2.3 控制系统的复数域数学模型
控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。这种方法比较直观，特别是借助于计算机可以迅速而准确地求得结果。但是若系统的结构改变或某个参数变化时，就要重新列写并求解微分方程，这样不便于对系统进行分析和设计。
用拉普拉斯变换法求解线性系统的微分方程时，可以得到控制系统在复数域中的数学模型即传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，就是以传递函数为基础建立起来的，传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。利用传递函数不必求解微分方程，即可研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
2.3.1 传递函数的定义和性质
1. 传递函数的定义
线性定常系统的传递函数是指在零初始条件下，系统的输出量与输入量的拉普拉斯变换之比。零初始条件是指当t≤0时，系统的输入量u（t）、输出量c（t）以及它们的各阶导数均为零。
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
式中，ai（i=1，2，…，n）和bj（j=1，2，…，m）为常系数，由系统的结构和参数决定。有C（s）=L[c（t）]，U（s）=L[u（t）]，在零初始条件下，系统关于s的代数方程整理为
于是，系统的传递函数为
下面举例说明如何求取简单环节的传递函数。
【例2-16】 已知图2-1所示RLC电路网络的微分方程为
求该RLC电路网络的传递函数。
解：当初始条件为零时，RLC电路网络微分方程的拉普拉斯变换为
（LCs2+RCs+1）Uc（s）=Ur（s）
则该电路网络的传递函数为
【例2-17】 求图2-7所示电路网络的传递函数
。
图2-7 某电路网络
解：根据运算放大器“虚地”“虚断”“虚短”的概念，结合基尔霍夫定律，该电路网络的传递函数计算如下：
2. 传递函数的性质
传递函数的性质如下：
1）传递函数经拉普拉斯变换推导出来，而拉普拉斯变换是一种线性积分运算，所以传递函数只适用于线性定常系统。
2）传递函数是复变量s的有理真分式，其分子多项式和分母多项式的各项系数均为实数，且分子多项式的阶次m低于或等于分母多项式的阶次n。
3）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的大小和形式无关，也无法反映系统内部的任何信息。
4）传递函数中各项系数值和微分方程中各项系数对应相等。当确定了系统时域内的数学模型——微分方程，则系统在复域内的传递函数可唯一确定。
5）传递函数G（s）的拉普拉斯反变换是系统的脉冲响应k（t）。
k（t）是系统在单位脉冲δ（t）输入时的输出响应。此时U（s）=L[δ（t）]=1，故有
k（t）=L-1[C（s）]=L-1[C（s）U（s）]=L-1[G（s）]
对于简单的系统和元件，首先列出它的输出量与输入量的微分方程，求其在零初始条件下的拉普拉斯变换，然后由输出量与输入量的拉普拉斯变换之比，即可求得系统的传递函数。对于较复杂的系统和元件，可以将其分解成各局部环节，求得环节的传递函数，然后利用本章所介绍的框图变换法则，计算系统总的传递函数。
2.3.2 典型环节的传递函数
一个实际的控制系统是由各种元部件组成的，如放大元件、执行机构和测量装置等。虽然各种元件的物理性质和结构用途方面都有着很大的差异，但若抛开其具体结构和物理特点，研究其运动规律和数学模型的共性，就可以划分成为数不多的几种典型环节。这些典型环节是比例环节、积分环节、微分环节、比例微分环节、惯性环节、二阶振荡所节和滞后环节。由于典型环节是按数学模型的共性划分，不同物理结构的元件可以在形式上具有完全相同的传递函数。
