3．翻转内外空间

到目前为止，我们只讨论了各种曲面的拓扑属性，也就是说，只涉及二维的亚空间。不过，就我们自己身处的三维空间，显然也可以提出类似的问题。比如说，从地图上色问题拓展到三维空间，就可以这样表述：如果我们要用不同材质、不同形状的碎片来建造一幅“空间镶嵌画”，同时希望任何两块相同材质的碎片表面互不接触，至少需要用多少种不同的材料？

讨论上色问题时，球面或是环形表面在三维空间中的对应物又是什么？我们能否想到一些特殊的三维空间，它们和我们这个普通空间的关系，就如同球面或环形表面与普通平面的关系一样？这个问题初看上去毫无意义。实际上，尽管我们很容易想象出各种形状的面，但是一涉及三维空间，我们就倾向于认为只有一种类型，那就是我们身处其中、对它再熟悉不过的物理空间。不过这种观点实为一种危险的错觉，我们只要稍稍激发自己的想象力，就会得出一个和课本里的欧几里得几何学截然不同的三维空间。

想象这种奇特的空间有一个困难之处：我们自己就是三维生物，只能“从内部”观看这个空间，而不能像在研究各种奇特的面时“从外部”观察。但是，只要动动脑筋，做个思维体操，我们就能轻松地征服这些奇特的空间。

首先，我们试着建立一个三维空间的模型。它的属性应当和球面类似。当然，球面没有固定的边界，但它的表面积是有限的；只要绕上一圈，就可以自我封闭。那么，我们能否想象一种以同样的方式自我封闭、拥有确定的体积，却没有固定边界的三维空间呢？

不妨想象两个被自身球面限制住的球体，就好像苹果的果肉被自己的果皮限制住一样。

现在，这两个球体“透过彼此”，在外表面合为一体。当然，我并不是说两个球体可以像苹果那样，相互挤压穿过彼此，直到它们的外表面黏合在一起。苹果哪怕被挤碎，也没有办法相互穿透。

图18 苹果内部虫蛀出来的复杂通道。

更好的办法，是想象苹果里面被虫蛀出了许多条错综复杂的通道。现在有两只虫子，一黑一白，谁也不喜欢对方，因此，尽管它们在苹果皮上的起点紧挨在一起，但它们在苹果内部蛀出的通道永远也不会相交。假设这两条虫子同时蛀咬了一个苹果，那么这个苹果最后看上去就会像图18里的一样，两条紧密交织在一起的通道，填满了苹果的整个内部空间。不过，虽然黑白两条通道紧贴在一起，但要从其中一条迷宫进入到另一条，还是要先回到苹果表面上，这是唯一的路径。如果通道越来越细，数量越来越多，那么最终可以想象到，苹果内部会有两条彼此缠绕又相互独立的空间，它们仅通过共同的表面彼此相连。

如果你讨厌虫子，那么可以想一想，在纽约世界博览会那座巨型圆形场馆的内部，有两套由走廊和楼梯构成的封闭系统。每个楼梯系统都贯穿了整个球体内部，但是要从一套系统走到另一套系统，哪怕是在相邻的位置，唯一的办法就是穿过整个场馆来到外面，到达两套系统交汇之处，然后再沿另一套楼梯系统返回。这两个球体相互交叠，但互不干扰，你的一个朋友可能位于离你很近的位置，但是想要看见他，和他握个手，你可能得走上相当长的距离！需要留意的是，这两套楼梯系统的连接点和空间里的其他任何点也许没有什么不同，因为我们随时都可以把整个系统的结构进行变形，这样一来，原先的连接点就会被挤到内侧，而原先在内侧的某个点就会被拉到表面。我们这套模型的第二个重要特征是，尽管所有通道的总长度加起来是有限的，但是永远没有“死胡同”。你可以在走廊和楼梯间不停地走动，不会被任何围墙和栅栏阻挡，而且只要你走得足够远，就会发现自己最终不可避免地又会回到原点。从外面观察整个结构，人们可以说，在这个迷宫里行走的人最终都会回到他们出发的位置，仅仅是因为这条通道渐渐地绕成了一圈，但是对于身处其中的人来说，他们甚至不知道有“外部”这种东西的存在，所以这个空间对他们而言，大小有限，却没有标志性的边界。我们会在下一章看到，这种没有明显的边界，却又不是无限大的“自我封闭的三维空间”可以很好地帮助我们探索宇宙的普遍属性。实际上，科学家们发现，在望远镜所能观测到的最远处，空间似乎已经开始弯折，明显地呈现出回转且自我封闭的属性，就像上面的例子中苹果内部被虫蛀出的通道一样。但是，在讨论这些激动人心的问题之前，我们必须先来了解一下空间的其他属性。

