91—49=42 49—42=7

42—7=35

35—7=28

28—7=21

21—7=14

14—7=7

（4）用最大公约数约简49和91，也就是除以，即49÷7和91÷7，得数是7和13，那么就是约分后的得数。

原文

（七）今有三分之一，五分之二。问合之（1）得几何？

答曰：十五分之十一。

（八）又有三分之二，七分之四，九分之五。问合之得几何？

答曰：得一、六十三分之五十。

（九）又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问合之得几何？

答曰：得二、六十分之四十三。

合分术（2）曰：母互乘子，并以为实（3），母相乘为法（4），实如法而一（5）。不满法者，以法命之（6）。其母同者，直相从之（7）。

注释

（1）合之：求和，相加。

（2）合分术：分数求和的运算法则。

（3）并以为实：并，加在一起。实，指被除数。相加的和作为被除数。

（4）法：指除数。

（5）实如法而一：被除数除以除数，即分子除以分母。

（6）以法命之：用除数直接作为分母。

（7）直相从之：直接相加。

译文

（七）现有和两个分数相加，和是多少？

答：。

（八）又有，和三个分数相加，和是多少？

答：1。

（九）又有，，和四个分数相加，和是多少？

答：2。

分数求和的运算法则：分子和分母交叉相乘，乘积之和作为被除数，分母相乘的积作为除数，用被除数除以除数，如果被除数大于除数，就进1。如果被除数小于除数，那被除数为分子，除数为分母，得数为结果；如果各个分数分母相同，分母不变，分子直接相加。

