数字的发明＞＞
无论是结绳，还是在骨头、木棍上刻痕，这些计数方法只存在于遥远的过去，在美索不达米亚平原上发现的计数方法也同样消失在了岁月的长河中。1928年，在努兹——现今伊拉克摩苏尔南部的一个城市，考古学家在发掘遗迹时找到了一个陶土罐，个头比鸡蛋稍稍大些，可追溯至公元前15世纪，表面带有一些楔形文字。这些文字表示了不同的物体——48只动物，其中有公羊、绵羊、羔羊和山羊。在罐子里，考古学家们发现了相同数量的陶土做的小物件。这个容器应该和狼骨或狒狒骨上的刻痕作用一样：用物件表示相应的动物数量。
也就是如今数学上说的一一对应关系：计算时，一根骨头或木棍上的每一道刻痕、一小堆石子中的每一颗、一个容器中的每一个物件都对应着一个物体，反之亦然。当然，这种对应关系，比如下维斯特尼采古人在骨头上刻下的划痕，无法直接显示物件的数量，呈现的只是有多少刻痕、绳结或小石子。在木棍上有序列地刻下划痕、结绳或是在容器中放置物品，已经是一个相当抽象的符号系统了，因为它们都与被计数的事物分离，既可以表示动物数量，也可以表示借贷量或者一个月的天数。然而，距离数字这个概念的诞生，还差一步，跨越数百年之久的一步。
在努兹出土的那个文物，应该是人们在遥远的古代所使用的东西。那可能是一个会计的陶土罐。会计在城门附近，计算牧人带去放牧的动物数量，眼前经过多少只牲畜，就在容器里放多少个陶土物件。这些物件或是形状各异，或是刻有不同的图案，以对应不同的动物。这或许是一位为地主工作的会计，地主雇用牧人带他的牲畜去城外放牧，会计负责计算牲畜数量。
可是，当牧人放牧归来时，如何确保无人使诈呢？也许，是牧人弄丢了一只羊，或是地主在容器里多放了一个物件，以索要赔偿，或是会计意图诈骗双方？为了防止这一切的发生，找到的解决办法就是在陶罐外面刻上说明罐中内容的文字，然后密封陶罐。当牧人归来时，只要打破陶罐，检查物件数与牲畜数是否对应即可。这种方式貌似也被用来计算其他东西，如谷物、织物、餐具等。
就这样过去了数个世纪，直到又一个“普罗米修斯”出现，他突然意识到，需要使用一个不同的符号记录事物，而不必多次重复现用的符号来表示内容。伟大的逻辑学家伯特兰·罗素曾写道：“经历了多个世纪，人们才发现两只山鸡和两天都是数字2的例子。”当人们发现这一点时，就是数字的抽象概念诞生的宿命时刻。这一刻就发生在美索不达米亚平原的一个城市里，一位佚名会计想到可以在陶罐的表面刻上一个符号，不管计算的对象是公羊、绵羊、山羊，还是谷物，都不会影响这个符号的所指。
你们试想，用同一个抽象符号表示相同数量的动物、谷物或花瓶！“其中内涵的抽象程度实在让人难以领悟。”罗素也发出了这样的感慨。面对数字，我们已经习以为常，所以很难体会到这个想法所具有的重要的变革意义。在《被缚的普罗米修斯》中，埃斯库罗斯[1]将那个宿命时刻的结果——数字称作普罗米修斯赠予人类的最杰出的发明。这并非偶然。一旦掌握了数字的抽象概念，人们就会很快发现，比起像鸡蛋一样的圆罐，使用黏土板更方便。他们用一种装有硬片的工具笔在黏土板上刻出数字符号，也就是我们在古巴比伦黏土板上看到的那些数字符号。
看第一眼，我们就会很明显地注意到，一个数字产生于一个常数值的叠加总和，就像数学家们说的那样，这种记数系统采用的是加法规则。从黏土板上，我们就可以看见这种系统究竟是如何运行的。比如，你们看看表示数字1、2、3的符号：数字2的符号重复了两次数字1的符号，数字3则重复了三次。你们想一下，就会发现这个记数方式很眼熟。罗马数字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ也是这样的。
中文数字、古印度的婆罗门数字和笈多王朝[2]使用的数字，还有在大洋彼岸的玛雅数字，都采取了同样的方法。
总而言之，大多数的古代文明在表示前三个数字时，都采取了同样的方式：重复表示“1”的符号一次，两次，三次。仔细看看的话，现代的阿拉伯数字也体现了同样的重复方式。可是，从数字4开始，所有的文明就都放弃了这种重复。从巴比伦数字黏土板上也可以看出这一点。为什么呢？你们试想一下，如果要表示数字23，需要重复排列表示“1”的符号二十三次，无论是书写还是阅读，都会很困难——怎么能一眼就看出它是23，而不是21或者24呢？或许存在一个更深层的原因——对一些出生几个月的婴孩进行试验，结果证实人类与生俱来的数感的容量不超过三。
把这个问题留给认知心理学家深入研究吧，让我们回到巴比伦的数字黏土板。你们会发现，从数字10开始，这个记数系统变成了十进制的，一直到数字60。回到之前举的例子，重复数字10的符号，旁边再加上数字3的符号，表示的就是数字23。但是，我们的十进位法是按10的乘方序列进行的，即1、10、10×10、10×10×10等，而古巴比伦则是交替着使用10和6，如图所示：
换句话说，这个系统实行的是以60为基数的六十进制，或者更准确地说，是采用了十进位法和六十进位法。
