2.4.4 控制系统的常用传递函数

控制系统在工作过程中会受到两类外作用信号的影响。一类是有用信号，或称为输入信号、给定值、参考输入等，常用r（t）表示；另一类是扰动信号，或称干扰，常用n（t）表示。输入r（t）通常是加在系统的输入端，而干扰n（t）一般是作用在受控对象上，但也可能出现在其他元部件上，甚至夹杂在输入信号中。闭环控制系统的典型结构如图2-21所示。

研究系统输出量c（t）的运动规律，只考虑输入量r（t）的作用是不完全的，往往还需要考虑干扰n（t）的影响，下面介绍几个系统传递函数的概念。

1.系统的开环传递函数

在图2-21中，将H（s）的输出通道断开，即断开系统的主反馈通路，这时前向通路传递函数与反馈通路传递函数的乘积G₁（s）G₂H（s），称为该系统的开环传递函数。它等于此时B（s）与R（s）的比值，这里需要注意的是，开环传递函数并不是开环系统的传递函数，而是闭环系统在开环时的传递函数。

2.r（t）作用下系统的闭环传递函数

令n（t）=0，这时图2-21简化为图2-22，输出c（t）对输入r（t）之间的传递函数为

称Φ（s）为输入信号r（t）作用下系统的闭环传递函数。而输出的Laplace变换式为

可见，当系统中只有信号r（t）作用时，系统的输出完全取决于c（t）对r（t）的闭环传递函数以及r（t）的形式。

3.n（t）作用下系统的闭环传递函数

为研究干扰对系统的影响，需要求出c（t）与n（t）之间的传递函数。这时，令r（t）=0，则图2-21简化为图2-23。由图可得

称Φ_n（s）为干扰n（t）作用下系统的闭环传递函数，而输出的Laplace变换为

由于干扰n（t）在系统中的作用位置与输入信号r（t）的作用点不一定是在同一个地方，故两个闭环传递函数一般是不相同的。表明引入干扰作用下系统闭环传递函数的必要性。

4.系统的总输出

根据线性系统的叠加原理，系统的总输出应为各个外作用引起的输出的总和。因而将式（2-58）与式（2-60）相加即得总输出量的变换式，即

例2-5 根据图2-24所示位置随动系统的结构图，试求系统在给定值θ_r（t）作用下的传递函数及负载力矩M_L作用下的传递函数，并求出在两信号同时作用下，系统总输出θ_c（t）的Laplace变换。

解 ①θ_r（t）作用下系统的闭环传递函数θ_c（s）/θ_r（s）。令M_L=0，系统结构图简化为图2-25所示形式。运用串联及反馈法则（或Mason公式），可求得

②M_L作用下系统的闭环传递函数θ_c（s）/M_L（s）。令θ_r（s）=0，系统的结构图如图2-26所示。经结构变换可求得

③系统总输出。θ_r（t）和M_L同时作用下，系统的总输出为两部分的叠加，即

θ_c(s)=Φ(s)θ_r(s)+Φ_n(s)M_L(s)

5.闭环系统的误差传递函数

在系统分析时，除了要了解输出量的变化规律外，还要关心控制过程中误差的变化规律。因为控制误差的大小直接反映了系统工作的精度，故寻求误差和系统控制信号r（t）及干扰作用n（t）之间的数学模型，就是必需的了。在图2-21中，规定代表被控量c（t）的测量装置的输出b（t）和给定输入r（t）之差为系统的误差e（t），即

e（t）=r（t）-b（t）或E（s）=R（s）-B（s）

E（s）即图中综合点输出量的Laplace变换。

①r（t）作用下系统的误差传递函数，即n（t）=0时的E（s）/N（s），可通过图2-27求得

②n（t）作用下系统的误差传递函数，即r（t）=0时的E（s）/N（s），可通过图2-28求得

③系统的总误差，根据叠加原理可得

6.闭环系统的特征方程

比较前面导出的四类传递函数式（2-57）、式（2-59）、式（2-62）、式（2-63），可以看出它们虽然不相同，但分母却是一样的，均为1+G₁（s）G₂（s）H（s），这就是闭环控制系统中各种传递函数的规律。

令

称为闭环系统的特征方程。如果将式（2-65）改写为如下形式

则-p₁，-p₂，…，-p_n称为特征方程的根，或称为闭环系统的极点。特征方程的根是一个非常重要的参数，因为它与控制系统的瞬态响应和稳定性密切相关。

另外，如果系统中控制装置的参数设置，能满足|G₁（s）G₂（s）H（s）|＞＞1及|G₁（s）H（s）|＞＞1，则系统的总输出表达式（2-61）可近似为

即

R(s)-H (s)C(s)=R(s)-B(s)=E(s)≈0

表明，采用反馈控制的系统，适当地匹配元部件的结构参数，有可能获得较高的工作精度和很强的抑制干扰的能力，同时又具备理想的复现、跟随输入信号的性能，这是反馈控制优于开环控制之处。