苹果和虫子的故事还在继续。我们接下来要问一个问题：有没有可能把一个虫蛀的苹果变成一个甜甜圈？哦，别误解，我的意思不是要把它的口味变成甜甜圈，只是要让它看起来像甜甜圈的形状。我们讨论的是几何学，不是烹饪手艺。现在准备一个此前讨论过的“双重苹果”，也就是两个“透过彼此”并且沿表皮“黏合在一起”的新鲜苹果。假设虫子已在其中一个苹果内部吃出了一条宽阔的圆形通道，如图19所示。请注意，通道位于其中一个苹果内部，因此，通道外的每一点都是同属于“双重苹果”的双重点，而通道内只剩下没被虫蛀的那个苹果的果肉。现在，我们的“双重苹果”拥有了一个由通道内壁构成的自由面（图19a）。

图19 如何把虫蛀的“双重苹果”变成好吃的甜甜圈？不需要魔法，只要用拓扑学！

你能改变这个虫蛀苹果的形状，把它变成一个甜甜圈吗？当然可以，不过得假定这个苹果的材质相当可塑，你可以用任何方式塑造它，但是绝对不能把它弄破。为了方便操作，我们也可以把苹果先切开，在完成所需的变形之后，再把它给粘回去。

第一步操作是从粘住的表皮位置，把“双重苹果”拆开，让它成为两个独立的苹果（图19b）。我们可以用数字I和I′来标记这两个表面，这样可以在接下来的操作中跟踪它们的位置，完成前再把它们重新粘回原位。现在，横着切开虫蛀过的通道，这样切面就会穿过通道的横截面（图19c）。这步操作得到了两个新的表面，我们用II、II′和III、III′来分别标记上下切面，以便此后准确地知道该把它们粘回到哪里。这个步骤会把通道的自由面露出来，它最终会构成甜甜圈的自由面。现在，我们把切好的部分按图19d所示的方式拉伸。自由面被拉得很长（不过根据我们的假设，材质完全可以承受这种拉伸），与此同时，切面I、II和III的尺寸缩得很小。在操作“双重苹果”里被虫蛀的苹果时，我们还必须缩小另一个苹果，把它压缩成樱桃大小的尺寸。接下来，我们就可以把之前的切面粘回去了。第一步很简单，将面III和III′再度连接起来，从而得到图19e所示的形状。接着，把缩小的苹果放在前一步得到的“钳子”中间，和“钳子”两端粘合在一起——标有I′的球面和表面I粘在一起，而切面II和II相互贴紧。这样一来，我们就得到了一个光滑可口的甜甜圈。

话说回来，我们做这一切的意义到底是什么呢？

——没有任何意义，就是让你锻炼一下自己的几何想象力。做一做思维体操，有助于你理解一些不寻常的东西，比如弯曲的空间和封闭的空间。

如果你想继续放飞自己的想象力，我们还可以对上述思考做一些“实际应用”。

你的身体里也有甜甜圈的结构，尽管你可能从未意识到这一点。其实，每个生命体在发育的早期（胚胎阶段）都会经历一个“原肠胚”期，这个阶段的胚胎呈球形，还有一条宽阔的通道从内部穿过。食物会从通道的一端摄入，在机体吸收营养之后，剩下的再从另一端排出。在完全发育的有机体中，内部通道会变得更细也更复杂，但它的工作原理没有改变，几何属性也和此前一样，是甜甜圈的形状。