译解

（七）假如有两个分数， 和，两数相加法则为： +=。

+==。

（八）三数相加也是如此，有、和相加，先算、，+==，然后再计算+===。最后得数为1。

也可以运用简便算法：先算+=+=，再计算+===1。因为9是3的倍数，且变换之后分母相同，只需要分子相加就可以。

（九）、、和四数相加，求最大公倍数为60，+++===2。

分母相同的分数相加，分母不变，分子直接相加。若是一个分母是另一个分母的倍数，也可以先通分再相加。比如，+==；+=+==，约分之后得数为。

术解

以（八）为例：

（1）先分子分母交叉相乘，即2×7×9=126，4×3×9=108，5×3×7=105。再把它们的积相加，得数作为被除数，即126+108+105=339。

（2）分母相乘之积作为除数。即3×7×9=189。分母相乘的目的是使得两分数分母相同。

（3）中339够一个189，便可以进1，得数为1。

（4）1可以进行约分，最大公约数是3，约分之后结果是1。

原文

（一O）今有九分之八，减其五分之一。问余（1）几何？

答曰：四十五分之三十一。

（一一）又有四分之三，减其三分之一。问余几何？

答曰：十二分之五。

减分术（2）曰：母互乘子，以少减多（3），余为实，母相乘为法，实如法而一。

注释

（1）余：余数，差数。

（2）减分术：分数相减的运算法则。

（3）以少减多：从多数中减去少数，即大数减小数。

译文

（一〇）现有分数，减去，得数是多少？

答：。

（一一）又有分数，减去，得数是多少？

答：。

分数相减的运算法则：分子分母交叉相乘，大数减去小数，余数作为被除数，分母相乘的积作为除数，被除数除以除数就是结果。

译解

（一〇）假设有两个分数， 和，两数相减，运算法则为：，注意用大数减去小数。—==。

（一一）—==。分母相乘的目的是使得两分数分母相同，分母相同的分数，分子直接相减，分母不变。如果被除数大于除数，则需要进1。

术解

以（一一）为例：

（1）分子分母交叉相乘，3×3=9，1×4=5。用大数减去小数，9–4=5。得数为被除数。

（2）分母相乘，3×4=12。得数为除数。

（3）被除数除以除数，得数是。

（4）分母相同才能相减，运算之前必须通分。

原文

（一二）今有八分之五，二十五分之十六。问孰多（1）？多几何？

答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。

（一三）又有九分之八，七分之六。问孰多？多几何？

答曰：九分之八多，多六十三分之二。

（一四）又有二十一分之八，五十分之十七。问孰多？多几何？

答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。

课分（2）术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法；实如法而一，即相多（3）也。

注释

（1）孰多：孰，哪一个。哪一个大。

（2）课分：课，考察、考量。比较分数的大小。

（3）相：相差。多：多少。

译文

（一二）现在比较，的大小，哪一个数大？大多少？

答：比大，大。

（一三）又比较，的大小，哪一个数大？大多少？

答：比大，大。

（一四）又比较，的大小，哪一个数大？大多少？

答：比大，大。

分数比大小的运算法则：分子分母交叉相乘，大数减小数的差为被除数，分母相乘的积为除数。被除数除以除数就得到两者相差的数。

译解

（一二）比较分数大小与分数相减的法则基本相同，仍遵循这个运算法则：。也就是说，分数相减的差，就是两者相差的数值。

先分子分母交叉相乘，5×25=125，8×16=128，再分母相乘8×25=200。两数比较，128大于125，所以大。（128–125）÷200=，即比大。

（一三）同理，8×7=56，6×9=54，9×7=63。两数比较，56大于54，所以大。（56–54）÷63=，即比大。

（一四）同理，8×50=400，17×21=357，21×50=1050。两数比较，400大于357，所以大。（400–357）÷(21×50)=，即比大。

术解

以（一二）为例：

（1）和比较谁大？先分子分母交叉相乘，计算出5×25=125，8×16=128，然后求两者的差，128–125=3，作为被除数。

（2）分母相乘，计算出25×8=200，作为除数。

（3）用被除数除以除数：，就是相差的数。

（4）若是新分子、新分母为偶数，需要进行约分。

（5）分数相减是求他们的余数是多少，分数比较是求相差的数，两者运算方法相同。

原文

（一五）今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少（1），各几何而平（2）？

答曰：减四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平于十二分之七。

（一六）又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？

答曰：减三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。

平分术（3）曰：母互乘子，副并为平实，母相乘为法。以列数（4）乘未并者各自为列实。亦以列数乘法，以平实减列实（5），余，约之为所减。并所减以益于少，以法命平实，各得其平。

注释

（1）减多益少：益，增加。即减多增少，大数减少，小数增加。

（2）各几何而平：平，平均数。

（3）平分术：分数求平均数的运算法则。

（4）列数：分数的个数。

（5）以平实减列实：平实，平均数的分子，分子分母交叉相乘之和。列实，各个分子分母相乘的积乘列数。

译文

（一五）现有，和三个分数，如果减多增少，各增加或减少多少才能得到平均数？

答：从减去，从减去，并且把余数之和加给，三个数的平均数为。

（一六）又有，和三个分数，如果减多增少，各增加或减少多少才能得到平均数？

答：从减去，从减去，并且把余数之和加给，三个数的平均数为。

求分数平均数的运算法则：分子分母交叉相乘，相加之和作为平均数的分子（即平实），分母相乘作为除数。各分子分母相乘的积乘分数个数作为新的分子（即列实），同时除数乘分数个数作为新分母。列实减去平实，余数与除数约简作为各分数应该减去的数，然后把减后的得数相加，再与比较小的数相加。如此，平实除以除数就是这几个分数的平均数。

译解

（一五）先求，和的平均数，有（++）÷3=。用平均数分别减去各分数，注意：应该是大数减去小数，即–=，–=，–=。因此，应该从减去，从减去，并且把加上，三个分数平均数为。

（一六）先求，和的平均数，（++）÷3=。用平均数分别减去各分数，即–=，–=，–=。因此，应该从减去，从减去，并且把加上，三个分数平均数为。

术解

以（一五）为例：

（1），和三个数分子分母交叉相乘，1×3×4=12，2×3×4=24，3×3×3=27。

分子分母交叉相乘的积相加，作为平实。即12+24+27=63。

（3）分母相乘的积作为除数。即3×3×4=36。

（4）列数分别乘分母交叉相乘的积、分母相乘的积，即12×3=36，24×3=72，27×3=81，36×3=108。各自的列实分别为36，72，81；新分母为108。

