第二章 数学美之为美

一、数学是真善美的完美体现

通常人们所说的美，大多数都是指形象之美、艺术之美，而说数学也是美的，却很少见。对许多普通人来说，数学就是很难的学问、困难的问题和复杂的公式，哪有什么“美”可言？但是对于数学人，特别是对数学家来说，数学符号，就是美妙的音符，对数学难题的求索，就是获取美的追求。一个数学问题得到解答，特别是数学难题得到解答，得到更简明、更优美的证明方法，就是对他们最大的奖赏，他们可以从中获得最美妙的享受。

那么，数学，美吗？如果得到肯定的回答，你们一定要问：数学究竟为什么美？在数学人的心里，“数学美”究竟表现在哪里？下面我们就来说说数学美，究竟美在何处。

（一）数学美，是真善美的真正统一

前章说过，美与真、善紧密联系，真正美好的事物和人物，都是真善美的统一。假的、恶的人和事绝对不可能是美的。即使某些恶人所作的艺术品，有一定光鲜的外貌，但一旦知道其作者的丑恶且可憎的面目，人们也会失去欣赏的兴趣，更不会去追捧。即使是所谓的科学理论、科学创作，也可能是带着真理面具的伪科学、假科学。

其实，在科学发展的过程中，也经历过似是而非的阶段。例如，古代的化学经历过炼金术迷幻时代，天文学经历过古代中国的天圆地方说、西方托勒密的地球中心说等错误认识阶段。直到16世纪哥白尼的《天体运行论》出版，后经开普勒、伽利略揭开天体运行规律，牛顿用微积分数学理论严密证明，行星运行规律才真正被发现，使得以前有关天体运行的错误理论，回归到科学轨道。

图2-1-1 牛顿（1643—1727）

数学是真理的叠加，在数学发展过程中，从来不允许掺杂使假。正如数学家、数学史家汉克尔（1839—1873）所说：“在大多数学科里，一代人的建筑往往被另一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人破坏；唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。”所以“数学是最古老的学科之一，然而又是最年轻的学科之一”。

（二）数学使人精确，数学家不断追求完善，追求尽善尽美

欧洲文艺复兴巨匠培根说过一段名言：“历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细，哲学使人深邃，道德使人严肃，逻辑和修辞使人善辩。”他还说过“知识就是力量”。其实，他说得还不够，数学不仅使人精细，还使人身临其境地感受到数学“百花园”的奇妙绝伦的美。后面我会向读者逐步展现数学“百花园”之美妙奇境，例如数字之美、数学算式之美、数学公式之美、数学图形之美、数学和谐之美、数学统一之美、数学奇异之美，如此等等。

数学公式，虽然五花八门，外行人看了不知所云，但它们却是对客观世界所负载的事物和想象的最简洁、最精确的表述。例如，勾股定理：直角三角形的两直角边平方之和等于斜边平方，表示为a2+b2=c2。

这个放之四海皆准的定理，用数学公式表达得多么明确而简洁！难怪古希腊的毕达哥拉斯学派发现这一定理时，宰杀了100头牛来表示庆贺。故而在西方，又把该定理称为“百牛定理”。

数学家对精确的不懈追求，可以用对圆周率π（即圆周与其直径的比值）数值的计算为例进行说明。最初，古人仅凭直观猜测，估计π≈3。公元前3世纪希腊数学家阿基米德首先创用割圆术，以圆内接和外切正多边形周长来逼近圆周，计算得圆周率的2位小数近似值π≈3.14。中国数学家刘徽（公元3世纪）独立运用割圆术，计算得出同样的结果，进而得到4位小数近似值π≈3.1416。公元5世纪的数学家祖冲之更进一步，利用割圆术加合情推理（递推归纳法），求得7位近似值（盈朒二数）：3.1415926＜π＜3.1415927。这在实际计算时，就已经够用了。但是，数学家对于π的近似值，并不满足现状，不断追求更加精确的近似值。

图2-1-2 祖冲之（429—500）

16世纪以后，欧洲数学家发现多种π的分析表达式，利用它们，计算得到更精确的近似值。例如16世纪法国数学家韦达第一次用分析方法计算得到π的10位小数近似值。17世纪，长期生活在莱顿（现属荷兰，原属德国）的鲁道夫（1540—1610）用手工计算得到π的35位小数近似值，达到人类手工计算的最高纪录。1946年计算机问世以后，人们就开始在计算机上进行编程计算，使π近似值的小数数位迅速延伸。1987年，首次突破亿位。1989年，则突破10亿位。截至2014年的最新纪录，π近似值的小数数位已经超过10万亿位！

现在，计算圆周率精确值，已经从实际使用价值，转变为计算机编程和算法先进性的检验比赛。这种对于精准性的追求，也是数学家对数学精确之美追求的体现。