2.2.4 位置运动学和动力学方程

1.位置运动学

机械运动是广义运动，它是一种最简单的基本运动。机械运动指物体位置的改变，它与物体本身的物理性质和加在物体上的力无关。

位置运动学研究运动的几何学，不考虑运动的时间。速度运动学则研究运动几何学和运动时间的关系。

位置运动学分为运动学正问题和运动学逆问题。

（1）运动学正问题

实现从机器人的H系到固定B系的坐标变换称为机器人运动学的正问题。对机器人，运动学正问题描述为已知机器人杆件的几何参数和关节变量，求末端执行器相对机械坐标系的位置和姿态。

1）杆件几何参数。图2-14是相邻关节坐标系间关系的描述。

图中，l_i-1是关节A_i-1与相邻关节A_i之间的杆长，它与两个轴线相互垂直。同样，l_i是关节A_i与相邻关节A_i+1之间的杆长。各轴的z坐标与轴线一致，按右手法则旋转方向，转角θ_i为关节变量。通常，它的x坐标方向与杆长方向一致，y坐标的方向根据右手法则确定。

z轴坐标的确定。对旋转轴，z坐标与轴线一致，按右手法则旋转方向。对直线移动情况，z轴沿直线移动的方向作为该轴的方向。

x轴坐标的确定。分三种情况：

● 如果前后两个关节的z轴既不平行也不相交的情况，取两个z轴的公垂线方向作为x轴的方向，根据右手法则确定其正方向。

● 当两个z轴平行时，由于有无穷多条公垂线，因此，可选用与上一关节的公垂线共线的一条公垂线作为x轴的方向。

● 当两个z轴相交时，可取两个z轴的叉积方向作为x轴的方向。

y轴坐标的确定。y坐标的方向根据右手法则确定。即x和z轴的叉积方向作为y轴的方向。

2）相邻坐标系之间关系如下：

● 将x_i-1轴绕z_i-1轴转θ_i-1角度（称为旋转角，作为关节变量），将其与下一个轴的x_i轴平行。

● 沿z_i-1轴平移d_i距离（称为关节偏移），使与下一个轴的x_i轴重合。

● 沿x_i轴平移距离l_i（称为连杆长度），使两个坐标系原点重合，使x轴重合。

● 绕x_i轴转α_i角度（称为关节扭转，作为关节变量），则两个坐标系完全重合。

3）建立D-H方程。根据迪纳维特（Denavit）和哈坦伯格（Hartenberg）方程确定相邻关节的变换矩阵。

根据关节A_i-1和A_i之间的相邻参数，可确定D-H矩阵如下：

因此，求得从第i-1关节到第i关节的变换矩阵为

4）确定正问题的解。从机械坐标系开始，根据各关节变量参数，依次分别计算相邻关节的D-H变换矩阵，则整体系统姿态可以将各相邻矩阵相乘确定，对六自由度机器人，有

（2）运动学逆问题

运动学逆问题是正问题的反向运算。即已知末端执行器相对机械坐标系的位置和姿态，求解机器人杆件的几何参数和关节变量。与正问题比较，可以发现逆问题存在多解或无解，因此，需要多次求解非线性超越方程。运动学逆问题是实现从固定B系到机器人的H系的坐标变换。

运动学逆问题可用解析法、几何法和迭代法等求解。

2.动力学方程

动力学研究物体的力与物体运动之间的关系。它以牛顿运动定律为基础，包括动量定理、动量矩定理和动能定理及根据三个基本定理导出的其他定理。

（1）牛顿-欧拉方程

牛顿-欧拉方程用于研究一定空间各个参数的变化，可分为平移和旋转两类。

● 平移。设运动物体质量m（kg）；运动物体线加速度a（m/s2）。则根据牛顿-欧拉方程，运动力f（N）为

● 旋转。设运动物体转动惯量J_c（kg·m2）；运动物体角速度为ω（rad/s2），则根据牛顿-欧拉方程，运动力矩τ（N·m）为

（2）拉格朗日力学方程

用于通过形位空间描述力学系统的运动。适用于研究受约束质点系的运动。为用s个独立变量描述完整系统的动力学关系，可用下列微分方程形式：

式中，q_i（i=1，2，…，n）是力学系统体系的广义坐标，例如，运动的线位移或角位移变量；是广义速度；F_i（i=1，2，…，n）是对应广义坐标的广义力；n是完整系统约束方程个数；T是用广义坐标和广义速度表示的总动能，即。

对非保守系统，它同时受到保守力和耗散力作用，由n个关节部件组成的机械系统可描述为

式中，V和D分别是系统的总势能和总耗散能，，。

拉格朗日函数L表示为

当操作机构的执行元件控制某平移的变量r时，施加在运动方向r的力表示为

当操作机构的执行元件控制某转动的变量θ时，执行元件的总力矩表示为

（3）两种方法的比较

表2-4是两种动力学方法的比较。