2.6 平稳随机过程

2.6.1 平稳随机过程的概念

在通信系统和信号处理系统中，经常遇到一类占有重要位置的特殊随机过程即平稳随机过程。所谓平稳随机过程，是指它的n维概率分布函数或n维概率密度函数与时间t的起始位置无关，即对于任意的n和Δt，有

式（2-128）给出的平稳要求非常严格，所以通常称满足该要求的随机过程为严平稳随机过程（或狭义平稳随机过程）。可见，从任意时刻开始观察，严平稳随机过程的概率密度函数都不变，也即其统计特性不随时间的平移而发生变化，这就是平稳的含义。

下面我们分析一下严平稳随机过程的一些特殊性质。如果随机过程ξ（t）满足式（2-128）的严平稳要求，则其一维概率密度函数为

可以看出，其一维分布与时间无关，再看其二维概率密度函数

这里τ=t₂-t₁，表示时间间隔，可以看出其二维分布只与时间间隔τ有关，而与具体的时间起点无关。

基于式（2-129）和式（2-130），我们可以进一步得出该严平稳随机过程ξ（t）的数字特征，即数学期望、方差和自相关函数。

即严平稳随机过程的数学期望和方差均为常数，自相关函数只与时间间隔有关。这种“平稳”的数字特征，有时候也可以直接用来判断随机过程是否平稳。即若一个随机过程ξ（t）满足式（2-131）、式（2-132）和式（2-133）的特点，则称该随机过程ξ（t）为广义平稳随机过程的；显然这三个条件相比于式（2-128）的要求要宽松得多，因此有时我们也称其为宽平稳随机过程。实际上满足式（2-131），则一定也满足式（2-132），因为

因此只要满足式（2-131）和式（2-133）要求，即数学期望为常数，自相关函数只与时间间隔有关，就可判定该随机过程为广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定为广义平稳的，反之则不一定成立。

在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，大多数可视为平稳随机过程。除非特别说明，以后讨论的随机过程都假定是平稳的，且均指广义平稳随机过程。

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【例2-12】 考察随机过程ξ（t）=Acos（2πf_ct+θ）的平稳性，其中A、f_c是常数，相位θ为随机变量，在区间（0，2π）上均匀分布。

解：由随机过程数学期望的定义式（2-121）可得

根据随机过程自相关函数的定义式（2-123）可得

R（t₁，t₂）=E[ξ（t₁）ξ（t₂）]=E[Acos（2πf_ct₁+θ）Acos（2πf_ct₂+θ）]

可见，随机过程ξ（t）=Acos（2πf_ct+θ）的数学期望为常数，自相关函数只与时间间隔τ有关，所以该随机过程是广义平稳随机过程。

2.6.2 各态历经性

要计算式（2-121）、式（2-123）等给出的随机过程的数字特征，必须知道该随机过程的一维、二维概率密度函数，这就需要对足够多的样本函数做统计平均求得。但在实际中，我们往往只能得到随机过程的一个或者几个样本。因此，我们自然会提出这样一个问题：能否就根据随机过程的一个样本函数来求得随机过程的数字特征呢？回答是肯定的。平稳随机过程在满足一定的条件下，一般都具有一个有趣而又非常有用的特性，这个特性称为“各态历经性”。

具有各态历经性的随机过程，其数字特征可完全由该过程的任一样本相关参量的时间特征来决定：即随机过程的数学期望（统计平均值），可以由任一样本的时间平均值来代替；随机过程的自相关函数，也可以由对应的“时间平均”来代替“统计平均”。这就是说，假设x（t）是从平稳随机过程中任意取得的一个样本，由于它是时间的确定函数，所以可以方便地求得其时间平均值。具体来讲，其时间平均意义下的数学期望和自相关函数可表示为

如果平稳随机过程使下式成立：

则称之为具有“各态历经性”的平稳随机过程。“各态历经”的意思是说，随机过程中的任一实现，都经历了该随机过程的所有可能状态。由式（2-136）可知，各态历经的随机过程，就其数字特征而言，无须做无限多次的考察，而只需获得一次考察，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使计算问题大为简化。

但应注意，只有平稳随机过程才可能具有各态历经性。随机过程的平稳性仅为各态历经性的必要条件。

【例2-13】 讨论随机过程ξ（t）=Acos（2πf_ct+θ）的各态历经性，其中振幅A和初相θ均为随机变量，两者统计独立，θ在（0，2π）之间均匀分布。

解：首先，求ξ（t）在统计意义上的数学期望和自相关函数，分别为

E[ξ（t）]=E[Acos（2πf_ct+θ）]=0

以及

所以，ξ（t）为平稳随机过程。

取其任一实现样本x（t）=A₀cos（2πf_ct+θ₀），此时A₀和θ₀均为该次测量得到的某一确定值。根据式（2-135），可分别求得该过程的时间均值和时间自相关函数为

