1.5 基尔霍夫定律
基尔霍夫定律是电路中电压和电流所遵循的基本规律，是分析和计算较为复杂电路的基础。基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL），可以分别列写电流方程和电压方程。
基尔霍夫定律既可以用于直流电路的分析，也可以用于交流电路的分析，还可以用于含有电子元件的非线性电路的分析。基尔霍夫定律是反映电路连接特性的定律，而与元件性质无关。
在讨论基尔霍夫定律之前，先介绍几个电路的专用术语，参考图1-32所示电路。
1）支路（branch）：支路是指电路中的每一个分支。一条支路流过一个电流，称为支路电流，不同的支路流过不同的支路电流。图1-32所示电路共有6条支路，有6个不同的支路电流。通常用b表示支路数。支路中如含有电源，则称为有源支路；支路中如没有电源，则称为无源支路。
2）节点（node）：3条或3条以上支路的连接点称为节点，图1-32所示电路共有4个节点，分别是节点⓪、①、②和③。通常用n表示节点数。
图1-32 基尔霍夫电流定律
3）回路（loop）：电路中任一闭合路径称为回路。图1-32所示电路共有7个回路，分别是⓪①②⓪、⓪②③⓪、①②③①、①②③⓪①、⓪②③①⓪、⓪②①③⓪和⓪①③⓪。
4）网孔（mesh）：网孔是指内部不含支路的回路。图1-32所示电路共有3个网孔，分别是⓪①②⓪、⓪②③⓪和①②③①。
1.5.1 基尔霍夫电流定律
KCL 任一瞬间，对于电路的任一节点，与该节点相连的所有支路电流代数和等于零。
对于节点k，KCL用公式表示为
式中，N是第k个节点上所连的支路数。
公式中的符号可约定为：流入节点的电流为正号，流出节点的电流为负号，或者相反约定也可以。对如图1-32所示电路，可以列写KCL方程为
式（1-20）可改写为
即得到KCL的另一种表述：任一瞬间，对于电路的任一节点，流入该节点的支路电流之和等于流出该节点的支路电流之和。
KCL的推广应用：KCL不仅适合于电路中的任一节点，也可推广到包围部分电路的任一闭合平面。这时可将闭合平面看作一个广义节点，例如，图1-33a中虚线框所包围的部分可作为一个广义节点，则-I1+I2+I6=0A。根据广义节点的KCL，可直接判断图1-33b所示电路中间支路的电流I=0A。
需要明确的是：
1）KCL是电荷守恒和电流连续性原理在电路中任意节点处的反映。
图1-33 KCL的推广应用
2）KCL是对支路电流加的约束，与支路上接的是什么元件无关，与电路是线性还是非线性无关。
3）KCL电流方程是按电流参考方向列写的，与电流实际方向无关。
4）计算中，电流本身也应带数值符号，该符号不能与KCL方程中的公式符号相混淆。
1.5.2 基尔霍夫电压定律
KVL：任一瞬间，对于电路的任一闭合回路，各个元件的电压代数和等于零。
用公式表示为
回路k：
式中，M是第k个回路中元件的个数。
公式中的符号约定为：与回路参考绕向一致的电压取正，否则为负。对图1-34所示电路，可列写KVL方程为
图1-34 基尔霍夫电压定律
在KVL方程中，也可结合反映支路上电压、电流关系的欧姆定律，则KVL方程可改写为
由式（1-24）可知，KVL方程可写成如下形式，即
公式中的正负号可按以下规则约定：若回路的循行方向与电阻上的电流方向一致，则IjRj项前取正号，反之，取负号。循行时，若先遇电压源正极，则
项前取正号，反之，取负号。
KVL的推广应用：KVL也适用于开口电路上。如图1-35a所示电路，考虑到端口电压，可以作为一个广义回路，因此可根据KVL列电压方程为
图1-35 KVL的推广应用
式（1-26）可改写为
式（1-27）反映了电压与路径无关，可由图1-35b所示电路直接得出。
需要明确的是：
1）KVL的实质反映了电路遵从能量守恒定律。
2）KVL是对回路电压加的约束，与回路各支路上接的是什么元件无关，与电路是线性还是非线性无关。
3）KVL电压方程是按电压参考方向列写的，与电压实际方向无关。
4）计算中，电压本身也应带数值符号，该符号也同样不能与KVL方程中的公式符号相混淆。
1.5.3 独立方程个数的讨论
对于一般复杂电路，可以应用基尔霍夫电流定律和电压定律列出方程，以便对电路进行分析和计算。如果电路具有b条支路，n个节点，那么究竟可以列出多少个独立方程呢？在图1-32所示电路中，共有4个节点，根据KCL对节点可以列出
式（1-28）等于式（1-20）中的3个方程之和，所以它不是一个独立方程。
结论：一般而言，对具有n个节点的电路只能得到（n-1）个独立KCL电流方程。由于图1-34所示电路共有4个节点，所以只能列出3个独立电流方程。
在图1-34所示电路中，根据KVL对外围回路列出电压方程，有
式（1-29）等于式（1-24）中的3个方程之和，所以它不是一个独立方程。结论：一般而言，对具有n个节点，b条支路的电路只能得到b-（n-1）个独立KVL电压方程。对平面电路而言，独立的电压方程的个数等于电路的网孔数。由于图1-32所示电路共有3个网孔，所以只能列出3个独立电压方程。
【例1-7】 电路如图1-36所示，利用KVL列写回路的电压方程。
图1-36 例1-7电路图
解：先为回路任意设一个循行方向，假定顺时针为循行方向，则可根据KVL列写电压方程，有
【例1-8】 利用KCL和KVL求图1-37a所示电路中的电流I1、I2和I3。
图1-37 例1-8电路图
a）题图 b）图解说明
解：
1）该电路可列一个独立KCL方程和两个独立KVL方程。对图1-37b所示电路节点①列KCL方程
2）对图1-37b的回路1和回路2列KVL方程
3）联立求解方程组，得
【例1-9】 利用KCL和KVL求图1-38a所示电路中的电压U。
图1-38 例1-9电路图
a）题图 b）图解说明
解：如图1-38b所示电路中，由欧姆定律得
对图1-38b的回路列KVL方程如下：-U+6I2+8=0，即
解得
