第3章
传爆药-主装药间冲击起爆p-t关系

3.1　p-t参数的理论计算

从冲击起爆的观点来看，主装药的起爆过程主要是靠传爆药爆轰后输出的冲击压力脉冲来完成的，因此，了解和计算传爆药-主装药间冲击压力脉冲p-t参数是十分重要的。下面利用爆轰理论推导p-t参数。

3.1.1　p-t参数的一维计算

3.1.1.1　物理模型的建立

为了方便，考虑传爆药-主装药间爆轰波垂直入射模型，如图3.1所示。

在图3.1中，ρ₀和ρ_m0分别为传爆药柱和主装药柱的初始密度，u_m0为主装药的初始质点速度，D和L分别为传爆药柱的爆速和长度。

为了进一步简化问题，提出如下假设：

①主装药柱的冲击阻抗小于传爆药柱的冲击阻抗（对于主装药的冲击阻抗大于传爆药柱冲击阻抗的情况后面还将讨论）。这时，在爆轰波作用下，主装药中形成冲击波，反射回爆轰产物的是膨胀波。爆轰产物的流动可视为等熵流动。

②整个过程是一维的，平面爆轰波向主装药柱进行正面垂直冲击。

③固体的冲击压缩方程D=a+bu（其中，a、b为Hugoniot常数，u为质点速度）不仅可用于炸药中冲击波参数的计算，还可用于波阵面后流场中参数的计算。

④在爆轰波作用下，炸药可近似视为流体。

⑤炸药爆轰产物多方指数k=3。

⑥忽略主装药柱的化学反应。

3.1.1.2　推导

由上述物理模型，可认为所研究的问题是一维等熵不定常流。描述这种流动的基本方程是双曲线的偏微分方程，这种方程可以变换成特征形式，即沿特征线这些方程为常微分方程。由于特征线法在一维计算中的突出优点，本书下面采用特征线法。

可压缩流体的一维等熵不定常流的偏微分方程包括：

（1）连续性方程

　　（3.1）

（2）运动方程

　　（3.2）

由式（3.1）和式（3.2）可以得到沿特征线的常微分方程：

C+：

　　（3.3）

C-：

　　（3.4）

注意到，则式（3.3）和式（3.4）也可写成：

C+：

　　（3.5）

C-：

　　（3.6）

对于多方指数k=3的爆轰产物，可进一步简化式（3.5）和式（3.6）：

C+：

　　（3.7）

C-：

　　（3.8）

若取传爆药柱起爆开始瞬间为零时刻，传爆药柱长度为L，则在t=L/D时刻，爆轰波到达传爆药-主装药界面。此时，爆轰产物的质点速度立即由u_H变为分界面的初始速度u_bx，产物的声速立即由c_H变为分界面处产物的初始声速c_bx，且有关系式