由于一般情况下，，所以该过程虽然满足平稳性条件，但并不具备各态历经性。

如果题目中的振幅A不是随机变量，而为一恒定幅度，则有，此时该随机过程具备各态历经性。因此，恒振幅随机相位信号既是平稳随机过程，也是各态历经性过程。

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2.6.3 平稳随机过程的自相关函数

对于平稳随机过程而言，它的自相关函数是特别重要的一个函数。这是因为，一方面平稳随机过程的统计特性，比如数字特征等，可通过自相关函数来描述；另一方面，自相关函数还揭示了平稳随机过程任意两个不同时刻之间的内在联系以及平稳随机过程的频谱特性。本小节先介绍自相关函数的有关性质，下一小节再讨论与相关函数紧密联系的有关功率谱密度的概念。

设ξ（t）为实平稳随机过程，那么其自相关函数R（τ）的定义见式（2-133），R（τ）具有如下主要性质。

这是因为，平稳随机过程的总能量往往是无穷的，而其平均功率却是有限的。

这一点直接可由定义式（2-133）得到证实。

这可由非负式E[ξ（t）±ξ（t+τ）]²≥0推演而得。

这是因为

这里利用了当τ→∞时ξ（t）与ξ（t+τ）变得没有依赖关系，即统计独立。

这一点直接由性质（1）和性质（4）得到。

由上述性质可知，用自相关函数可表述ξ（t）的主要数字特征，且以上性质有明显的实际物理意义。

2.6.4 平稳随机过程的功率谱密度

由2.3节可以知道，确知信号的自相关函数与其谱密度之间有确定的傅里叶变换关系。那么，对于平稳随机过程，其自相关函数与功率谱密度之间是否也存在这种变换关系呢？任意的确定功率信号f（t），它的功率谱密度P_s（f）可表示成

式中，F_T（f）是f（t）的截短函数f_T（t）（如图2-18所示）的频谱函数。而对于功率型的平稳随机过程而言，它的每一实现也将是功率信号，因而每一实现的功率谱也可由式（2-143）表示。但是，随机过程中哪一实现出现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计平均。设ξ（t）的功率谱密度为P_ξ（f），ξ（t）的某一实现的截短函数为ξ_T（t），且Γ[ξ_T（t）]=F_T（f），于是有

图2-18 功率信号f（t）及其截短函数f_T（t）

ξ（t）的平均功率S即可表示成

由式（2-144）、各态历经性和积分变量的代换，可以证明^[10，3]：

所以，

这说明，ξ（t）的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶变换关系。

【例2-14】 求随机相位正弦波ξ（t）=sin（2πf₀t+θ）的自相关函数与功率谱密度。式中，f₀是常数；θ是在区间（0，2π）上均匀分布的随机变量。

解：先求ξ（t）的数学期望a（t）

再根据式（2-123）有

R（t₁，t₂）=E[ξ（t₁）ξ（t₂）]=E[sin（2πf₀t₁+θ）sin（2πf₀t₂+θ）]

令t₁=t，t₂=t+τ，则上式变为

可见，R（t，t+τ）与时间t无关，仅与τ有关。所以ξ（t）是广义平稳随机过程。

另外，ξ（t）的功率谱密度为[利用式（2-146）]

容易看出，由R（τ）或P_ξ（f）可求得ξ（t）的平均功率为1/2。

2.6.5 周期平稳随机过程

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在处理携带数字信息的信号时，会经常遇到一类非平稳随机过程，由于其统计特性在时间域上表现为周期性，因而称其为周期平稳。下面来讨论具有这种性质的随机过程，设随机过程：

其中，{a_n}是一个时间离散的实随机序列，对于所有的n，其均值E[a_n]=m_a，自相关序列为ϕ_aa（k）=E[a_na_n+k]；g（t）是确知信号。序列{a_n}表示要在信道上传送的数字信息序列，1/T表示信息符号的传输速率。

下面求ξ（t）的均值和自相关函数。首先，均值是

由上式可以看到均值是随时间变化的，由平稳随机过程的定义可知，此时该随机过程是非平稳的，由式（2-129）和式（2-131）可知它既不是严格平稳也不是广义平稳，此时均值是时间t的周期函数，其周期为T。

ξ（t）的自相关函数是

观察上式，我们有

对于任意的k=±1，±2，式（2-151）成立，因此ξ（t）的自相关函数也是T的周期函数。具有上述式（2-149）和式（2-151）特性的随机过程称为周期平稳随机过程。

对于周期平稳随机过程我们用一种近似方法来得到其功率谱密度。在一个信号周期内计算时间平均自相关函数，定义如下：

该式表示周期平稳随机过程ξ（t）的时间平均自相关函数。消除时间变量后，我们就可以方便地处理该时间平均自相关函数。对的傅里叶变换得到周期平稳随机过程ξ（t）的平均功率谱密度。这种方法利用平均功率谱密度简化了对周期平稳随机过程的频域表示，即ξ（t）的平均功率谱密度为