4 面积和体积

上图：在等体积的三维几何图形中，球的表面积最小。当肥皂泡最大限度地减小表面张力时，肥皂泡的形状自然成为球形。

数学的一个早期的广泛应用是测量长度，而推广这种方法来计算二维或三维物体的尺寸是一个较大的挑战，这涉及分析面积和体积。几乎所有古埃及数学家的书卷都告诉我们那个时期的学者对这个问题特别感兴趣，而且他们发明了令人瞩目的计算方法。

测量距离有许多种方法，主要取决于标度。传统的方法是用步距来测量人或建筑物的高度，而在世界有些地方则用手来测量马的高度。这些测量单位的起源是很明显的。事实上，手、手指关节和手掌在古埃及是标准的测量单位，并且因此在古埃及诞生了最早的面积和体积科学。当然，如果你想测量一个小镇到另一个小镇的距离，用脚和手作为测量单位显然是不切实际的。在今天，有更长的计量单位，如英里或千米。古埃及以“河”为单位来测量这些长距离。一“河”约等于6.2英里（10千米）。处于手与河之间的标准的古埃及长度单位是腕尺，保存下来的史料告诉我们一腕尺大约是21英寸（52.5厘米）。

面积问题

怎么测量二维图形的面积呢？由古埃及人发明，今天仍在使用的方法是用一个边长为一单位长度的正方形来测量。所以我们今天使用的面积单位是平方米、平方英里，而古埃及人使用的是平方腕尺。如果把单位边长的正方形看作瓦片，那么需要多少块瓦片来覆盖需要测量的区域呢？

古埃及文明始于大约公元前3000年，面积测量的问题对于古埃及是非常重要的。当父母去世时，他们的土地通常会被平均分配给他们的所有孩子。

古埃及文明始于大约公元前3000年，面积测量的问题对于古埃及是非常重要的。当父母去世时，他们的土地通常会被平均分配给他们的所有孩子。因为需要征税，所以对政府和公民来说，能够准确地计算面积是很重要的。当图形是标准的矩形时，计算面积很容易。一片土地3m长，2m宽，需要6个瓦片去覆盖，这里每个瓦片是1m2的正方形。今天，我们把它的面积记作6m2。

同样的规律适用于体积，这是体现三维空间图形大小的一个量。以1×1×1的立方体作为基本单位来测量空间体积，即需要多少个单位立方体来填充该图形。如果一间房是2m宽，3m长，4m高，则需6个立方体为一层，共需4层来填充，该房间总体积是2m×3m×4m=24m3。

当图形不能恰好用整数个瓦片或单位立方体来覆盖或填充时，其面积或体积将变得很难测量。即使对于最简单的图形——三角形，面积也不是明显的。如果一个三角形底部长为w，高为h，则它的面积是。这是古埃及几何学家掌握的事实之一。

阿姆士莎草纸书

这部莎草纸书是由古埃及僧侣、数学家阿姆士（Ahmes）所著，称为“阿姆士莎草纸书”，有时也称为“莱因德数学莎草纸书”（莱因德是生活在19世纪的文物研究者，他将这份莎草纸书带到了英国）。该书记载着87个题目。

在“阿姆士莎草纸书”上，有几个问题是几何问题，涉及计算图形的面积。如第50题：求直径为9 khet（1 khet是100腕尺）的圆形地的面积，给出的答案是64平方khet。这表明那时用了π的近似值（见第12篇）。其他的问题涉及求三角形、梯形、矩形等的面积。

上图：这是公元前1650年的“阿姆士莎草纸书”的一部分。在此书的87个问题中，有几个问题是关于求三角形、圆和其他图形面积的问题。

金字塔和莫斯科莎草纸书

比“阿姆士莎草纸书”更早的是“莫斯科莎草纸书”，可追溯到大约公元前1850年。该书包括25个数学问题及解答。第14个问题可能是从古埃及数学中保存下来的最有影响的问题，涉及推导金字塔的体积。事实上，这个金字塔是个正棱台，即切掉顶部的正棱锥。已知金字塔的底是一个边长为4腕尺的大正方形，顶部是一个边长为2腕尺的小正方形，金字塔的高为6腕尺，如何计算这个几何体的体积？正确的处理方法不是显而易见的。事实上，截金字塔所得的几何体是以边长为a的正方形为底，高为h，边长为b的正方形为顶，它的体积为：

任何人几乎都可以根据以上公式推导出正确答案（56立方腕尺），这个事实告诉我们古埃及几何学家已经掌握了一些相当复杂的几何公式。