实践篇

可分离变量的微分方程

王　莎

北京物资学院

作品标题：可分离变量的微分方程

所属课程：高等数学

相关知识点：可分离变量的微分方程

参考文献：[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2]James Stewart.Calculus[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[3]田立平，鞠红梅.高等数学（上册）[M].2版.北京：机械工业出版社，2014.

[4]金慧萍，吴妙仙.高等数学应用100例：基于能力为导向的教学理念[M].杭州：浙江大学出版社，2011.

[5]王树禾.微分方程模型与混沌[M].合肥：中国科学技术大学出版社，1999.

一、教学背景

1.教材分析

《可分离变量的微分方程》属于《高等数学（上册）》第七章——常微分方程中的一节。从全书结构来看，本节内容是在一元函数导数、微分、不定积分与定积分的基础上介绍的，是一元函数导数与微分的重要应用。同时，微分方程的求解过程需要灵活运用积分的计算，这体现了函数导数、微分与积分的关系。从本章结构来看，可分离变量微分方程作为最简单的一元微分方程出现在本章第2节，一方面是对微分方程基本概念的巩固，另一方面是为介绍形式较为复杂的微分方程求解打下基础。

2.学情分析

学生已经学习了一元函数导数、微分与积分，以及微分方程的基本概念，具备了接受新知识的基础，但对于不定积分多种计算方法的灵活运用还不那么熟练。在求解可分离变量微分方程的过程中，灵活运用不定积分计算，对部分学生而言是个难点。

二、教学目标

1.知识与技能

（1）理解可分离变量微分方程的概念。

（2）掌握可分离变量微分方程的解法。

2.过程与方法

通过教师引导、讲解，学生观察、分析与练习，培养学生的观察、分析与计算能力，帮助学生体会在数学中化繁为简、化难为易的思想。

3.情感态度与价值观

通过可分离变量微分方程的学习与应用，激发学生学习数学的兴趣，增强学生解决数学问题的信心，培养学生细心观察、认真分析、善于推理的良好思维方式。

三、教学内容

可分离变量微分方程的概念与解法。

四、教学重点与难点

1.教学重点

本节课的教学重点为可分离变量微分方程的解法，即变量分离法。正确使用该方法有两个要点：①变量分离；②积分求解。可通过举例练习来帮助学生理解并掌握这一重点。

2.教学难点

在解方程时，分离变量后，由于不定积分的形式多样，选择合适的方法来求积分，从而求出原方程的解是教学的难点。

五、教学方法

本节课主要运用讲练结合的教学方法。

（1）引入购买余额宝储存教育基金的问题，吸引学生注意力，引起学生兴趣，同时帮助学生观察可分离变量微分方程的特点。

（2）给出可分离变量微分方程的概念，与学生共同提炼“分离变量”的含义，使学生掌握可分离变量微分方程的特点。

（3）讲授可分离变量微分方程的解法，点出求解过程的关键在于分离变量，求解过程的难点在于对后续积分的计算。

（4）举例介绍可分离变量微分方程的求解。例1为典型的可分离变量微分方程的通解求解问题，方程结构特点鲜明、计算较简单，便于学生理解和掌握变量分离法，建立学生学习的信心。例2为可分离变量微分方程的初值问题，方程形式与例1不同，难度略大，可进一步帮助学生灵活掌握变量分离法。

（5）回到最初的余额宝问题，让学生自己求该初值问题的解。

（6）总结可分离变量微分方程的特点与求解要点，并引出齐次微分方程。

六、教学过程

七、课后习题

1.求微分方程满足初始条件的特解。

2.解方程。