1. 比例环节
比例环节是一个最基本的环节，又称为放大环节，其输出量以一定比例复现输入信号。比例环节的微分方程为
式中，K为常数，称为放大系数或增益。图2-8为比例环节的框图。
图2-8 比例环节
比例环节的传递函数为
如齿轮减速器、无弹性变形的杠杆、不计非线性和惯性的电子放大器、测速发电机（输出为电压、输入为转速）等都可以认为是比例环节。但应指出，完全理想的比例环节在实际中是不存在的。杠杆总存在弹性变形，电子放大器的放大系数也会随输入信号的频率改变而发生变化，测速发电机电压与转速之间的关系也不完全是线性关系。因此把上述这些环节当作比例环节是一种理想化的方法。但要注意理想化的条件和适用范围。
2. 积分环节
积分环节又称为无差环节。积分环节的微分方程为
式（2-38）表明，积分环节的输出量与输入量的积分成正比。其传递函数为
图2-9 运算放大器
图2-9所示的由运算放大器组成的积分器，其输入电压ur（t）和输出电压uc（t）之间的关系为
对式（2-40）两边取拉普拉斯变换，求得传递函数为
在实际工程中，水槽液位、烤箱温度和电动机转速等系统都属于积分环节。
3. 微分环节
微分环节又称为超前环节，是控制系统中常用环节。
1）理想微分环节。理想微分环节仅在理论上存在，在实际工程中不能单独实现。其特点是在暂态过程中，输出量为输入量的微分，即
式中，K为时间常数。对应的传递函数为
图2-10c所示的测速发电机，当其输入量为转角φ，输出量为电枢电压Uc时，具有微分环节的作用。设测速发电机的角速度为ω=
，其输出电压uc与其角速度ω成正比，则有
故传递函数为
2）实际微分环节。实际微分环节又称为复合微分环节，图2-10a所示的RC电路，是实际中常用的微分环节，其微分方程为
消去中间变量，可得
其传递函数为
式中，T=RC为时间常数。
当RC≤1时，则其传递函数近似写成
3）比例微分环节。图2-10b所示的RC电路也是微分环节，它与图2-10a所示的微分电路不同之处在于，电压ur为输入量，回路电流i为输出量。根据电路原理可知，当输入电压ur发生变化时，有
图2-10 微分环节
故该电路的传递函数为
式中，T=RC为微分时间常数。具有这种传递函数形式的环节即为比例微分环节。
4）惯性环节。惯性环节因含有储能元件，所以对突变的输入信号不能立即复现。其特点是输出量缓慢地反映输入量的变化。惯性环节的微分方程为
其传递函数为
式中，K为比例系数；T为惯性环节的时间常数。从式（2-53）可知，当T=0时，该环节即为比例环节。
图2-11所示的RC电路即是惯性环节，其输入电压ur（t）和输出电压uc（t）之间的关系为
图2-11 RC电路
对式（2-54）取拉普拉斯变换，求得传递函数为
在实际工程中，如单容液位系统、电热炉炉温系统等，均可视为惯性环节。
5）二阶振荡环节。二阶振荡环节的微分方程为
其传递函数为
式中，T为时间常数；K为放大系数；ζ为阻尼系数（也称阻尼比）；ωn为无阻尼自然振荡频率。对于振荡环节，0≤ζ＜1。
有两个储能元件的系统属于二阶系统，图2-1所示的RLC电路、图2-3所示的弹簧-质量-阻尼系统均属于二阶振荡环节。
6）滞后环节。滞后环节也称为延迟环节，其输出信号与输入信号的形状完全相同，只是在延迟一段时间后复现原函数。其数学表达式为
式中，τ为滞后时间。
由拉普拉斯变换的平移定理，可求得其输出量在零初始条件下的拉普拉斯变换为
其传递函数为
在实际工程中，如晶闸管整流装置、流体管道传输和热交换系统等，均属于滞后环节。
【例2-18】 图2-12所示为简化后的直流发电机电路。其中，转子为恒速转动，其输入为励磁电压ui，输出为电压uo，求此系统的传递函数。
图2-12 直流发电机电路
解：励磁电路电压方程为
在输出电路中转子为恒速，有
u o（t）=K1i（t）
对上式取拉普拉斯变换，则系统传递函数为