（5）用列实减去平实。81–63=18，72–63=9。注意，用大数减去小数。首先要比较列实是否比平实大，然后用大于平实的列实去减。即81大于63，72大于63，而36小于63，因此，用81–63；72–63。

（6）用余数除以新分母，即18÷108=，9÷108=。然后得数相加，+=。

（7）把最后得数与较小的数相加，即+=。所以，这三个数的平均数为。

原文

（一七）今有七人，分（1）八钱三分钱之一。问人得几何？

答曰：人得一钱二十一分钱之四。

（一八）又有三人，三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三。问人得几何？

答曰：人得二钱八分钱之一。

经分术（2）曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通（3）之，重有分者同而通之（4）。

注释

（1）分：平分。

（2）经分术：经，分割。分数相除的运算法则。

（3）通：通分，转化为分数。

（4）重有分者同而通之：分子分母都带有分数，则应该先让分母相同，化为假分数进行运算。假分数，即分子大于或等于分母的分数，比如，等。

译文

（一七）现有7个人，平均分8钱，那么每人分多少钱？

答：每人分1钱。

（一八）又有3人，平均分6钱、钱，那么每人分多少钱？

答：每人分2钱。

分数除法的运算法则：用人数作为除数，钱数作为被除数。如果除数或被除数中有分数，应该先通分；如果两者都是分数，应该先让分母相同，然后再通分，化为假分数。

译解

（一七）用钱数除以人数，即8除以7。被除数是分数，我们应该先通分，8通分为，÷7=1钱。即，每人分1钱。

（一八）先把钱数相加，6+=+=+=，然后用钱数除以人数，÷=2钱，即每人分2钱。

术解

以（一八）为例：

（1）分子、分母都是分数，先进行通分，即3通分为，6通分为。

（2）钱数相加，即6+=+=+=，即钱数为。

（3）用钱数除以人数，分子分母都是分数，应该先让分母相同，即分母相乘，分子分母交叉相乘，；，得出结果和。

（4）分数除法，比如除以，运算法则为：÷=×=。÷=，因为分子分母都有36，可以直接约简为，15是它们的最大公约数，最后结果为，即2钱。

（5）我们也可以直接运用：÷=×=这一运算法则，即÷===2钱。

原文

（一九）今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？

答曰：三十五分步之十二。

（二十）又有田广九分步之七，从十一分步之九。问为田几何？

答曰：十一分步之七。

（二一）又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？

答曰：九分步之四。

乘分术（1）曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。

注释

（1）乘分术：分数乘法的运算法则。

译文

（一九）现有田地宽为步，长为步，那么面积是多少？

答：平方步。

（二十）又有田地宽为步，长为步，那么面积是多少？

答：平方步。

（二一）又有田地宽为步，长为步，那么面积是多少？

答：平方步。

分数乘法运算法则：分母相乘作为除数，分子相乘作为被除数，被除数除以除数，得数为田地面积。

译解

（一九）田地面积：×==平方步。

（二十）田地面积：×===平方步。注意：被除数和除数中有相同数字，可以先进行约简，再进行计算。比如，可以直接把9约掉，得出，不用再进行计算。

（二一）田地面积：×==平方步。

术解

以（一九）为例：

（1）先分子相乘，4×3=12。

（2）分母相乘，7×5=35。

（3）分子除以分母，就是所求结果：12÷35=。

（4）分数乘法的运算，就是分子互乘、分母互乘，然后被除数除以除数。假设分数分别为、，运算法则：×==。

原文

（二二）今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二。问为田几何？

答曰：十八步。

（二三）又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五。问为田几何？

答曰：一百二十步九分步之五。

（二四）又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六。问为田几何？

答曰：一亩二百步十一分步之七。

大广田术（1）曰：分母各乘其全（2），分子从之（3），相乘为实。分母相乘为法。实如法而一。

注释

（1）大广田术：大广，之前的运算或是只有整数，或是只有分数，本法则有整数也有分数，所以称之为大广。长宽有整数又有分数的田地面积运算法则。

（2）全：整数部分。

（3）分子从之：再加上分子的和。

译文

（二二）现有田地宽为3步，长为5步，求田地面积是多少？

答：面积为18平方步。

（二三）又有田地宽为7步，长为15步，求田地面积是多少？

答：面积为120平方步。

（二四）又有田地宽为18步，长为23步，求田地面积是多少？

答：面积为1亩200平方步。

长宽有整数又有分数的田地面积运算法则：各分母乘自己的整数部分，得数再加上分子。然后再相互乘，所求得数作为被除数，分母相乘作为除数。被除数除以除数，得数就是田地面积。