u_H+c_H=u_bx+c_bx=D

在分界面处，爆轰产物运动速度u_b的变化规律为：

x=（u+c）t=（u_b+c_b）t　　（3.9）

式（3.9）两边对t求导，并注意到，可得到：

　　（3.10）

爆轰产物的多方方程可写作：

　　（3.11）

可得：

　　（3.12）

　　（3.13）

由于分界面两侧存在着压力和速度的连续性条件，因此，对于爆轰波到达界面后任意时刻t有：

p_b（t）=p_mp（t）

式中，u_b（t）为t时刻主装药柱表面的质点速度，mm/μs；p_mp（t）为t时刻主装药柱表面的冲击波压力，GPa。

由主装药柱的冲击压缩方程和冲击波的动量守恒关系，可以得到在t时刻分界面的压力：

p_b（t）=p_mp（t）=ρ_m0（a+bu_b）u_b　　（3.14）

求解式（3.14）可以得到：

　　（3.15）

将式（3.15）两边求导：

　　（3.16）

将式（3.15）代入式（3.16）并整理得：

　　（3.17）

将式（3.12）、式（3.13）、式（3.17）代入式（3.11）可得：

整理为：

两边积分：

即

　　（3.18）

式（3.18）给出了p（t）关系。

式中，p为爆轰波到达界面处任意时刻t的压力，GPa；p_bx为爆轰波到达临界面时的初始压力，GPa。

根据爆轰理论，当分界面处反射波为膨胀波时，左传膨胀波传播过程的动量守恒方程为：

dp=-ρc du

用u_bx表示分界面处爆轰产物的初始速度，p_bx表示分界面处爆轰产物的初始压力，则有：

　　（3.19）

由爆轰产物的多方方程

p=Aρk

得到：

应用以下关系式：

得

代入式（3.19）进行积分得：

代入得：

当k=3时可简化为：

　　（3.20）

式（3.20）从爆轰产物方面给出了u_bx和p_bx的关系，其中。另外，根据主装药柱冲击压缩方程和冲击波动量守恒方程，有：

p_bx=ρ_m0（a+bu_bx）u_bx　　（3.21）

式（3.18）给出了一维情况下爆轰波到达分界面后任意时刻t的冲击压力p（t），亦即传爆药-主装药间冲击起爆脉冲p-t关系，式（3.20）和式（3.21）联立可以求解式（3.18）中的p_bx。

以上推导是基于假设传爆药柱冲击阻抗大于主装药柱冲击阻抗进行的。当传爆药柱冲击阻抗小于主装药柱冲击阻抗时，在爆轰波作用下，主装药柱中形成的是冲击波，爆轰产物中的反射波也是冲击波。由于反射冲击波相对于密度较高的爆轰产物而言属于弱冲击波，爆轰产物的流动也可近似地视为等熵流动。因此，p-t关系式的推导过程和结果同前面一样，仍得出式（3.18）的p-t关系式。但是式（3.20）要做相应变化。

由于爆轰产物中反射冲击波的传播方向与波前质点速度的方向相反，并且波后质点速度以正向表示，即波后质点速度也与反射冲击波传播方向相反。按照冲击波前、后参数关系表达式，考虑到质点运动方向，波前、波后速度增加量为：

　　（3.22）

式中，v_H、v_bx为反射冲击波前、后爆轰产物比体积，m3/kg。

利用爆轰产物的多方方程p=Aρk，可将反射冲击波的Hugoniot方程写成：

将其代入式（3.22）得到：

而其中：

代入后得到：

当k=3时，有：

　　（3.23）

这样，当传爆药柱冲击阻抗小于主装药冲击阻抗时，通过联立求解式（3.23）和式（3.21），可得到p_bx。然后通过式（3.18）描述冲击脉冲p-t关系。

3.1.2　p-t参数的二维计算

上节推导了一维情况下传爆药-主装药间冲击起爆压力脉冲p-t关系式，该关系式适用于传爆药柱处于侧向强约束条件的情况。但是，在大多数情况下，传爆药柱处于非强约束甚至裸露的状态。此时，必须考虑其侧向稀疏的影响。为此，本节讨论二维情况下传爆药-主装药间的p-t关系式。

3.1.2.1　关系式推导

仍然采用上节传爆药-主装药的模型加以讨论。假设：

①主装药的冲击阻抗小于传爆药柱的冲击阻抗。

②传爆药柱裸露，整个过程是二维的。

③在爆轰作用下，炸药可视为流体，爆轰产物的流动可视为等熵流动。

根据鲍姆有效装药量的概念，对于如图3.2所示半径为r，高度为L的裸露炸药柱，由于侧向稀疏和后部稀疏作用，该药柱的有效装药量w_eff为：

折合成一维药柱后，其有效装药高度L_eff为：

　　（3.24）

同3.1.1节中p-t关系式的推导一样，仍可得出：

　　（3.25）

其中，p_bx可由下列方程组的解给出：

　　（3.26）

式中，L和r为传爆药柱的高度和半径，mm；D为传爆药柱的理想爆速，mm/μs；ρ₀和ρ_m0为传爆药柱和主装药柱的初始密度，g/cm3；a和b为主装药的Hugoniot常数；k为爆轰产物多方指数；p_bx为分界面处冲击脉冲的初始压力，GPa；p为分界面处脉冲在任意时刻的压力，GPa；t为冲击到达分界面的时间，μs。

