一元函数的微分
武利刚
北京建筑大学
作品标题：一元函数的微分
所属课程：高等数学
相关知识点：一元函数的微分
参考文献：[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.
[2]王迺信.微积分[M].2版.北京：中国农业出版社，2007.
[3]卓里奇.数学分析：第1卷[M].4版.北京：高等教育出版社，2006.
一、教学背景
本课程是工科专业的必修基础课，是以微积分为主体的一门数学课程，主要让学生掌握最基本的数学理论及方法，是许多后续课程学习的必备基础。由于微积分相关的概念抽象、理论严谨、应用广泛，所以长期以来，它的教与学面临很多挑战。前面课程已经学习了导数，本节课要处理的是可导的等价概念——微分。
函数估值问题具有显著的应用色彩，而大学课堂往往容易对这一点忽略或轻描淡写，所以本节课在讲解可微与可导联系时，估值思想贯穿始终，以估值审视连续，以估值引入微分，以估值为微分应用，以估值精确度提升的思考探索作为课程尾声。作为平衡，本课程相应地淡化了一些知识点的处理，如简单函数微分的求法，而微分的几何意义则留作课外思考题等。
二、教学目标
（1）理解引入微分概念的动机——函数估值。
（2）掌握微分的概念。
（3）掌握微分和导数的联系与区别。
（4）初步会用微分对函数估值。
三、教学内容
引入微分的动机，微分概念，微分和导数的区别与联系，用微分对函数估值。
四、教学重点与难点
微分与导数的联系，用微分对函数估值。
五、教学方法
借助多媒体技术演示用计算器查询61°正弦值，穿插牛顿与莱布尼兹之间的争端，吸引学生关注，然后介绍微分概念。多媒体课件注重知识的可视化处理，以简练呈现、高效传达为本，使学生在视觉与听觉的双通道中，完成课程内容的学习。在授课中，力求语言轻松、严谨而不拘于严肃。
六、教学过程
（1）视频播放用计算器查询61°正弦值的操作（见图1），引入估值的话题。
图1 用计算器查询61°正弦值
（2）指出目前所呈现的知识在高数知识地图中的位置，以导数概念中没有微分的字眼为由，介绍牛顿与莱布尼兹在若干世纪之前的争端（见图2），调动学生对微分的兴趣。
图2 牛顿与莱布尼兹的争端
（3）提出微分概念的动机是估计函数值增量，通过回溯历史，指出莱布尼兹在处理这一估值问题时的独特之处（见图3）：注意到了实际增量与线性增量之间的误差关系，这是一个重大的方法和理论革新。
图3 提出微分的概念
（4）给出微分的概念，并介绍牛顿与莱布尼兹相互请教的故事，阐释微分与导数的等价关系。这样将抽象概念的讲解变得轻松有趣，缓解了证明及其书写的单调乏味，从而让学生乐学。
（5）为增强学生学习本节课的成就感和获得感，用微分对61°正弦值重新估值（见图4），结果与计算器给出的结果稍有差别。
（6）进行内容小结，不仅概括本节课所学内容，而且适度启发和调动学生，使他们有热情学习更高层次的数学理论和工具。例如，强调“可导与可微等价”仅限一元函数（见图5），学生自然会想到多元函数的情形；从函数估值的角度看，微分估值比连续估值更精确，学生将体会到可微是连续的“升级”。
图4 用微分对61°正弦值重新估值
图5 强调“可导与可微等价”仅限一元函数
（7）思考探索，将学生引向知识深处：特别指出微分估值与连续估值的差异（见图6），通过本节课所学的微分理论与方法，培养学生的数学鉴赏能力；鉴于微分估值比连续估值更精确，让学生思考，函数估值还有没有提升的空间，向学生提出挑战。这个挑战所指向的是任意高精度的估值理论和方法，诸如泰勒公式、级数理论等，有助于保持与提高学生的学习兴趣和学习积极性，培养其探索精神，引导学生学会发问，问好问题。
图6 微分估值与连续估值的差异
七、教学总结
（1）本节课以估值为动机引入微分概念，介绍了微分产生的背景与思路，并将连续函数与可微函数置于估值的脉络中，这个脉络可以贯通微积分的始终，便于学生有大局观地学习。
（2）本节课在讲解可微与可导的等价性时，通过适当演义微积分历史，尝试让知识发现者讲述自己发现的知识，适度营造知识发现者现场授课的氛围，从而激发学生的学习热情和兴趣，提高学生学习的主动性。
（3）本节课注重数学理论应用性和严谨性的调和，用连续函数和微分函数对sin61°估值，首尾呼应，使学生体会新概念和新理论的实用性，增强学生的学习动力。