工作任务一 静水压强与静水压力相关概念引入

一、静水压力和静水压强

（一）定义

图1-1所示为一公路路堤涵洞前设置的平板闸门，当开启闸门时需要很大的拉力，这是因为闸门承受了其四周水的压力。静止液体对其接触面所作用的全部压力称为静水总压力，或简称静水压力。静水压力常用字母P来表示。静水压力和其他力一样，具有大小、方向、作用点三要素。

在图1-1所示平板闸门上任一点K取微小面积ΔA，作用于ΔA面积上的静水总压力为ΔP，在ΔA上各处，其单位面积所受的压力是不相等的，但平均而言，ΔA上的单位面积所受静水压力为：

p就是反映受压面ΔA上静水压强的平均值，称为平均静水压强。

当ΔA无限缩小并趋于一点时，把比值的极限定义为该点的静水压强，用字母p表示，即

在国际单位制中，静水压力的单位是牛顿（N）或千牛（kN），静水压强的单位是N/m²或kN/m²，又称帕（Pa）或千帕（kPa），1N/m²=1Pa。

（二）静水压强的特性

静水压强有两个重要特性。

（1）静水压强方向的垂直性。静水压强的方向垂直并指向受压面。

证明：在静止液体中取出一块液体，用N—N面将其分割成Ⅰ、Ⅱ两部分，如图1-2（a）所示。在分割面上存在Ⅰ、Ⅱ两部分液体之间的相互作用力，现以Ⅱ部分为隔离体来进行分析。

假如分割面上任一点K处的静水压强p任意作用在分割面上，则p可以分解为切向分量p_τ和法向分量p_n。但静止液体不能承受剪切和拉力，如果切向分量p_τ存在，则将使Ⅰ、Ⅱ部分发生剪切变形，从而破坏液体的静止平衡状态。若法向分量p_n存在，则Ⅰ、Ⅱ两部分存在拉力，液体的静止平衡状态也将遭到破坏。所以，p只能垂直并指向受压面。

（2）静水压强大小的等值性。静止液体中任何一点各个方向的静水压强的大小均相等，与作用面的方位无关。

证明：如图1-3所示，取位于平衡液体中的一微小四面体oabc为研究对象，为便于分析，令四面体的三条棱边oa、ob、oc相互垂直，并分别与x、y、z轴重合，其长度分别为dx、dy、dz；倾斜面abc为任意方向，面积为dA_n。

下面对微小四面体进行受力分析。作用在微小四面体上的力有表面力和质量力。表面力只有压力，设作用于四面体的四个表面obc、oac、oab及abc上的平均静水压强分别为p_x、p_y、p_z、p_n。由于是微小四面体，可认为各微小面上的水深是不变的，静水压强分布是均匀的，作用在各个面上的静水压力等于各自面上的压强和相应面积的乘积，即