译解

（二二）田地面积：3×5=×===18平方步；

可以进行约简：3×5=×=，10和5约简等于2；27和3约简等于9，2×9=18平方步。

（二三）田地面积：7×15=×==120平方步=120平方步。

（二四）田地面积：18×23=×=。约简后：==440平方步。240平方步=1亩，转化后为1亩200平方步。

术解

以（二三）为例：

（1）各分数先进行通分，用分母乘整数部分，7×4=28；加上分子，28+3=31。通分后为。

（2）15通分后为。

（3）然后各分数分子相乘作为被除数，分母相乘作为除数，31×140=4340；4×9=36。

（4）被除数除以除数，4340÷36==120平方步。

（5）分母乘整数的目的是为了通分，把整数纳入分子的部分，这样便于运算。假设有两个数为，a，d。运算法则为，a×d=×=。

原文

（二五）今有圭（1）田广（2）十二步，正从（3）二十一步。问为田几何？

答曰：一百二十六步。

（二六）又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二。问为田几何？

曰：二十三步六分步之五。

术曰：半广以乘正从。

注释

（1）圭：原是古代帝王、诸侯祭祀时手里拿的玉制礼器。这里指三角形。圭田，古代卿大夫祭祀用的田地。

（2）广：这里指三角形底边长。

（3）正从：即正纵，三角形底边上的高。

译文

（二五）现有三角形田地，底边长为12步，高为21步，问田地面积是多少？

答：126平方步。

（二六）又有三角形田地，底边长为5步，高为8步，问田地面积是多少？

答：23平方步。

三角形田地面积运算法则：取底边长的一半，乘底边高，得数就是田地面积。

译解

（二五）三角形面积=底边÷2×高；田地面积：12÷2×21=6×21=126平方步；

或者，三角形面积=底边×高÷2，即（12×21）÷2=126平方步。

（二六）田地面积：5÷2×8=×===23平方步。

术解

以（二六）为例：

（1）三角形面积运算法则：三角形面积=底边÷2×高；底边除以2，是为了用多余的部分补齐不足的部分，将三角形化为长方形。所以，三角形面积为底边和高都相等的长方形面积的一半。

（2）先求底边的一半：5÷2=÷2=。

（3）得数乘高，即所求面积。×=23平方步。

（4）九章算术中的三角形为普通三角形，其运算法则适用于所有三角形，包括等边三角形、直角三角形。

原文

（二七）今有邪田（1），一头（2）广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？

答曰：九亩一百四十四步。

（二八）又有邪田，正广（3）六十五步，一畔（4）从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？

答曰：二十三亩七十步。

术曰：并（5）两邪而半之，以乘正从若广（6）。又可半正从若广，以乘并，亩法而一。

注释

（1）邪田：斜，直角梯形。即斜田。

（2）一头：梯形的上底和下底。

（3）正广：这里的正从和正广都是三角形的高。

（4）畔：田地的边界。

（5）并：加在一起，求和。

（6）若：或者。正从若广：正从或正广。

译文

（二七）现有直角梯形田地，上底为30步，下底为42步，高为64步，那么田地面积是多少？

答：9亩144平方步。

（二八）又有直角梯形田地，高为65步，上底为100步，下底为72步，那么田地面积是多少？

答：23亩70平方步。

直角梯形田地面积运算法则：上底和下底相加之和的一半，得数乘高；或者先求高的一半，得数乘上底和下底之和。最后所得面积除以240，就是田地亩数。

译解

（二七）直角梯形面积=（上底+下底）÷2×高，或者，直角梯形面积=高÷2×（上底+下底）。田地面积：（30+42）÷2×64=72÷2×64=36×64 =2304平方步，2304平方步=9亩144平方步。

