2.3.3 电容元件的正弦交流电路

图2.9所示为电容元件C的单一参数正弦交流电路。流过电容C的电流为正弦电流i，电容C两端的电压为正弦电压u，两者参考方向关联。这里为了推导的方便，令正弦电压u为

对电容C，电压瞬时量u和电流瞬时量i关系为

式（2.67）称为电容C上电压和电流的瞬时表达式。

下面对电容C，根据u和i的瞬时表达式，推导出对应电压相量和对应电流相量之间的表达式。

将式（2.66）代入式（2.67）可得

可见，在正弦量u的激励下，响应i也是正弦量。根据正弦量u和i的表达式，见式（2.66）和式（2.68），可分别写出它们的相量式：

将电压相量除以电流相量得

这里，令X_C＝，称X_C为电容C的容抗，并称－jX_C为电容C的复容抗。容抗X_C的国际单位为Ω。所以相量和相量的关系可表达为

式（2.71）称为电容C上电压和电流的相量表达式。

根据u和i相量表达式关系，见式（2.71），容易得出如下结论：

1）电容上，电压有效值U和电流有效值I的关系为

这里重新令正弦电流i＝Isin（ωt+ψ），主要是为了与电阻和电感的正弦交流电路的正弦电流一致，方便以电流作为基准进行比较。

因为（－jX_C）＝IX_C∠（ψ－90°），根据相量的定义可知，电压u的有效值为U＝IX_C。还可知，电流i的初相为ψ，而电压u的初相为ψ－90°，即电压初相减去电流初相为－90°。于是得出第二条结论。

2）电容上，电压u滞后电流i相位90°，或称相量滞后相量相位90°，其相量关系示意图如图2.10所示。

对于容抗X_C＝，它表明电容元件对通过它的电流的阻碍作用，此作用与交流电的频率密切相关。前面提到直流电可以看成是频率为0的特殊正弦交流电，所以在直流电路中，电容的容抗X_C→∞，这表明此时流过电容的电流趋近于0，其表现为电容处的电路就像断路了一样。如果电容在正弦交流电路中，则随着频率f的增大，容抗X_C将越来越小，也即对电流的阻碍作用越来越弱。这表明，电容具有俗称的“隔直通交”的作用。

【例题2.3】把一只电容系数C＝0.3183μF的电容接到电压U＝100V、频率f＝50Hz的正弦交流电源上，求流过电容的电流I是多少；若接到电压U＝100V、频率f＝1000Hz的正弦交流电源上，流过电容的电流I又是多少？

解答：

1）接到电压U＝100V、频率f＝50Hz的正弦交流电源，则电容的容抗X_C＝＝1×104Ω。

根据电容上电压和电流有效值的关系可得

2）接到电压U＝100V、频率f＝1000Hz的正弦交流电源，则电容的容抗X_C＝＝500Ω。

根据电容上电压和电流有效值的关系可得