常数项级数（引例）教学设计方案

张美娟

中央财经大学

作品标题：常数项级数（引例）教学设计方案

所属课程：高等数学（下）

参考文献：[1]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[3]陈纪修，於崇华，金路.数学分析[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

[4][希腊]欧几里得.几何原本[M].徐光启，译.南京：江苏人民出版社，2011.

一、教学背景

无穷级数是《高等数学（下册）》最后一章的内容，学生之前已经学习了一元微积分和多元微积分的内容。无穷级数这一章的内容相对独立。

二、教学目标

1.知识目标

（1）理解探讨无穷级数的意义。

（2）掌握常数项级数的定义，理解级数收敛、发散及和的概念。

（3）掌握常数项级数敛散性判别法——Sn判敛法。

（4）了解其他形式的级数，了解级数的应用。

2.技能目标

（1）思考探索“无穷”与“有限”的关系。

（2）培养学生提出问题和分析问题的能力，使其掌握正确的研究方法。

3.思想目标

培养学生对课程的兴趣，锻炼其严谨的数学思维。

三、教学内容

1.引例——常数项级数

2.常数项级数的相关定义

（1）级数的概念、级数部分和的定义。

（2）级数敛散性的定义。

3.判断引例中常数项级数的敛散性

4.探索思考“无穷”与“有限”的关系

四、教学重点与难点

（1）教学重点：无穷级数的研究意义、常数项级数和级数敛散性的定义。

处理方法：通过实例激发兴趣，引发学生对无穷级数研究意义的思考；引入数学定义，并仔细分析后，再进一步对实例进行讲解分析。采用几何图形和多媒体动画演示相结合的方式。

（2）教学难点：启发学生思考“无穷”与“有限”的关系。

处理方法：通过多个实例引发思考，在分析讲解之后，创造课堂互动讨论的氛围，让学生在探讨中进一步深化对问题的理解；推荐书目，让学生课下进行深入思考。

五、教学方法

以讲授为主，辅以多媒体课件演示和课堂互动讨论。

六、教学过程

七、教学总结

本课程从常数项级数的引例讲起，首先引入《庄子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”和Eric Haines的Sphereflake涂漆试验，提出问题：如何定义无穷多个数相加的和？然后引出常数项级数的定义和级数敛散性的定义。之后回归这两个例子，在例题中深入讲解级数的定义和定义判敛法，并让学生思考探索“无穷”与“有限”的关系。最后简单给出级数的应用。

以两个例子作为引例来讲常数项级数，引例1所对应的无穷级数是收敛的，引例2所对应的无穷级数是发散的，目的是使学生对无穷级数的敛散性有更好的理解。常数项级数的相关概念和级数敛散性的定义是通过分析引例中的问题特征给出的，而非直接给出的。

本节课内容作为《高等数学（下册）》的最后一章，学生们已经学习了近两个学期的微积分，有一定的知识积累，此时引导学生深入思考探索“无穷”与“有限”的关系，不失为一个好时机。

在教学中，为学生创造了讨论环境，教师提出问题，启发学生积极思考：对引例1中的“万世不竭”和经典悖论“芝诺悖论”、引例2中的“Sphereflake涂漆试验”这三个悖论，教师设立小问题，一步步引导学生思考探索“无穷”与“有限”的关系。

从教学效果来看，很多学生以前并未对这几个问题进行深入思考，而当教师设立了一个又一个小问题时，学生不断思考、探索，积极与教师互动，这样既激发了学生的学习兴趣，又使学生对微积分及无穷级数有了更深的理解。