好吧，既然你是个甜甜圈，那么就按照图19的方法做一个反向的变形，试着让你的身体（当然是在想象中！）变成一个内嵌通道的“双重苹果”吧！你会发现，身体的不同部位彼此重叠在一起，形成“双重苹果”的果肉，而包括地球、月亮、太阳和星星在内的整个宇宙，都会被挤压到你体内的环形通道中！

你也可以试着将这幅画面描绘出来。如果画得好，或许就连萨尔瓦多·达利（Salvador Dali）本人也会承认你在超现实主义绘画上的成就！（图20）

图20 内外翻转的宇宙。这幅超现实主义画作表现了一个在地表行走、抬头仰望星空的人。它根据图19展示的方法进行了拓扑变换，这样一来，地球、太阳和星体都被压进了一个相对狭窄的通道，而这个通道就位于人体内部，被各个内脏所环绕。

这一节讲了很多内容，但此刻我们还不能结束讨论。最后这部分，我们再来谈谈左手性和右手性的物体，以及它们和空间普遍属性的关系。想要说清这个问题，最好的方法就是拿一双手套出来，比较左右两只手套（图21），你会发现，它们在各项测量数据上完全一致，同时又有巨大的差异——因为你无法把左手套戴到右手上，反过来也不行！你可以任意翻转扭扯，但是右手套还是右手套，左手套还是左手套。不只是手套，在鞋子、方向盘装置（美国和英国的驾驶位置差异）、高尔夫球杆等各种物品上，我们都可以看到左手性和右手性的明显区别。

图21 右手性和左手性物体看起来一模一样，又差异巨大。

另一方面，像帽子、网球拍之类的东西就不存在左右手性的差别。没有人会笨到向商店订购一打左手用的茶杯，或是向邻居借一把左撇子用的活动扳手，如果有，也肯定是恶作剧。那么，有无手性的物体到底有什么区别呢？稍加思索，你就会发现，像帽子或茶杯这样的物体都有一个对称面，沿着这个平面，我们可以把它们分割成相同的两半。而这样的对称面在手套或鞋子上根本找不到，无论你怎么努力，都没法把手套分割成两个完全相同的部分。如果物体不具有对称面，或是说不对称，那么它就注定会有两种不同的形态——一种是右手性的，一种是左手性的。这种差异不仅会出现在手套、高尔夫球杆等人造物品上，而且在自然界中也经常出现。比如说，有两种蜗牛，它们在其他方面完全一样，但在“建造房子”的方式上却完全相反：一种蜗牛的外壳呈顺时针螺旋，而另一种则呈逆时针螺旋。即使是分子，即构成所有物质的微小粒子，也常具有左右手性的形态，这一点和戴在左右手上的手套或是顺时针和逆时针的蜗牛壳非常相似。当然，你不能用肉眼看到分子，但这种不对称性会表现在物质的晶体形态和光学属性上。例如有两种不同的糖，一种是右旋糖，一种是左旋糖，此外还有两种以糖为食的细菌，不管你信不信，但是据说每一种细菌都只吃它对应的那种糖。

我们上面说过，想要把像手套这样的右手性物体变成左手性的，似乎不大可能。但事实真是这样吗？换句话说，人们可不可以想象出一个能够实现这一点的魔法空间来呢？要回答这个问题，不妨站在二维居民的角度来思考一下，这样一来，我们就可以从更高的三维视角来观察他们。举个例子，图22里居住着几个平面居民，他们生活的空间只有两个维度。我们可以把手里拿着一大串葡萄的人称作“正面人”，因为他只有“正面”，没有“侧面”。这个动物则是一头“侧面驴”，更确切地说，是“右侧面驴”。当然了，我们也可以画一头“左侧面驴”，由于这两类驴子都被困在平面上，所以从二维视角来看它们是不一样的，就像在我们的空间里，左右手套是不一样的。你不可能把“左驴”叠放在“右驴”身上，因为要把它们的鼻子和尾巴都叠在一起，你就必须得把其中一头驴子的头和脚颠倒位置，这样它就会四脚朝天，没办法稳稳地站在地上了。