dG_x=0

dG_y=0

由于液体处于静止状态，所以微小四面体在三个坐标轴方向上所受外力的合力应等于0，即

式中，（n，x）、（n，y）、（n，z）分别表示斜面法向n与x、y、z轴的夹角，当dx、dy、由此可以证明：

p_x=p_y=p_z=p_n

需要说明的是，静水压强的第二个特性仅仅指的是同一点只有一个压强值，不同点的压强一般是不相等的，静水中各点的压强大小仅是空间坐标的函数，即

p=p（x，y，z）

（三）压强的单位

1.应力单位

应力即单位面积上所受的力，这是压强的基本表示方法，单位为N/m²，又称Pa（帕）。1N/m²=1Pa，1kPa为10³N/m²，可记为1kN/m²。

2.工程大气压

在水利工程的水力计算中，为了计算简便，常用工程大气压表示压强，即

1工程大气压=98kPa

作用在微小四面体上质量力仅有重力dG，微小四面体的体积为，重力。作用于微小四面体上的质量力dG在各坐标轴上的投影分别为：

dz向o点缩小而趋近于0时，属三阶无限小值，相对于前两项可略去不计，则

3.水柱高度

由于水的容重γ为常数，在水利工程中还常用水柱高度作为压强单位。

例如，1工程大气压=98kPa，如用水柱高表示，则为

即1工程大气压相当于10m水柱。

另外，也可用水银柱高表示压强，因水银容重为γ_m=133.3kN/m³，故有

即1工程大气压相当于735mm水银柱。

这里需要说明的是，1工程大气压=10m水柱=735mm水银柱的表达方式是不对的。应该说1工程大气压所产生的压强相当于10m水柱或735mm水银柱所产生的压强，而不能说1工程大气压=10m水柱或1工程大气压=735mm水银柱。

（四）压强的表示方法

计算压强时，因起算基准的不同，其值不同，可表示为绝对压强与相对压强。

1.绝对压强

绝对压强是以绝对真空状态为起量点的压强，用符号p_绝表示。在计算中，大气压常用p_a表示，常按p_a=98kPa计算。

2.相对压强

相对压强是以当地大气压为起量点的压强，用符号p_相表示。在水利工程中，很多建筑物表面和水面都受到大气压的作用，例如水闸闸门的上、下游受压面均受大气压作用，为简化水力计算，两侧都可以不计入大气压，只计算液体压强，这就是采用相对压强。

3.真空压强及真空高度

压强小于大气压的情况，通常就称为发生了真空。把绝对压强小于大气压的那部分压强称为真空压强，真空压强用符号p_真表示。

真空值也可以用所相当的液柱高度来表示，称为真空高度，真空高度用符号h_真表示，。

各种压强表示方法之间的关系可如图1-4所示，也可用以下关系式表示：

二、静水压强的基本规律

（一）静水压强的基本方程推导

工程实际中经常遇到的液体平衡问题是液体相对于地球没有运动的静止状态，此时液体所受的质量力仅限于重力。下面通过力学分析的方法，讨论仅在重力作用下的静水压强变化规律。

如图1-5（a）所示，在静止液体中，选取位于水面下铅直线上任意两点1、2，欲研究1、2处压强p₁和p₂间的关系。围绕1、2两点分别取微小面积ΔA，取以ΔA为底面积、Δh为高的铅直小圆柱水体为脱离体，因ΔA是微小面积，可认为其上各点的压强是相等的。以下对脱离体进行受力分析。

脱离体在铅直方向上共受三个力，分别为：

圆柱上表面的静水压力：P₁=p₁ΔA

圆柱下表面的静水压力：P₂=p₂ΔA

脱离体的重力：G=γΔAΔh

因是静止液体，铅直方向合力必为0，取向上为正方向，列力的平衡方程得：

p₂ΔA-p₁ΔA-γΔAΔh=0

上式两端各除以ΔA，则可变形为：

上式即为任意两点静水压强的基本关系式。该公式表明：质量力仅有重力作用的静水中，任意两点的压强关系为，下面一点的压强等于上面一点的压强加上水容重与两点之间的水深差的乘积。

如果把铅直小圆柱体的上表面移至水面上，如图1-5（b）所示，有h₁=0，h₂=h，p₁=p₀，p₂=p，式p₂=p₁+γΔh可变为：

式（1-2）是常用的静水压强基本方程式。它表明：质量力仅有重力作用下的静水中，任一点的静水压强等于水面压强加上液体的容重与该点水深的乘积。

需要说明的是，当液体表面压强为大气压，即p₀=p_a时，为简化计算，常取p₀=p_a=0，只计算液体产生的压强，则静水压强方程式可写为：

式（1-3）表明：在静止液体中，任一点的压强（相对压强）与该点在水下淹没深度呈线性关系。

静水压强分布规律可采用物理学中取基准面的方法，用另外一种表达形式。如图1-5所示，选取基准面0—0，静水中任一点距0—0基准面的高度，称为该点的位置高度，式（1-1）中的Δh=z₁-z₂，将此代入式（1-1）可得：