（二八）同理，田地面积：（72+100）÷2×65=172÷2×65=86×65=5590平方步=23亩70平方步。

术解

以（二八）为例：

（1）与三角形相似，直角梯形面积运算也运用出入相补的方法，用多余的底边补充不足的底边，因此（上底+下底）÷2=（72+100）÷2=172÷2 =86。

（2）得数乘高，即所求面积=86×65=5590平方步=23亩70平方步。

（3）假设直角梯形的上底为ab，下底为cd，高为f，运算法则：面积=（ab+cd）×f÷2。

原文

（二九）今有箕田（1），舌广（2）二十步，踵广（3）五步，正从三十步。问为田几何？

答曰：一亩一百三十五步。

（三十）又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步。问为田几何？

答曰：四十六亩二百三十二步半。

术曰：并踵舌而半之（4），以乘正从。亩法而一。

注释

（1）箕田：形状如簸箕的田地。即等腰梯形的田地。

（2）舌广：等腰梯形的下底边。通常为较长的底边。

（3）踵广：等腰梯形的上底边。

（4）并踵舌而半之：上底边与下底边的和除以2。

译文

（二九）现有等腰梯形田地，下底边为20步，上底边为5步，高为30步。问田地面积是多少？

答：面积为1亩135平方步。

（三十）又有等腰梯形田地，下底边为117步，上底边为50步，高为135步。问田地面积是多少？

答：面积为46亩232平方步。

等腰梯形田地运算法则：上下底边之和取一半，再乘高，得数就是所求面积。用所求积步除以240，即所得亩数。

译解

（二九）等腰梯形田地面积=（上底边+下底边）÷2×高；或是，面积=（上底边+下底边）×高÷2。即（20+5）×30÷2=25×30÷2=750÷2=375平方步，375平方步=1亩135平方步。

（三十）同理：（117+50）×135÷2=167×135÷2=22545÷2=11272平方步=46亩232平方步。

术解

以（三十）为例：

（1）先求上下底之和，117+50=167，得数除以2，167÷2=83。

（2）得数乘高，即所求田地面积：83×135==11272平方步；11272平方步÷240=46亩232平方步。

（3）等腰梯形因为两斜边相等，可以利用出入相补的方法，把梯形转化为长方形，以方便运算。即把上下底边一分为二，从中间切开后，补充成长方形，用新底边乘高，即所得面积。

（4）除等腰梯形外，普通梯形田地也适用于这个运算法则，面积=（上底边+下底边）×高÷2。

原文

（三一）今有圆田（1），周（2）三十步，径（3）十步。问为田几何？

答曰：七十五步。

（三二）又有圆田周一百八十一步，径六十步三分步之一。问为田几何？

答曰：十一亩九十步十二分步之一。

术曰：半周半径相乘得积步。又术曰：周径相乘，四而一（4）。又术曰：径自相乘，三之（5），四而一。又术曰：周自相乘，十二而一。

注释

（1）圆田：圆形田地。

（2）周：圆形周长。

（3）径：直径。

（4）四而一：取四分之一，即除以4。

（5）三之：乘3。

译文

（三一）现有圆形田地，周长为30步，直径为10步，那么田地面积是多少？

答：面积为75平方步。

（三二）又有圆形田地，周长为181步，直径为60步，那么田地面积是多少？

答：面积为11亩90平方步。

圆形田地面积运算法则：周长的一半乘直径的一半，得数相乘就是所求田地面积；或者，周长和直径相乘，所得的积除以4，即所求面积；或者，直径和直径相乘，所得的积乘3，最后除以4，得数即为所求面积；或者，周长乘周长，所得的积除以12，得数即为所求面积。

