3.3 广义衰落信道

3.3.1 Nakagami-m衰落信道

Nakagami-m分布在20世纪40年代由Nakagami提出[4]。在Nakagami-m衰落模型中，将接收到的信号建模为簇群，每个簇群都有一些分散的多径成分，不同簇的延迟扩展要比单个簇内多径成分的延迟扩展大。假设每个簇都有相同的功率，在该模型中，衰落信号的包络X可以表示为

式中，n是接收信号中簇的个数；I_i和Q_i分别表示第i个簇的同相和正交相分量。另外，I_i分量和Q_i分量是相互独立的随机变量，其均值为0，方差为。

因此，衰落幅度可以表示为且。由于I_i分量和Q_i分量均为高斯分布，所以每个也都服从指数分布。就SNR的分布而言，它等于幅度分布的平方。在这种情况下，SNR是相互独立的伽马分布变量之和，所以SNR的PDF服从伽马分布，可表示为

式中，Γ（·）为伽马函数；为信号的平均功率，参数m是Nakagami-m衰落参数，表示信道受到多径衰落影响的程度，其范围为1/2到无穷。

Nakagami-m分布包含两种衰落信道，当m=1/2时，该分布表示单边带高斯分布；当m=1时，表示瑞利分布。

3.3.2 α-μ衰落信道

最初为了解决统计问题，提出了Stacy分布，后来，M.D.Yacoub将其应用到无线通信中，重命名为α-μ分布。α-μ分布也可用于在非均匀障碍物组成的环境中衰落信道的建模，这些障碍物在本质上是非线性的。

正如Nakagami-m衰落模型，α-μ衰落也将接收到的信号视为多径成分的簇的集合。假设簇不是确定分量，不同簇的延迟扩展要比簇内多径成分的延迟扩展更大，假设每个簇的平均功率相同，该模型与其他模型的不同之处在于对功率的定义。在α-μ分布中，衰落幅度被定义为在衰落信号中接收功率的第α根。在所有其他的衰落模型中，衰落幅度被定义为在衰落信号中接收功率的平方根。接收到的多路径簇和衰落幅度之间的服务关系为[5]

式中，n表示簇的数量；I_i和Q_i分别表示第i个簇的合成信号的同相和正交相分量。另外I_i和Q_i是相互独立的随机变量，其均值为零，方差为。其实α-μ分布与Nakagami-m分布是一样的，参数α在一定的衰落条件下引入了非线性函数。这种情况下，Xα服从Gamma分布，表示为平方Gamma随机分布的和。可以通过随机变换得到接收衰落信号幅度X的PDF为

式中，Ω_α是衰落幅度X的α根平均值，其被定义为。定义衰落参数μ＞0为簇的数量，其本质上是离散的。为了使μ的值连续，定义μ为[6]

在α-μ分布中，接收SNR的PDF为

3.3.3 η-μ衰落信道

η-μ衰落是由M.D.Yacoub提出作为一种建模不同衰落环境的广义分布[7]。η-μ分布也适用于建模非视距环境。作为一个广义衰落分布，许多研究人员普遍使用η-μ衰落分布来进行无线通信系统的分析。像Nakagami-m衰落，η-μ分布也建模一种广义衰落场景，包含由反射不同物理性质的障碍物、散射元件等组成的不均匀环境。

类似于Nakagami-m衰落模型，在η-μ衰落中，假设接收信号中的多路径成分是簇群的形式，并且簇群没有任何主导或者视距传输成分。每个簇群都有一些分散的多路径成分。不同簇群的延迟扩展相对大于簇群内多路径成分的延迟扩展。假设每个簇群具有相同的平均功率。然而，参数η使它不同于Nakagami-m衰落。定义η为同相分量的功率与接收到的信号的正交相位分量的功率之比。在这样的模型中，衰落信号的包络线X可以用不同统计参数的Nakagami-m衰落信号的包络线X表示，如式（3-15）所示。

式中，n表示接收信号中簇的数量；I_i和Q_i分别表示由此产生的信号中第i簇同相和正交相位成分。I_i和Q_i是由簇群的多路径成分组成，可以假设为均值为零的高斯分布，也就是E（I_i）=E（Q_i）=0。在η-μ衰落中，来自Nakagami-m衰落的变化表示方差，这与I_i和Q_i的功率是相同，I_i和Q_i的功率分别为和。

在Nakagami-m衰落模型中，衰落幅度可以表示为，其中。由于I_i和Q_i服从方差不同的高斯分布，可知不再服从指数分布。这种情况下，η-μ衰落幅度的PDF可以表示为[7，8]

式中，μ＞0是直接与簇的数量n相关的衰落参数；Γ（·）是伽马函数；I_v（·）是修正的第一类贝塞尔函数，阶数为v。，为了使μ的值变为连续的值，定义，V（·）表示方差，H和h是衰落参数η的函数，由于存在两种方式定义衰落参数η，所以存在两种形式的η-μ衰落信道。

（1）η-μ衰落：形式1

在这种形式下，假设每个簇内复合信号的同相和正交相位相互独立，其功率不同。η被定义为同相功率与正交相位功率之比，也就是。假设接收信号中所有簇的η是固定的。在这种情况下，η的取值范围是[0，∞]，H和h是η的函数，分别被定义为H=和。从定义式中可以观察到，当η=1时，H和h的值是对称的。也就是说，对于0＜η＜1和1≤η＜∞两种取值范围，H和h的值是相同的。这意味着对于这两种取值范围，接收信号的幅度的统计特性保持不变。

