1.3.1 计算理论研究
填埋式地下涵洞的土压力计算方法众多，典型的涵洞垂直土压力计算方法大致可分为五类。
1.3.1.1 从散体极限平衡条件出发的计算方法
该方法是由美国土木工程协会前主席马斯顿（Marston）提出的。该方法是在“摩擦学说”的基础上发展起来的，其假定涵洞不可压缩，涵洞填土在沉降过程中产生于涵洞同宽的两个垂直滑动面。马斯顿在这些假定基础上应用极限平衡条件，于1913年发表论文《沟埋管道荷载理论及水泥管、陶土管和污水管的试验》，推导出了垂直土压力计算公式，此公式就是现在公认的马斯顿（Marston）公式。
Marston公式的提出基于三点假设。
（1）剪切面假设。沿管道水平直径两端点，向地面引垂线，把管周围土体分为三部分，管顶上方为内土柱，其两侧为外土柱，内外土柱的分界面称为剪切面，在土体沉陷变形过程中，内外土柱通过剪切面做相对运动，并产生剪切力。
（2）极限平衡状态假定。内、外土柱间的相对运动，用极限状态表示。
（3）管顶垂直土压力分布按抛物线假定。
同时，Marston运用了等沉面的概念，即管顶填土的内土柱与管顶填土的外土柱存在沉降差异，这种沉降差异随着填土高度的增加而逐渐减小。当填土高度达到某一临界值He后，这种沉降差异可忽略不计；He以上填土可认为均匀沉降，相应于He的平面，称为等沉面。这种垂直土压力计算方法的物理力学模型如图1.2所示[15]。
图1.2 马斯顿极限平衡法物理力学模型
取微元体列平衡方程式，求解微分方程，得到上埋式管道土压力计算公式。当H≤He时，
（1.1）
当H>He时，
（1.2）
式中 γ——上部填土的重度；
f——tanφ；
φ——填土的内摩擦角；
K——土压力系数，Marston公式中取为主动土压力系数：
；
D——埋管的直径；
H——上部填土的高度。
前苏联的克列因博士也较为深入地研究了埋入散粒体（土体）内结构物上的土压力，他在《散粒体结构力学》著作中提出填埋于散粒体内的结构物的土压力计算方法和考虑拱效应的土压力计算方法，同时介绍了一些相关的室内试验与现场测试成果，对研究高填土涵洞的土压力计算理论具有重要的参考价值[25]。
国内许多学者也致力于填埋式结构物垂直土压力的研究。浙江大学曾国熙教授于1960年对马斯顿公式进行了修正，第一次将压缩地基上的土坝由于横断面沉降不均匀所引起的土拱作用，考虑到涵洞土压力计算中来[17]，推导出管顶垂直土压力计算公式。刘祖典教授于1963年对马斯顿公式进行了修正，其公式的计算结果均小于马斯顿公式的计算结果[18]。田文铎利用散粒体极限平衡理论和假设的计算模型推导了刚性管道和柔性管道的土压力计算公式[19]。刘全林假定了管道变形后引起的土滑动体破坏形状，提出土压力计算模型，推出计算公式[20]。王秉勇等假设涵洞与其上填土形成一倒三角形楔形稳定体，由此推导涵顶土压力的计算公式[21-24]。
1.3.1.2 “卸荷拱”计算方法（卸荷拱理论[25]）
卸荷拱法是从1907年苏联普罗托基亚可诺夫提出的隧道（或坑道）土压力计算的“卸荷拱”理论派生出来的。他认为岩体中存在许多纵横交错的节理裂隙和各种弱面，将岩体切割成尺寸不等、形状各异、整体性完全破坏的小块岩体；由于岩块间相互嵌入，可将其视为具有一定内聚力的松散体；在岩体中开挖洞室后，由于应力重分布，使洞室围岩发生破坏，并引起顶部岩体发生塌落；当这种顶部塌落达到一定程度后，岩体进入新的平衡状态，形成一自然平衡拱，有的把这种拱叫压力拱。根据普氏卸荷拱理论及涵顶填土材料的性质，当涵管埋置较深时，由沉降产生的滑动面不可能贯穿填埋土体（散粒体）的整个厚度，而是到一定高度后彼此连接，在涵管上方也形成一个封闭区，在封闭区上方形成自然卸荷拱，作用于涵管上的压力等于破坏区（卸荷拱里的区域）所包括的土体重力，作用于涵管上的垂直土压力小于顶部土柱的重力，而等于卸荷拱下的“移动”土体的重力。这种方法的力学模型与计算原理如图1.3所示。
图1.3 普氏卸荷拱理论的物理力学模型
卸荷拱的形状是一条抛物线，卸荷拱的最大高度
。
作用于涵管上的呈抛物线分布的土压力的最大值为
（1.3）
式中，B为卸荷拱的计算跨度，B=b+2h0 tan（π/4-φ/2）；b和h0分别为涵管的宽度和高度。
这种方法计算涵洞垂直土压力时，当填土高度达到hc后，土压力数值不再增加，这种计算方法偏离涵洞实际受力情况，同时实践也表明在填土中很难形成稳定的卸荷拱。
1.3.1.3 土柱压力法
土柱压力法假设涵管不改变土体的极限应力状态，并把问题看作静力平面问题，假定土压力与填土厚度成比例的计算方法。该方法是由交通部于1954年颁布的《公路工程设计准则》提出的，并一直沿用至今。该方法忽略由于涵洞和两侧填土刚度差异在涵洞顶部造成的应力集中现象，在填土高度较小的情况下，涵洞结构设计的安全度常常弥补计算的土压力偏小的危害，但在高填土涵洞土压力计算情况下，涵洞破坏不可避免。则位于距地面深度为Z处的涵管顶部任一点的垂直应力可用下式计算：
（1.4）
根据上式可得作用在涵管顶部的垂直压力的合力等于涵管上方土体的重力。
1.3.1.4 垂直土压力集中系数法
相较于土柱压力法，苏联工程师维诺格拉多夫建议采用形式更为简单的垂直土压力集中系数法，考虑涵管与土相对刚度比不同导致土体沉陷变形过程中引起的土体内部应力重分布及其对涵管受力的影响，建立如下公式：
（1.5）
式中，Ks为土压力集中系数，依据实际经验确定。该公式形式虽然简单，但系数凭借经验得出，计算显得粗略。
1.3.1.5 从变形条件出发，以弹性理论解为基础的土压力计算方法
捷克的M.L.普鲁什卡于1961年提出的计算方法是从填土、地基和涵洞变形条件出发，以胡克定律为基础，把涵洞填土假定为半无限弹性体，用弹性理论得出由涵洞和填土的相应变形计算出作用在涵洞上的附加应力，附加应力与洞顶土柱压力之和构成总的垂直土压力。
1963年顾安全教授通过室内模型试验总结出影响涵洞受力的各种因素，并将这些因素对土压力的影响归结为洞顶平面内外土柱间沉降差δ这一变量上。以此为基础推出相应的公式，于1981年发表文章详细阐述[13]，并被多位学者参考引用[16，26，32，35，39]。
（1.6）
式中 h——涵洞突出地面高度；
H——涵洞上部填土高度；
μ——填土的泊松比；
E——涵顶部填土的变形模量；
Eh——涵洞两侧同高度填土的变形模量；
ωc——与刚性涵洞长宽比有关的系数；
η——涵洞截面的外形影响系数。