译解

（三一）圆形面积=（周长÷2）×（直径÷2），即（30÷2）×（10÷2）=15×5=75平方步。

或者，圆形面积=周长×直径÷4。30×10÷4=300÷4=75平方步。

（三二）同理，（181÷2）×（60÷2）=（181÷2）×（÷2）==平方步=11亩90平方步。

术解

以（三一）为例：

（1）先用第一种方法计算，圆形面积=（周长÷2）×（直径÷2），即（30÷2）×（10÷2）=15×5=75平方步。由此可得出，圆形面积=周长×直径÷4。即第二种算法。

（2）再用第二种方法计算，即30×10÷4=75平方步。

古时圆周率为3，即π=3。圆形周长的运算法则为，周长=π×直径，可得出圆形面积=π×直径×直径÷4。进一步得出第三种算法，圆形面积=直径×直径×3÷4。或者，圆形面积=π×直径2÷4。即：10×10×3÷4=75平方步；或者，3×100÷4=75平方步。

（3）运用第四种方法运算，圆形面积=周长×周长÷12，即30×30÷12=75平方步。

根据周长=π×直径，圆形面积=直径×直径×3÷4，两个运算公式，可以得出，直径=周长÷π=周长÷3，进一步得出，圆形面积=（周长÷3）×（周长÷3）×3÷4=（周长×周长×3）÷（3×3×4）=周长×周长÷12。

（4）魏晋时期，我国数学家刘徽用正多边形的边数逐渐增加以接近为圆的方式，求得π的近似值为3.1416。南北朝时期，数学家祖冲之算出π的值为3.1415926和3.1415927之间。

（5）总结得知，圆形面积=（周长÷2）×（直径÷2）=周长×直径÷4=直径×直径×3÷4=周长×周长÷12。

原文

（三三）今有宛田（1），下周（2）三十步，径（3）十六步。问为田几何？

答曰：一百二十步。

（三四）又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？

答曰：五亩六十二步四分步之一。

术曰：以径乘周，四而一。

注释

（1）宛田：宛，弯曲，中央隆起的弧形。扇形田地。

（2）下周：下底周长。弧形部分的周长，即弧长。

（3）径：扇形的直径。

译文

（三三）现有扇形田地，下底周长为30步，直径为16步，那么这块田的面积是多少？

答：120平方步。

（三四）又有扇形田地，下底周长为99步，直径为51步，那么这块田的面积是多少？

答：5亩62平方步。

扇形田地面积计算法则：直径乘下底周长，所得积除以4。

译解

（三三）扇形田地面积=下底周长×直径÷4，即30×16÷4=120平方步。

（三四）同理，99×51÷4=1262平方步=5亩62平方步。

术解

以（三四）为例：

（1）根据运算法则，扇形面积=下底周长×直径÷4，即99×51÷4=1262平方步=5亩62平方步。

（2）假设扇形下底周长为L，直径为R，可以得知，面积=LR。

原文

（三五）今有弧田（1），弦（2）三十步，矢（3）十五步。问为田几何？

答曰：一亩九十七步半。

（三六）又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。问为田几何？

答曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。

术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之（4），二而一。

注释

（1）弧田：弧，向上弯曲。弓形田地。

（2）弦：底边的长度。如果弓形为半圆，则为圆的直径。

（3）矢：弧形底边到弧的长度，即弧高。如果弓形为半圆，则为圆的半径。

（4）并之：相加，求和。

译文

（三五）现有弓形田地，弦长为30步，弧高为15步，那么田地面积是多少？

答：1亩97平方步。

（三六）又有弓形田地，弦长为78步，弧高为13步，那么田地面积是多少？

答：2亩155平方步。

弓形田地面积计算法则：弦长乘弧高，弧高自相乘，两得数相加，和再除以2，得数为所求面积。

译解

（三五）假设弧长为a，弧高为h，面积则等于（ah+h2）。即面积=×（30×15+152）=×（450+225）=337平方步。转化为亩，即1亩97平方步。

（三六）同理，面积=（ah+h2）=×[78×13+（13）2]=635平方步=2亩155平方步。

术解

以（三五）为例：

（1）先求弧长乘弧高，即30×15=450；弧高自相乘，15×15=225。

（2）再求两者之和，450+225=675；得数除以2，即337。

（3）通过题目可以看出，这弧形的弧长是弧高的两倍，得知弧形为半圆，弧高为半径。圆形面积=π乘半径的平方=π×152，古时π的数值为3，则半圆面积=圆形面积=×π×152=×3×152=337=1亩97平方步。