p₂=p₁+γ（z₁-z₂）

式（1-4）是静水压强分布规律的另一表达方式。该式表明：在静止液体中，位置高度z越小，静水压强越大；位置高度z越大，静水压强越小。

（二）静水压强基本方程的意义

1.静水压强基本方程的几何意义

在图1-6所示的容器中，任取两点1和2，并在该高度边壁上开小孔且外接垂直向上的开口玻璃管，称为测压管。如容器中的液体仅受重力的作用，液面上为大气压，则无论连在哪一点上，测压管内的液面总是与容器内液面齐平的。

容器内1、2点的静水压强为：

p₁=γh₁，p₂=γh₂

因此测压管中液面上升的高度为：

测压管液面到基准面的高度由z和两部分组成，z表示该点到基准面的位置高度，表示该点压强的液柱高度。在水力学中常用“水头”代表高度，所以z又称位置水头，又称压强水头，则称为测压管水头。重力作用下的静止液体内，各点测压管水头相等，即

C值的大小取决于基准面的选取，基准面选定后，C值即可确定。这种用几何尺寸来表征静水压强方程式的意义，就是静水压强基本方程的几何意义。

2.静水压强方程式的物理意义

在图1-6中的容器中，围绕1点取质量为dm的液体，则该液体的位置势能为dmgz₁；1点的压强为p₁，在该处安置测压管后，在压力的作用下，液面会上升的高度为，也就是把压强势能转变为位置势能。对于重量为dmg、压强为p₁的液体，在测压管中上升后，位置势能的增量就是原来液体具有的压强势能。则位于1点的液体所具有的总势能为：

单位重量的液体所具有的势能为：

式中 z₁——1点处单位重量的液体所具有的位置势能，简称单位位能；

——1点处单位重量的液体所具有的压强势能，简称单位压能；

——单位势能。

水静力学基本方程表明：仅在重力作用下的静止液体内各点单位重量液体所具有的势能相等，即

【例题1-1】求水库中水深为5m处的静水压强，要求分别用相对压强和绝对压强表示。

解：用式（1-2）计算静水压强。

采用相对压强计算时，不计入大气压，则：p₀=p_a=0

水库水深5m处的相对压强：p_相=γh=9.8×5=49（kPa）

采用绝对压强计算时，计入大气压，则：p₀=p_a=98（kPa）

水库水深5m处的绝对压强：p_绝=98+9.8×5=147（kPa）

可见，相对压强的计算要比绝对压强的计算简单些。

【例题1-2】有一封闭水箱如图1-7所示，若水箱内水面上的相对压强p₀=-39.2kN/m²，水箱右侧测压管与大气相同。试求h值，并求水面下1m处M点的压强及M点相对于基准面0—0的测压管水头。要求M点的压强要分别以绝对压强、相对压强、真空压强、真空高度表示。