（2）η-μ衰落：形式2

在这种形式下，假设每个簇内复合信号包络的同相和正交相位是相关的，其功率相同。在这种形式下，η被定义为同相成分与正交成分的相关函数，也就是说，η=或者。假设接收信号中所有簇内同相和正交相位之间的相关参数是相同的。在这种情况下，η的取值范围为（-1，1），H和h是η的函数，分别被定义为和。从定义式中可以观察到，当η=0时，H和h的值是对称的。因此，考虑0≤η＜1或者-1＜η≤0两种取值范围，H和h的值是一样的。在这种形式下，比值简化为η。

以上两种形式是不同的，但是对于某些衰落参数值，形式1和形式2的分布是相互匹配的。参数μ是以相同的方式定义的。因此，为了关联形式1和形式2，需要建立形式1和形式2的参数η之间的关系（虽然以不同的方式定义）。这个关系可以通过前面讨论的两种格式的比值来给出：[9]

就分布而言，信噪比等于振幅分布的平方。所以，可以说X2的PDF等于信噪比。η-μ分布的瞬时SNR的PDF表示为[7，8]

式中，μ＞0表示衰落参数，定义为。

3.3.4 κ-μ衰落信道

κ-μ衰落是由M.D.Yacoub提出作为一种建模不同衰落环境的广义分布[10]。不像Nakagami-m和η-μ衰落模型，κ-μ分布适用于建模视距环境。作为一个广义衰落分布，许多研究人员普遍使用κ-μ衰落分布来进行无线通信系统的分析。像Nakagami-m和η-μ分布，κ-μ分布也可以建模一种广义衰落场景，包含由反射不同物理性质的障碍物、散射元件等组成的不均匀环境。

类似于Nakagami-m和η-μ衰落模型，在κ-μ分布中，假设接收信号中的多路径成分是簇群的形式。每个簇都有一些分散的多路径成分。不同簇群的延迟扩展相对大于簇群内多路径成分的延迟扩展。假设每个簇群具有相同的平均功率。不像η-μ衰落，与Nakagami-m衰落类似的是，在κ-μ衰落中，同相和正交分量是独立的，并且具有相同的功率。然而，假设每个簇具有相同的视距成分的主导成分。在这个模型中，不同于Nakagami-m和η-μ衰落，衰落信号的包络X表示为

式中，n表示接收信号中簇的数量；（I_i+p_i）和（Q_i+q_i）分别表示由此产生的信号中第i个簇同相和正交相位成分；相互独立分量I_i和Q_i服从均值为零，方差相同的高斯分布，也就是E（I_i）=E（Q_i）=0；p_i和q_i分别是接收信号中第i个簇的同相分量和正交分量的均值。同相分量和正交分量的非零均值表明在接收到的信号簇中存在一个主导分量。

正如Nakagami-m和η-μ衰落模型，衰落幅度表示为，其中。由于I_i和Q_i服从高斯分布，所以服从非中心卡方分布。在这种情况下，κ-μ衰落幅度的PDF表示为[8，10]

式中，κ是主导（视距）成分与分散成分的总功率的比值；μ＞0是一个衰减参数，其值与接收信号中簇群的数量n直接相关。由于n的值是离散的，所以μ的值也是离散的。为了使参数μ变为连续的值，定义。

衰落信道下的信噪比随接收信号振幅的平方而变化。因此，就分布而言，信噪比的PDF等于振幅分布的平方。利用随机变量转换技术，由式（3-18）中振幅的PDF可得信噪比的PDF。κ-μ分布的瞬时SNR的PDF表示为

式中，。

3.3.5 κ-μ阴影衰落信道

κ-μ阴影分布的衰落模型是对κ-μ分布的物理模型的推广。一个由波簇构成的信号在非均匀环境中传播，在每个簇内，假设多径波具有相同功率的散射波和任意功率的确定分量。即使散射波具有随机相位和相似的延迟时间，但是簇间的延迟时间传播是相对较大的。κ-μ模型中假定每个集群中有一个确定分量，而在κ-μ阴影模型中，由于阴影的存在，假设所有簇的确定分量是随机波动的。

从κ-μ阴影分布的物理模型来看，衰落信号包含同相分量和正交分量，其功率W可以表示为

式中，n是自然数；X_i和Y_i是相互独立的高斯变量，其均值为零、方差为σ2；p_i和q_i是实数；ξ是一个Nakagami-m随机变量，E（ξ2）=1。

简而言之，信号包络的分布和信号功率的分布命名为κ-μ阴影。式（3-21）的模型表明在阴影放大系数ξ服从κ-μ分布的条件下，信号功率W的条件概率PDF表示为[8，11，12]

式中，是确定分量的平均功率；I_v（·）是第一类贝塞尔函数[12]。正如文献[8]中所述，式（3-22）中的自然数n可以用非负数μ代替，这样分布函数更普遍和灵活。定义κ=d2/（2σ2μ），当μ是一个自然数时，参数κ为确定分量的总功率和散射波的总功率之比。在许多实际分析中，任意变量γ代表瞬时SNR。因此，考虑，其中E（γ），W=E（W）=d2+2σ2μ。

就随机变量γ而言，式（3-20）可以重写为

令表示κ-μ阴影随机变量，均值为，κ、μ和m为非负整数形状参数。根据式（3-21），κ-μ阴影分布的PDF表示为

其中，₁F₁（·）为合流超几何函数[12]。

κ-μ阴影模型是一个通用的衰落模型，可用于建模多种类型的无线衰落信道，例如单边带高斯衰落（μ=0.5，κ→0，m→∞）、瑞利衰落（μ=1，κ→0，m→∞）、Nakagami-m衰落（μ=m，κ→0，m→∞）、莱斯衰落（μ=1，κ=K，m→∞，K为莱斯因子）、κ-μ衰落（m→∞）和莱斯阴影衰落（μ=1，κ=K）[13]。