第三章 空间的奇特属性

1．维度与坐标

人人都知道空间是什么。但是，如果让我们给“空间”下一个准确的定义，不少人大概会不知所措。我们或许会说，空间就是围绕着我们的事物，我们可以在其中前后、左右、上下移动。三个彼此独立、相互垂直的独立方向，是我们身居其中的物理空间最基本的属性之一。空间里的任何位置，都可以通过这三个方向表示。假如我们到一个陌生的城市旅游，去酒店前台咨询某家知名公司的办公位置，店员可能会这样回答：“向南走5个街区，再向右走2个街区，上7楼。”刚才提到的三个数字，就是我们通常熟知的坐标，在这个例子里，它们指的是城市街道、建筑楼层与酒店大堂这个起点之间的关系。不过，显而易见的是，通过坐标系，我们可以给出从任意一点到达一个确定的目的地的方向，坐标系能够准确地表示出起点和目的地之间的关系，而且，只要我们知道新坐标系相对于旧坐标系的位置，我们可以通过简单的数学运算表示出新的坐标系，这个过程被称为坐标变换。还需补充一点，我们不一定非要用表示距离的数字来表示所有三个方向上的坐标，其实，某些情况下，角坐标也许还更方便一些。

举个例子，常常以“某某街”“某某大道”来标记地址的纽约市，最适合用直角坐标系来表示。然而，俄罗斯莫斯科的地址系统转换成极坐标显然更加适合。莫斯科这座古老的城市围绕着克里姆林宫的中心城堡，沿着径向散发的街道和同心的环形林荫大道向外延伸出去，这样一来，说“某栋房子距离克里姆林宫城墙西北偏北方向20个街区”就再自然不过了。

应用直角坐标系和极坐标系的经典案例，是位于华盛顿特区的海军总部大楼和战争部门所在的五角大楼。二战期间从事过战争相关工作的人，对这两幢建筑应该都不陌生。

图12中，我们给出了几个示例，表明可以用三种不同的坐标系来描述空间中某个点的位置，其中有些坐标表示距离，有些表示角度。但是，无论选择哪种坐标系，我们都需要三个数字才能确定一个方位，因为我们这里讨论的是三维空间。

图12 三种坐标系所描述出的空间中某个点的位置，其中有的表示距离，有的表示角度。

对于我们这些拥有三维空间观念的生物来说，想象三维之上的超空间确实有些困难（我们会在后面看到，这样的空间是存在的）。不过，想象维度小于三的子空间却轻而易举。平面、球面，或是其他类型的面，都是只有两个维度的子空间，因为只用两个数字就可以确定面上任意一点的位置。以此类推，线（无论是直线还是曲线）是一维空间，线上的任何位置只用一个数字就能描述。我们还可以说，一个单独的点就是一个零维空间，因为一个点里根本不存在两个不同的位置。但是，又有谁会对点这种东西感兴趣呢？

人类作为三维生物，可以“从外面观察”线和面，因此，要理解它们的几何属性，比理解我们置身其间的三维空间属性要简单得多。这就是为什么你可以毫无障碍地理解什么是曲线或曲面，但如果说一个三维空间也可以是弯曲的，你或许会一脸诧异。

不过，只要稍加练习，理解了“曲率”这个词的真正含义，你就会发现“弯曲的三维空间”这样的概念其实非常简单。到了下一章的结尾，你甚至可以（我们希望如此！）谈论“弯曲的四维空间”这个乍听上去让人望而却步的概念。

不过，在此之前，我们还是先聊聊普通的三维空间、二维平面和一维线条，来一场思维体操训练吧！