解：（1）计算h值。

过右侧测压管水面画1—1水平面，测压管水面处为大气压，以相对压强表示则为零。根据等压面原理，得：

p₀+γh=0

则

（2）计算M点的压强。

p_M相=p₀+γh=-39.2+9.8×1=-29.4（kPa）

p_M绝=p_M相+98=-29.4+98=68.6（kPa）

p_M真=-p_M相=29.4（kPa）

（3）M点的测压管水头。

欲求M点相对于基准面0—0的测压管水头，有z_M=-1m，M点测压管水头为：

三、静水压强的测算

在工程实际中，往往需要量测和计算液流中的点压强或两点的压强差（压差）。量测压强的仪器很多，在此只介绍一些利用水静力学原理设计的液体测压计。

（一）测压管

最简单的测压管如图1-8所示，是一根直径为8～10mm的直玻璃管。其一端与欲测压强的测点相连，另一端敞口并与大气相通。

测压管中液柱的高度就是容器或管道上所接测点的相对压强 p，p=γh，其中γ为测压管内液体的容重，h就是液柱的高度。

为了提高量测较小压强值的精度，可将测压管倾斜放置，如图1-9所示。此时，液体长度比液体高度放大一些，测压管高度h=Lsinα，则A点的相对压强为：

p=γh=γLsinα

另外，也可以用γ较小的轻质液体（如汽油）来测量压强，这样测量相等的压强可以获得较大的测压管高度，使测量精度更高。

（二）U形水银测压计

当被测点的压强较大时，测压管高度会过大而带来诸多不便，则可采用γ值较大的U形水银测压计，如图1-10所示。

欲求被测点A的压强，应先找出U形管中的等压面1—2，再对等压面列静水压强方程，联立求解便可求得p_A。

水和水银的容重分别用γ和γ_m表示，用相对压强列静水压强方程。

1点的相对压强为：p₁=p_A+γb

2点的相对压强为：p₂=γ_mh_m

因p₁=p₂，所以p_A+γb=γ_mh_m，即

p_A=γ_mh_m-γb

（三）比压计（压差计）

为量测两点的压强差，可在两断面间连接比压计，如图1-11所示，比压计又称压差计。比压计一般不直接测出任意两点的压强大小，而是直接找出两点间的压差。压差小时用空气压差计，如图1-11（a）所示；压差大时用水银压差计，如图1-11（b）所示。一般空气压差计管内的气压p₀≠p_a，因空气的容重很小，计算中不考虑空气柱的重量引起的压强差，认为空气中各点的p₀都相等。压差的求解思路仍是先找出等压面，再列静水压强基本方程。

如图1-11（a）所示是利用空气压差计来测定两管道A、B两点间的压强差，左右两侧管内液面1、2处的压强均为p₀，可视为“等压面”。

1点的压强为：p₁=p₀=p_A-γa-γΔh

2点的压强为：p₂=p₀=p_B-γa-γΔz

因p₁=p₂，所以p_A-γa-γΔh=p_B-γa-γΔz

则两管道A、B两点间的压强差为：p_A-p_B=γ（Δh-Δz）

也就是说，对于空气压差计，只要测出左右支管中液体高差Δh及A、B两点间的高差Δz，即可求出A、B两点间的压强差。

若采用水银比压计，如图1-11（b）所示，设A、B两点处液体的容重为γ，水银的容重为γ_m，根据连通器原理，1—2为等压面。

1点的压强为：p₁=p_A+γz_A+γΔh

2点的压强为：p₂=p_B+γz_B+γ_mΔh

因p₁=p₂，所以p_A+γz_A+γΔh=p_B+γz_B+γ_mΔh

则两管道A、B两点间的压强差为：p_A-p_B=（γ_m-γ）Δh+γΔz

【例题1-3】已知某容器（图1-12）中A点的相对压强为0.8个工程大气压，设在此高度上安装测压管，问至少需要多长的玻璃管?如果改装水银测压计，当h′=0.2m时，水银柱高度h_p是多少?

解：（1）按相对压强，利用静水压强计算公式：

p_A=γh=9.8h=0.8×98（kPa）

所以，至少需要8m的玻璃管。

（2）根据连通器原理计算。

p_A+γh′=γ_mh_p

则

0.8×98+9.8×0.2=133.3h_p

【例题1-4】已知z=1m，h=2m，试利用图1-13所示装置测量A点的压强值，要求分别以绝对压强、相对压强、真空压强、真空高度表示。

解：空气压差计中空气各处压强相等，即p₁=p₂。

1点的相对压强为：p₁=p_A相-γz

2点的相对压强为：p₂=0-γh

所以：p_A相-γz=0-γh

则 p_A相=γz-γh=9.8×（1-2）=-9.8（kPa）

p_A绝=-9.8+98=88.2（kPa）

p_A真=-p_A相=9.8（kPa）