2.1.1 实现LED均匀圆形辐照度分布自由曲面透镜设计过程

1.等分光通量与目标面

将LED光源光能量空间分布划分为N份等光通量的圆环能量单元，如图2-3a所示。

从图2-3a中取一个环带状的面积元，如图中阴影所示，该面积元的面积为

dS=2πrsinθrdθ （2-3）

该面积元对应的立体角为

图2-3 LED光源与目标面划分及对应关系

a）将光源按等光通量划分 b）将目标面按等面积划分

阴影区与内外环和方向之间构成的锥角分别为θi和θi+1，该区域内的光通量为

式中，I（θ）为LED光源发光强度分布，这里LED点光源呈完美朗伯分布：

I（θ）=I0cosθ （2-6）

LED光源的总光通量Φt为

将LED光源的光通量等分为N份，则有

式中，θi为等分LED光源光通量的采样光线角度，如图2-2所示。已知θ0=0，通过迭代关系式（2-8）可计算出每一个等分角θi，这样可以得到了LED光源出射光线的采样角。

假设目标面的半径R，将目标面划分为N个等面积同心圆环如图2-3b所示，设每个圆环的半径为ri（i=0，1，…，N-1），其中r0=0，每个面积单元的面积为S0：

这样得到每个圆环半径

2.构建自由曲面透镜母线上相邻两个坐标点之间的迭代关系

如图2-4所示，控制每条采样光线入射到目标面上对应的采样点，如OPi入射到Ti，Ti对应的采样半径为ri，根据边缘光线的原理可以知道OPi和OPi+1之间的光线全部会入射到目标面Ti与Ti+1之间，这样控制等光通量入射到等面积上，目标面上就实现了均匀辐照度分布。

图2-4 辐照度分布均匀化的示意图

接下来计算透镜母线上的每个采样点，首先来确定一些初始条件，以光源的位置为坐标原点，光源距目标面的距离为H，透镜的外表面的中心点P0的高度为h，如图2-5所示。透镜内表面为球面，不影响光线的传播方向，所以图2-5只画出了外表面。根据初始条件可以确定透镜中心点的坐标P0（x0=0，y0=h），目标面的中心点坐标T0（X0=0，Y0=h）。这样第一条入射光线的矢量OP0可以确定，入射光线OP0经过P0点后入射到目标面上的T0点，这样出射光线矢量P0T0也可以获得。根据折射定律的矢量形式

[1+n2-2n（Out·In）]1/2·N=Out-nIn （2-11）

图2-5 透镜母线上采样点计算示意图

式中，，均为单位矢量。这样可以求得过P0点的法向矢量N0，从而可以获得过P0点的切线。当采样点的数量比较多的时候，可以认为过P0点的切线与第二条采样光线交于P1（x1，y1）点，这样可以得到过P0点的切线斜率

光线OP1对应的出射角为θ1，有

联立式（2-12）、式（2-13）可以求得P1（x1，y1）。重复上述过程可以得到如下迭代关系：

联立式（2-14）、式（2-15）之后可以得到相邻两个采样点之间的坐标迭代关系如下：

利用相邻两个点之间的迭代关系，这样就可以求出自由曲面透镜母线上所有采样点，从而可以构建自由曲面透镜的母线，如图2-6a所示。因为透镜呈旋转对称结构，所以将透镜母线绕对称轴旋转一周后得到自由曲面透镜如图2-6b所示。自由曲面透镜的内表面是球面，内表面的半径根据透镜的中心厚度来选定。对点光源，内球面的半径不影响目标面上的辐照度分布，以原点为球心构建一立体球，与透镜模型做布尔差，得到了最后的自由曲面透镜如图2-6c所示。

图2-6 旋转对称自由曲面透镜构造过程