式（3.24）～式（3.26）结合起来，可求出二维情况下传爆药-主装药间冲击起爆压力脉冲p-t关系。

3.1.2.2　p-t参数的数值计算

式（3.25）较为复杂，只能采用数值计算的方法求解。具体方法是给出p为某一小于p_bx的确定值，用Romberg求积分法计算，然后用对分法求解到该给定压力下对应的时间t。具体计算可采用程序[cal_plz.c]进行。下面是该程序的基本结构和内容。

/**cal_ptz.c**/
#include”ptyh_m.h”/**此头文件见本书4.1节**/
main()
{
Message（“P-T”）；     /****显示提示信息*******/
Inputdat（8）；        /****输入数据********/
Cal_Leff()；         /*****求有效药高Leff******/
Cal_Pbx()；          /*****求峰值压力Pbx（在1到PH+100之间）******/
Cal_ptz()；          /*****求p-T值******/
Print_pt()；         /*****打印p-T*****/

以下给出一组计算实例。为了使计算结果便于和实验结果比较，所给参数与实验情况相同。

现有装药体积一定，高径比不同的如下五种尺寸的JO-9C传爆药柱分别与有机玻璃（有机玻璃阻抗与大部分炸药阻抗相近）接触爆炸（ϕ表示直径，乘号后面的数字表示高度）：①ϕ20.85mm×46.20mm；②ϕ22.85mm×38.50mm；③ϕ29.80mm×22.60mm；④ϕ35.90mm×15.50mm；⑤ϕ42.35mm×11.20mm。

传爆药柱初始压药密度ρ₀=1.705g/cm3，稳定爆速测得为D=8.3mm/μs；有机玻璃密度ρ₀=1.185g/cm3；Hugoniot常数a=2.572mm/μs，b=1.536146。

以上参数输入程序[Cal_puz.c]，分别求得以上五种不同尺寸传爆药柱的p-t数值解，如表3.1所示。输入参数如下：

主发药柱密度/（g/cm3）　1.705

被发药柱密度/（g/cm3）　1.185

主发药柱爆速/（mm/μs）　8.3

多方指数　3

被发药柱Hugoniot参数a/（mm/μs）　2.572

被发药柱Hugoniot参数b　1.536

主发药柱直径/mm　20.85　22.85　29.80　35.90　42.35

主发药柱高度/mm　46.20　38.50　22.60　15.50　11.20

3.1.2.3　p-t参数的拟合计算

以上求得二维情况下传爆药-主装药冲击起爆脉冲p-t关系的数值解。然而，在有些情况下数值解不便于应用，需要以较为简单的函数关系式表达。为此，本书在以上数值解的基础上，通过最小二乘法数值拟合的办法，求得较为简单的p-t拟合关系式，具体拟合计算用程序[cal_ptnh.c]进行。下面是该程序的基本结构和内容。

/**cal_pmh.c**/
#include”ptyh_m.h”/**此头文件见本书4.2节**/
main()
Message（“PT_NH“）；/*****显示提示信息******/
Input_dat（8）；      /***输入数据***/
Cal_Leff()；          /***求有效药高Leff*****/
Cal_Pbx()；           /***求峰值压力Pbx（在1到PH+100之间）****/
Cal_ptz()；           /****求p-T值**/
Cal_pnhO()；          /*****求p-T拟合曲线****/
Print_ptnh()；        /*****打印p-T拟合曲线方程****/
    }

对于3.1.2.2节所举例的五种尺寸的传爆药柱，其p-t拟合关系式分别为：

p（t）=20.33-24.87t+11.05t2-1.53t3

p（t）=20.33-23.05t+9.50t2-1.22t3

p（t）=20.33-24.55t+10.77t2-1.47t3

p（t）=20.36-30.60t+16.70t2-2.84t3

p（t）=20.39-39.19t+27.36t2-5.95t3

上节p-t数值解结果和本节p-t拟合关系式的作用比较见图3.3～图3.7。图3.3～图3.7中虚线表示数值解，实线表示拟合曲线。