古埃及使用的也是一种十进位制的记数法，即他们的记数系统中存在表示常数值的符号（典型的有1、10、…、10的n次方）。为什么是十进制呢？因为在遥远的古代，用双手的十个手指计数是再自然不过的选择。这个解剖学上的细节，被爱德华·卢卡斯恰如其分地表述为“自然界的一个偶然事件”，使十进位法成了应用最广泛的记数法。这种十进位法当然不是唯一的记数法，从数学的角度看，可能也不是最方便的记数法，也不是我们如今使用的十进制。
这种十进制，经由古代美索不达米亚（和埃及）人民，从印度地区传入西方。在此之前的数千年里，西方使用的是一种运用加法的记数法，一个数字是几个表示固定数值的符号叠加组合而成。我们最熟悉的罗马数字遵循的就是这个方法：V表示数字5，X表示数字10，L表示50，C表示100等，这些特殊符号构成了罗马数字的加性记数系统。根据这种方法，数字6写作VI，数字11写作XI。在这个系统中还运行着减法规则：在一个符号的左边添加一个代表更小数值的符号，以表示一个数字，比如IV表示4，IX表示9。
在古代，为了计算，一些民族不仅仅用上手指，还会用上脚趾。只有这样才能解释，为什么西非的一些地区、中美洲和欧洲的某些地方采用的是以20为基数的记数法。我们在许多语言中都可以看到它的踪迹。莎士比亚在《圣经》的英译本中找到了一个表达方式“three score and ten”（20的3倍加10），借麦克白之口用这个说法表示人类的平均寿命，也就是古稀之年。
“Four score and seven years ago（87年前）。”1863年11月19日，为悼念在南北战争葛底斯堡之役中阵亡的将士，林肯在葛底斯堡国家公墓揭幕式中发表演说，开篇便是这句，随即追忆美国的开国元勋。1776年，北美洲十三个英属殖民地脱离英国独立，一个新的国家随之诞生。从那一年到1863年，正好过了87年。林肯纪念堂里有一块石刻，上面的铭文就是葛底斯堡的这场演说词。所以，在林肯所使用的英语里，“score”表示二十。一百年之后，在马丁·路德·金的演说中，也出现了这个词。1963年8月，正是在林肯纪念堂的石阶上，他发表了著名的演讲《我有一个梦想》，开头便是“Five score years ago”（100年前）。在现今流行的英语里，score已经不再有那个含义了。
在英国，独特的十二进制与二十进制混合的货币系统也同样消失了。原先，根据这种货币系统，1英镑等于20先令，1先令等于12便士。1971年引进了十进制货币系统，1英镑等于100便士，而先令在1990年彻底停止流通。在巴斯克语、丹麦语和法语中，也能找到二十进制记数法的痕迹。从quatre-vingts（80）、quatre-vingts-dix（90），到quatre-vingts-dix-neuf（99），这些数词表明凯尔特族过去采用的是二十进制记数法，但同时又混合着六十进制，比如数词soixante（60）到soixante-dix-neuf（79）。
大洋的另一边，在中美洲的玛雅文明和阿兹特克文明[3]中，我们也看到了二十进制记数法，值得注意的是，与此同时还短暂地出现了表示0的符号，尽管它在历史上没有留下任何痕迹。事实上，玛雅仅存一些碑文残片和未被烧毁的3份刻本，能够证明它在科技上的发展。西班牙方济各会传教士迭戈·德·兰达，曾任尤卡坦半岛上的宗教裁判所所长。他是一个狂热的基督徒，决意摧毁玛雅的一切文明与宗教。1562年7月12日，德·兰达下令在一场惩罚异教徒的火刑上烧毁玛雅的所有文稿。过了好多年，他才被控告进行了不合法的裁判，被遣送回西班牙以接受审判。或许是有所悔悟，他写下了《尤卡坦纪事》（写于1566年至1568年间），该书成为研究玛雅历史、宗教、文化，尤其是文字的第一手资料。后来，免于处分的他被腓力二世任命为尤卡坦总教区主教，并在尤卡坦结束了一生（葬在了梅里达的圣方济各修道院里，按照西班牙征服者的习惯，这座修道院建在一座玛雅金字塔的废墟上）。
我们所知晓的是，玛雅人用点线组成的符号表示1至19的数字，而表示数字0的符号则像一只半闭的眼睛，他们认为数字1至13是神圣的。（不仅仅玛雅人这样认为，古巴比伦的数字也有着神圣的含义，从天神安努开始，1到60的每一个数字都与特定的神灵有关。）
在一些学者看来，二十进制、十进制，还有十二进制记数法都是基于手指的构造，或者更准确地说是一只手上四根手指的指节（大拇指除外，每根手指上都有三段指节）。一种用手指数数的常用方式，比如数右手上的指节，一旦数到12，左手就记一根手指，直到用完5根手指（即12×5=60）。
近东地区的人民可能也使用这种数数方式，这也许能够解释为什么60和12在他们的记数法中有着特殊的作用。
注释：
[1]埃斯库罗斯（Aeschylos，约前525—前456），古希腊三大悲剧作家之一，被称为“悲剧之父”。
[2]笈多王朝，古代印度摩揭陀的第一个封建王朝（约320—6世纪中）。——编者注
[3]阿兹特克文明，古代印第安人“后期古典”文明，由阿兹特克人创造。位于中美洲，主要分布在墨西哥中部和南部，是美洲古代三大文明之一。——编者注