（4）注意，目前我们取π的数值为3.14，因此计算结果与古时有所差异。同时，若是弧形不是半圆，利用这种计算方式结果也有很大差异。因此，最好不要使用圆形面积的计算方式。

原文

（三七）今有环田（1），中周（2）九十二步，外周（3）一百二十二步，径（4）五步。问为田几何？

答曰：二亩五十五步。

术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。

注释

（1）环田：圆环形的田地。

（2）中周：内圆的周长。

（3）外周：外圆的周长。

（4）径：环形的径长。即外圆半径减去内圆半径的长度。

译文

（三七）现有环形田地，内圆周长为92步，外圆周长为122步，径长为5步。那么田地面积是多少？

答：2亩55平方步。

环形田地面积计算法则：内圆周长和外圆周长相加，除以2，再乘径长，得数即为面积。

译解

（三七）假设环形中周为C1，外周为C2，径长为d。环形面积=（C1+C2）d。

面积=[（中周+外周）÷2]×径长=[（92+122）÷2]×5=214÷2×5=535平方步=2亩55平方步。

术解

以（三七）为例：

（1）环形面积，可以看作外圆面积减去内圆面积。外圆周长为122，周长=2πr，得出外圆半径，即，122÷2÷3=；内圆周长为92，半径为92÷2÷3=。

（2）外圆面积=πr2=3×（）2=，内圆的面积=3×（）2=。环形面积=–==平方步=535平方步=2亩55平方步。

（3）根据以上运算结果，可得出径长=外圆半径–内圆半径=–==5。面积=[（中周+外周）÷2]×径长，即九章算术的环形面积运算法则。而面积=[（92+122）÷2]×5=214÷2×5=535平方步=2亩55平方步。

（4）古人通常把环形转化为等腰梯形，按照等腰梯形来计算其面积。内圆周长为等腰梯形上底，外圆周长为梯形下底，面积=（上底+下底）×高÷2，即（中周+外周）×径长÷2。

原文

（三八）又有环田（1），中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十二步三分步之二。问为田几何？

答曰：四亩一百五十六步四分步之一。

密率术曰：置中外周步数，分母、子各居其下。母互乘子，分母相乘，通全步（2），内（3）分子，并而半之。又可以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法，除之为积步，余积步之分。等数约之，以亩法除之，即亩数也。

注释

（1）环田：这里指半圆环，或不封闭圆环。

（2）通全步：把分数的步数进行通分。

（3）内：通假字，即“纳”，相加的意思。

译文

（三八）又有环形田地，内圆周长为62步，外圆周长为113，径长为12步，那么这块田地面积是多少？

答：4亩156平方步。

计算法则：求内圆周长与外圆周长之和：先把整数部分放在一边，分数部分的分子分母相互相乘，进行通分；整数部分用分母乘整数，再加上分子，化为假分数。然后，内圆周长与外圆周长之和除以2。径长也进行通分，分母乘整数加上分子的和乘周长之和的一半作为被除数，分母相乘作为除数，得数为田地面积。如果除不尽，余数就是得数的分数部分。最后用得数除以240，就是所求亩数。

译解

（三八）此环形面积计算与之前有所差别，如果根据外圆面积减去内圆面积的方法，便会出现较大偏差。

古人用梯形计算面积的方式来运算，即（中周+外周）×径长÷2=（62+113）×12÷2=1116平方步，化为亩数，所求面积为4亩156平方步。

术解

（1）涉及分数运算，先进行通分，62=，113=；12=。

（2）按照公式计算，先求中周+外周之和：+=+=，得数再乘径长除以2，即×÷2==1116平方步=4亩156平方步。

（3）此解法与（三七）相同，只是涉及分数运算，显得烦琐复杂许多。