2.4.2 信号流图的基本概念

控制系统的结构框图，是应用最为广泛的图解描述反馈系统的方法。但当系统的回路增多，对结构框图进行简化，推导传递函数将很麻烦。1953年，美国学者梅森（Mason）在分析线性系统时首次引入信号流图，从而开始用图形表示线性代数方程组。当这个方程组代表一个物理系统时，正像它的名称一样，信号流图描述了信号从系统中一个点到另一个点的流动情况。因为信号流图直观表示了系统变量间的因果关系，所以它是线性系统分析中一个有用的工具。1956年，Mason发表的一篇论文中提出了一个增益公式，解决了复杂系统信号流图的简化问题，从而完善了信号流图法。利用该公式，几乎可以通过观察就能够得到系统的传递函数。

1.信号流图的定义与术语

信号流图是由节点及连接节点的有向线段构成的，用于表达线性代数方程组结构的一种图。由于反馈理论关注的要点是系统中信号的变换和流向，因此，信号流图特别适用于反馈控制系统。信号流图的基本要素有节点和支路，节点是表示输入、输出信号的点；支路是连接彼此关联节点的、具有单一方向的线段，它与框图模型中的方框等效，表示节点信号输入输出之间的关系。信号只能在支路上沿箭头方向传递。为讨论信号流图的构成和求解系统的传递函数，下面介绍几个常用术语。

①输入节点。只有输出支路的节点称为输入节点，如图2-18中的x₁，它一般表示系统的输入变量。

②输出节点。只有输入支路的节点称为输出节点，如图2-18中的x₅，它一般表示系统的输出变量。

③混合节点。既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点，如图2-18中的x₂、x₃、x₄。在混合节点处，如果有多个输入支路，则它们相加后成为混合节点的值，而所有从混合节点输出的支路都取该值。

④通路。从某个节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一个节点所构成的路径称为通路。通路中各支路增益乘积称为通路增益，如图2-18中的x₂→x₃→x₄，通路增益为a₂₃a₃₄。

⑤前向通路。前向通路是指从输入节点开始并终止于输出节点且与其他节点相交不多于一次的通路。该通路的各增益乘积称为前向通路增益，如图2-18中的x₁→x₂→x₃→x₄→x₅，通路增益为a₁₂a₂₃a₃₄a₄₅。

⑥回路。如果通路的终点就是通路的起点，并且与其他任何节点相交不多于一次的通路称为回路。回路中各支路增益的乘积称为回路增益，如图2-18中的x₂→x₃→x₂，回路增益为a₂₃a₃₂。

⑦不接触回路。如果一信号流图有多个回路，各回路之间没有任何公共节点，则称为不接触回路，反之称为接触回路。如图2-18中x₂→x₃→x₂回路与x₄→x₄回路为不接触回路，x₂→x₃→x₂回路与x₃→x₄→x₃回路，有公共节点x₃，所以为接触回路。

图2-18 多回路系统信号流图

信号流图可以根据系统微分方程绘制，也可以由系统结构框图按照对应关系得出。当结构框图变换为信号流图时，只要用小圆圈在结构图的信号线上标志出传递的信号，便是节点；用标有传递函数的线段代替结构框图中的方框，便得到支路。这样，结构框图就变换为相应的信号流图了。

2.用Mason公式求传递函数

信号流图可以经过等效变换求出输出量与输入量之间的传递函数，等效变换法则与结构图情况类似。但是，还有另一种更简捷的方法，就是利用Mason于1956年提出的Mason公式。借助于Mason公式，可以不经过任何结构变换，便可以直接得到系统的传递函数。由于信号流图和结构框图之间存在对应关系，因此，Mason公式也可用于求解系统结构框图的传递函数。

Mason公式的表达式为

其中，G（s）为信号流图中输入节点与输出节点之间的总增益或传递函数；n为从输入节点到输出节点所有前向通路的条数；Δ称为特征式，且有Δ=1-∑L_i+∑L_iL_j-∑L_iL_jL_k+…；Δ_k为Δ中将与第k条前向通路相接触的回路除去后所余下的部分，称为余子式；P_k为第k条前向通路的增益。这里，∑L_i为所有单回路增益之和；∑L_iL_j为所有两两互不接触回路增益乘积之和；∑L_iL_jL_k为所有三个互不接触回路增益乘积之和。在回路增益中应包含代表反馈极性的正号、负号。