图22 有一种生活在平面上的二维“影子生物”。这种二维生物不太“实用”。这个男人只有一张正脸却没有侧面，也不能把他手里拿的葡萄塞进嘴里。驴子倒是可以吃到葡萄，但它只能向右走，如果往左的话，就只能倒着走。这对驴子来说或许不稀奇，但总归是不方便的。

然而，如果你把一头驴子从平面上拿出来，把它在空中转一圈再放回去，两头驴子就会变得一模一样。同理，我们可以说，把一只右手套从我们的空间里拿出来，在第四个维度上以适当的方式进行旋转，然后再把它放回到我们的空间中，它就变成了一只左手套。可是，既然我们的物理空间没有第四维，那么上述的方法必然也无法实现。难道就没有其他的方法了吗？

好吧，让我们再回到二维世界。不过我们这次不是像图22那样，思考一个普通的平面，而是要来研究“莫比乌斯面”的属性。这种特殊的面得名于一百多年前的德国数学家莫比乌斯（Möbius）。制作莫比乌斯面非常简单，只需要将一张普通的长纸条弯成一个环形，在两端粘上之前，将其中一端扭转180度即可。图23会告诉你制作它的方法。莫比乌斯面有许多奇特的属性，其中一个很容易发现。你可以用一把剪刀沿着平行于纸条边缘的中心线（沿着图23里的箭头线）剪一圈。这么做的时候，你肯定会以为能把这个面剪成两个独立的圆环，可你一旦试过以后，就会发现这个猜测是错的：根本没有出现两个环，只有一个长度是原来两倍，宽度是原来一半的细环！现在我们来看看，一头“影子驴”在莫比乌斯面上行走时会发生什么。假设它从位置1（图23）出发（这时它还是一头“左侧面驴”），一直往前走，从图中可以清楚地看到，它分别经过了2和3两个位置，最终靠近了自己的出发点。但是，此刻的你和它肯定都会大吃一惊，因为这头驴子陷入了一个尴尬的处境（位置4）——它竟然四脚朝天，倒了过来！当然，它可以翻转一下，让自己的腿回到地面上来，但是这样一来，朝向我们的就是它的右侧脸了。

图23 莫比乌斯面和克莱因瓶。

简而言之，在莫比乌斯面上走完一圈后，我们的“左侧面驴”就变成了“右侧面驴”。而且你会注意到，尽管驴子一直待在这个面上，没有被我们从平面上拿出来在空间里转一圈，但是这种情况还是发生了！因此，我们会发现，在一个扭曲的面上，右手性的物体可以变成左手性的，反之亦然——只需让它绕着扭曲的面转上一圈就可以。实际上，莫比乌斯纸条是一种更普遍意义的曲面的一部分，我们把这种曲面称为克莱因瓶（图23中右图所示）。它只有一个面，而且自身是封闭的，没有明晰的边界。如果这种面在二维空间里是可能的，那么在我们的三维空间中也一定可以找到类似的，当然，前提是要以适当的方式对当下这个空间进行扭曲。想象空间中的莫比乌斯扭曲的确不容易。我们不能像观察驴子所在的平面一样，从外部观察我们的空间：当你身处其中时，总是很难看清楚事物的样子。但是，天文空间其实完全有可能是自身封闭，且以莫比乌斯的方式扭曲的。

如果事情真的是这样，那么环游宇宙的旅行者在回到地球时，就会从右撇子变成左撇子，心脏也会跑到右侧的胸腔。手套和鞋子的制造商们则会有一个算不上好消息的好消息，那就是他们可以简化生产，只生产一种手套和鞋子，然后把其中的一半运到宇宙中去，变成另一只手或脚需要的那只。

在这些奇思妙想中，我们有关奇特空间的奇特属性的讨论也到此为止了。