第一节 数学^注37

60.数学在公元前5世纪和前4世纪迅猛发展（无疑是源于巴比伦和埃及，但发展出了相当独特的样式），此后其内容被编入欧几里得的《几何原本》，这构成了数学进一步发展的基础。许多数学家都对这种发展做出了贡献，这里我们提其中两位：阿基米德（Archimedes）和阿波罗尼奥斯（Apollonius）。阿基米德用严格的方法确定了曲线所围成的平面图形的面积，以及曲面所围成的立体的面积和体积；阿波罗尼奥斯则通过深入研究圆锥曲线，将数学领域大大拓展，使之远远超出了初等范围。他们的著作使数学蓬勃发展，随后则是一个衰落期，尽管当时出现了帕普斯（Pappus）、丢番图（Diophantus）等少数大数学家，但总体上看，希腊数学已经停滞不前，数学思想水准有了明显下降，昔日的伟大人物以不同程度被遗忘。

数学在很大程度上是由希腊人自行创造的，他们在这一领域拥有非凡的能力。而他们之所以无法将其继续推向前进，无疑可以归因于古典文化在后来的希腊化时期全面衰落。但还有一个内在的数学原因，那就是数学思想总是单纯以欧几里得几何为导向，从而导致对代数方面的忽视。在代数领域，早有古老的巴比伦传统可以利用，现在看来，希腊数学家似乎只要继续下去，就能在公元前300年达到后来阿拉伯人和16世纪意大利人所取得的成就。然而，希腊人不仅没有抓住机会，甚至还有意将他们从前人那里学到的代数方法移植到几何领域。最明显的表现是，希腊人将巴比伦人解二次方程的代数方法替换成欧几里得的几何方法（即所谓的面积计算或几何代数）。

61.这种数学进程的惊人转变与缺乏合适的数学符号有关（有时很难说清楚哪个是因，哪个是果）。希腊数学家的所有论证都是用语词表达的，只要领略过合适的代数符号的好处，任何人都会对那种烦琐和笨拙失去耐心。用字母表示数表明他们缺乏实用符号，这一点尤其令人惊讶，因为在这方面，他们可能同样得益于巴比伦人甚多：巴比伦人的数字符号部分基于极其有效的位值制，这使得某个数字符号的值依赖于它所占据的位置。此外，用字母来表示数，导致用字母表示不定数的代数不可能发展起来，从而使尽管不是唯一可设想的、但至少在形式上最为接近的符号代数成为不可能。开始时，希腊人本来因其计算弦长的方法而在三角学上大有前途，但同样由于缺少合适的符号，他们无法将其发展下去。虽然阿基米德和阿波罗尼奥斯的一些推理只需转写成代数符号就可以算作解析几何，但这里决定性的一步（恰恰在于这种代数表示法）同样没有迈出。

62.在希腊数学的这两个关键特征（单纯的几何化和不实用的符号）中，单纯的几何化无疑来源于使希腊人做出杰出数学成就的逻辑严格性，这正是其最大数学长处的弱点。他们用几何方法克服了与无理数和连续性概念有关的思想困难，从而使几何学成为在他们看来唯一严格的数学分支；欧多克斯的比例论正是用几何语言发展出来的，它等价于一种正实数理论；另一个被赋予几何形式的主题（同样由欧多克斯引入，并由阿基米德完善）是通过间接推理获得结果的完全严格的方法，后来的数学分析则通过极限过程获得了同样结果；在理论算术中，不一定有确定值的数不是用字母而是用线段来表示的（同样是出于已经提到的理由，即这些字母表示确定的数）。还要指出，希腊人另一项极为重要的数学发现，即公理系统的观念，首先在几何学中得以体现和运用。即使可供使用的符号并不妨碍一种字母代数发展起来，相信只有几何学才能达到真正的严格性，也多半会阻碍这一发展。

63.而第二个关键特征，即缺少合适的符号，不仅与已经提到的用字母表示数有关，而且也出于另一种原因。柏拉图主义数学家（欧几里得是一个彻头彻尾的柏拉图主义者）相当不切实际，对数学的应用不屑一顾，这导致结构精巧的《几何原本》体系仅仅局限于数学，缺乏日常生活和自然科学所提出问题的激励。欧几里得数学和柏拉图主义形式学说是同一棵思想之树上结出的果实，几何学家关注的是更高世界的理想形式。尽管“几何学”［字面意思为“测地术”］一词仍然能让人想起它来源于地界的活动，尽管视觉和触觉所把握的对象也许可以大大帮助我们唤醒对真正的数学实在的沉睡记忆，即唤醒回忆（ἀνάμνησις）（I:14），但几何学本身已经不再与这些对象以及对它们的操作有任何关系，几何学并不属于这个世界。因此，柏拉图从根本上反对借助物质性的东西来解决任何数学问题，就像有时解决立方倍积问题那样。他嘲笑有些人希望通过指出数学的实际效用来证明数学对于思想教育不可或缺。正是本着这样的精神，欧几里得才极力避免在论证中设想几何图形在运动，仿佛它是物质对象似的。

64.这也使我们能够理解（或者比初看起来更容易理解），为什么希腊数学基本的标准著作，即欧几里得的《几何原本》，虽然包含着对数的知识（即算术）的深入讨论，却没有告诉我们希腊人是如何书写这些数以及如何用它们来计算的。后者的内容被称为逻辑斯蒂（logistic），是一种实用的东西；^注38虽然作为技艺（τέχνη，一种基于理解的活动），逻辑斯蒂远高于纯粹的经验（ἐμπειρία，仅仅是对经验规则的惯常运用，如烹饪术），但它又远低于像算术这样本质上指向理想世界的知识（ἐπιστήμη）。

因此，希腊数学家一方面极大地丰富了数学，严格地说是创造了纯粹形式的数学，但另一方面，由于固守完全纯粹的领域，完全不考虑数学在这一领域之外的应用，他们又极大地阻碍了数学的发展。从以后几个世纪可以清楚地看到，这种故步自封给数学造成了多大危害，数学本可以首先从实际生活，然后从科学，最后从基于科学的技术中获得强大的发展动力。这些动力在希腊人那里从未出现，因为只有少数几种科学分支能用数学处理，而且用科学来实现的技术还根本不存在。这里我们也许会再次感到好奇，到底哪个是因，哪个是果。

65.在另一个更大的语境中（I:86—95），我们还会再次回到希腊数学的这个特征，这里只需指出另一个特点，它同样来源于柏拉图主义，并且阻碍了数学的实际应用。实际上，由于希腊数学家关注的是不变的、永恒的理想形式，他们与致力于研究理型的哲学家一样，都不关注变化。因此，希腊人从未将变化本身当作数学思辨和研究的对象；像某一瞬间的运动速度、曲线在某一点的切线方向这样的概念，完全不在他们的考虑范围之内。希腊运动学处理的是匀速运动，它与柏拉图公理（I:15）结合在一起对天文学来说已经足够；在亚里士多德的动力学中，恒定的力导致恒定的速度；在几何学中，切线并不被视为弦的极限位置，而是被看成这样一条直线，在一定区域内它的一个点位于曲线之上，而其他点则位于曲线之外。这种限制所导致的重要后果显而易见：虽然阿基米德已经相当接近于后来的积分演算，他的一些论证可以自然地理解成用几何形式表达的积分，但他和任何其他希腊数学家都没有沿微分演算^注39的方向迈出一步。他们从未试图用数学来表示一个点在某一瞬间如何移动，或者一条曲线在某一点是什么方向。直到17世纪，研究变化的数学才从这些问题中发展出来，这就是所谓的流数法或微分演算。