5.2 特征值解法EIGRL/EIGRA

特征值是矩阵的重要特性，在实模态计算过程中，特征值问题表达式为

式中，矩阵K和M是对称正定或半正定矩阵，这是一个典型的广义特征值问题。特征值及特征向量的经典算法包括幂法与反幂法、QR变换法、Hessenberg变换法、Lanczos三对角化法等。在有限元计算过程中，一般不需要计算所有的模态，而仅需少量对结构振动有贡献的低阶模态。

5.2.1 兰索士（Lanczos）法

OptiStruct中默认采用Lanczos法计算稀疏矩阵的特征值问题，它是一种结合矩阵三对角化及迭代过程的经典算法。

Lanczos法的优点是准确计算特征值和相关模态振型，对于计算频段以内模态数量较小的模型非常有效。但Lanczos法不太适用于使用具有数百万自由度的模型且需要计算数百或上千阶模态的问题，因为此时计算速度偏慢，运行时间很容易延长到数天。在这种情况下，推荐使用更为先进的AMSES方法。

在OptiStruct中，Lanczos法使用卡片EIGRL来表示，见表5-1及表5-2。

在使用时，V1、V2、ND三个字段可以由表5-3中的几种组合来进行求解频段的定义。V1、V2、ND同时给定时，求解的特征值范围和个数为三个参数决定的最小集合。例如，V1=10、V2=100、ND=3时，最后得到的是10～100Hz内前三个模态频率及对应振型。如果模型存在刚体模态，推荐使用V1为空，即V1=-∞，这样可以防止遗漏因数值误差导致的频率为极小负值的刚体模态。

5.2.2 AMSES模态求解加速算法

AMSES英文全称为Automatic Multi-level Sub-structuring Eigensolver Solution，即自动多层级子结构特征值求解。该方法的优点是每个层级只需要计算一部分子结构的特征值问题，而后再进行综合求解，因此磁盘空间占用大大减少，运行时间得到有效缩短。例如，对于典型的NVH分析，通常可挑选重点关注的若干（<100）个自由度响应，这样上百万网格的上千阶模态可以在几个小时内求解完成。

AMSES方法的缺点是结果精度略逊于Lanczos法，但计算低阶模态的精度依然非常高，通过提高模态分析的上限频率即可得到较完备的模态空间。对于动力学分析来说，由模态振型形成较完备的振型空间通常比每个模态振型都完全精确更重要。若仅要求解算少量模态构成的运动，可以仅使用Lanczos算法。

在OptiStruct中，AMSES法使用卡片EIGRA来表示，见表5-4和表5-5。

在使用上，EIGRA与EIGRL基本是一致的。考虑到模型可能存在刚体模态，推荐使用V1=blank（为空）。不同之处在于，AMSES中V2必须指定，模态频段组合定义见表5-6。

总体而言，AMSES比Lanczos法更适用于自由度规模超过100万的模型，以及求解特征值频率范围较高或模态数较大的情况。如果模态振型的精度很重要，可以先运行AMSES，然后在一定频率范围内用Lanczos法验证检查AMSES运行的准确性。也可以调整AMPFFACT，提高各子结构的计算频率上限，以增加求解精度。大量实际计算表明，AMSES求解的结果与Lanczos法是高度匹配的。

AMSES可用于所有动力学相关分析。特别地，对于仅需少量自由度输出结果时（典型的NVH分析），AMSES的速度可能比Lanczos法快上100倍。反之，如果需要计算所有节点的自由度，或模型中存在大量RBE3单元并对非常多的自由度进行连接，那么AMSES效率将大幅降低。因此，使用AMSES进行动力学分析时，应避免不必要的输出，仅保留少量实际有需求的节点，并最好减少模型中不必要的RBE3单元。