游戏中的数学——Dürer魔方

牛　敏

北京科技大学

作品标题：游戏中的数学——Dürer魔方

所属课程：大学数学应用案例

相关知识点：空间的基与维数、线性相关、线性无关、线性表示

参考文献：[1]北京大学数学系.高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.

[2]李尚志.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2006.

一、教学背景

线性相关、线性无关、线性表示、基与维数是线性代数中重要而又难懂的内容，而实例是理解和掌握这些抽象难懂的概念和结论的强有力工具，从实例中可以潜移默化地深刻体会这些定义和定理的深刻含义和强大威力。本微课以九宫图及Dürer魔方作为实例，启发式地引入线性空间的概念，从而寓教于乐地对线性空间进行全面讨论。

二、教学目标

通过视频内容的学习，应理解和掌握线性相关和线性无关的判定方法，掌握判断一个代数系统是否为线性空间的方法，进而领悟线性空间基的构造技巧。同时培养学生灵活运用技巧计算空间维数的思维能力，从而进一步培养学生独特的代数思维模式和解决实际问题的能力，为后续课程打下良好的基础。

三、教学内容与重点、难点分析

本微课从魔方出发，研究由其生成的线性空间，利用魔方之间的线性相关性给出魔方空间的维数及基，其中魔方之间的线性相关性是本课程的主要难点之一。教学中要特别注意培养学生严谨的逻辑推理能力和准确简洁的表达能力。基的构造是本课程的另一个重点与难点，在教学过程中要同时注意培养学生构造性证明的能力。

1.主要内容

（1）Dürer魔方的定义及性质。

（2）Dürer魔方空间的基与维数。

（3）Albrecht Dürer魔方的线性表示。

（4）推广与拓展。

2.教学重点

（1）判断一个代数系统是否为线性空间。

（2）线性相关性。

（3）空间基的构造。

3.教学难点

（1）线性相关性。

（2）空间基的构造。

四、教学方法与过程

我们选择以线性空间为纲的做法，把线性相关、线性无关和线性表示在线性空间的框架下展开。在讲解内容的同时，重点是传授代数学的基本思想。

1.问题引入

从影视作品《射雕英雄传》及德国的文艺复兴大师Albrecht Dürer（1471年5月—1528年4月）于1514年创作的一幅版画“Melencolia Ⅰ”（见图1）出发，自然而然地引入三阶魔方和四阶魔方。

上述两个例子中，数字的取值均有严格限制，可以计算出满足条件的魔方只有有限个。为了介绍线性空间，我们自然地将上述问题进行转化，允许表格中数字取任意实数，从而顺其自然地提出问题：在这种情况下魔方有多少个？如何构造？这也是本微课的重点内容。

2.Dürer魔方的定义

定义：对于一个四阶数表，若它的每一行（R）、每一列（C）、每一对角线（D）及四个相邻的2×2小方块（S）上的数字之和都为一个确定的数，则称这个数表为Dürer魔方，其和称为幻和。

备注：易知图1为Dürer魔方的一个特例，我们将其称为Albrecht Dürer魔方。此外，可以验证Dürer魔方具有加法和数乘的封闭性，构成一个线性空间，记为。我们可以用维数来衡量此空间的大小，因此我们接下来的主要任务是寻求此空间的基。

3.Dürer魔方空间基的构造

为了寻求基，我们先用元素0和1构造R=C=D=S=1的四阶魔方。由于第一行有四个选择，第二行只有两个选择，前两行确定之后第三、四两行中1的位置即可唯一确定，因此共有八种可能的选择，将其记为。具体如下：

结论1：是线性相关的。

证明：设E为所有元素均为1的矩阵。则易知

因此

其中0描述所有元素均为0的矩阵。即线性相关，且由于每个前系数均非零，故任意一种选择均可由其他七种选择线性表示。因此我们可以研究其中任意七种选择的线性相关性，我们不妨研究的线性相关性。

结论2：是线性无关的。

证明：设

将代入上式，且令数表中元素对应相等，可以得到

即齐次方程组只有零解。因此线性无关。

下面是我们的主要结论。

结论3：Dürer魔方空间的维数，因此恰好为魔方空间的一组基。

证明：首先，由于，因此由结论2可知，。

所以为证明，只需证明。

为此，我们引用如下的已知结论。

引理1：行和、列和、两对角线之和均相等的四阶矩阵为一个线性空间，记为，则的维数是8。

提示：根据引理的已知条件可以得到八个独立方程，即系数矩阵的秩等于8。

下面证明。由于，故。

同时令

则，但，故，因此，即得。

综上所述，魔方空间的维数恰好为7。因此，恰好为魔方空间的一组基。

4.Albrecht Dürer魔方的线性表示

由结论3已知为魔方空间的一组基，因此可知Albrecht Dürer于1514年创作的那幅作品中的四阶魔方（见图1）可由这组基来线性地表示。事实上，其线性表示形式如下：

5.理论推广

将限制条件变强或者变弱则维数也会随之改变，我们给出几个相应的结果，具体如下：

Botsch（1976年）证明了对于1～16之间的每一个数k，都存在k维四阶魔方的向量空间。

6.具体实例——完美魔方献奥运

2008年奥运会前夕，包中祥老人制作了一个立方体，立方体的六个面均为四阶“完美幻方”，且每个幻方四行四列的和等于2008，行和列的个位数之和均为8，以此来纪念2008年8月8日中国举办奥运会。

五、教学总结

本微课为线性代数的应用案例。在讲述过程中，我们不从定义出发，而是从《射雕英雄传》及Albrecht Dürer的作品出发，通过适当的数学语言加以描述，将它们转化为数学问题，随后利用线性空间的内容将原问题进行解决。让学生了解这些知识的本质。

我们希望通过从问题出发的教学模式引起学生探索问题的兴趣。以思考题结束的教学模式能提高学生的创新意识。希望通过此部分内容的讲解，可以引领学生开启线性代数的思维之门。