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1.2.2 线性组合

在一个向量空间中,会有无数个向量,但是,这些向量之间不是毫无关联的,下面以图1-2-2所示的二维空间中的几个向量为例,探讨向量空间中的线性组合问题。

图1-2-2

设二维向量空间中有向量,不难发现如下几项关系:

● ,即

● ,即

● ,即

● 

在以上所列关系式中,只用到了向量空间中所定义的数量乘法、向量加法或者它们的综合,就可以把某个向量用其他若干个向量表示,我们称这个表达式为那些向量的线性组合,严格定义如下:

定义 中有限个向量,称为一个向量组,则:

是向量组的一个线性组合(Linear Combination),其中是标量,称为系数(Coefficient)。

在线性代数中,总离不开线性方程组,虽然到目前为止,我们还没有像常规教材那样求解线性方程组,但还是要借助它换个角度来理解线性组合。

(1.2.1)

在这个方程组中,只有加法和乘法(减法可以看成是加法和乘法的综合,例如,即为)。注意,(1.2.1)式的写法中并没有体现出向量的加法和数量乘法,而都是标量间的计算。我们可以将其改写为:

(1.2.2)

等号左边显然是一个线性组合。

如果,则毫无疑问,上式成立,称这个解为原方程组的零解。是不是应该有非零解呢?但是,这里暂时不研究这个方程组的非零解,而是认真观察等号左边的线性组合,是不是发现两个有特殊关系的向量:,这两个向量之间具有倍数关系,乘以2等于。这是一个石破天惊的重大发现。