2.1　表面微结构辐射特性的数值计算方法

本文研究的太阳能电池陷光结构是一种微纳米尺度下的周期性光栅结构，其周期与入射波长相当甚至比入射波长小，并且此时电磁波的波动性较为明显。因此，表面微结构的辐射特性无法遵循宏观尺度下的辐射换热定律，只能通过求解Maxwell方程来进行研究。

求解Maxwell方程的数值计算方法有很多种，如时域积分方程法［41-42］、平面波展开法［43］、有限元法［41-42］、严格耦合波分析法［43-44］、矩量法［42］以及时域有限差分法［41-43］等，每一种数值计算方法有各自的优缺点和一定的适用范围。其中，严格耦合波分析法和时域有限差分法是最常用的计算周期性微结构辐射特性的数值方法。因此，本文选用严格耦合波分析法和时域有限差分法对光栅结构的辐射特性进行研究。

2.1.1　Maxwell方程

Maxwell方程作为电磁理论的核心，描述了电磁波在介质中的传播规律。Maxwell方程可以写成的差分形式［45-46］为

式中：E为电场强度，V/m；B为磁通量密度，Wb/m2，其中1Wb=1V·s；H为磁场强度，A/m；J为电流密度，A/m2；D为电位移矢量，C/m2；ρc为电荷密度，C/m3。

把式（2-2）带入到式（2-3）中，可以得到电荷守恒方程：=0。

式（2-1）表示变化的磁场能产生电场，式（2-2）表示电场能产生磁场，式（2-3）描述了电场和电荷之间的关系，式（2-4）表明了任何封闭曲面中的磁通量为零。

同时，各项同性介质的有如下的本构关系［45-46］

式中：εm为介质的介电常数，F/m；μm为介质的磁导率，N/A2。

欧姆定律的微观形式如下：

式中：σ为电导率，A/（V·m）。

上述Maxwell方程及其本构方程描述了电磁场随时间和空间的分布情况及变化规律。

2.1.2　严格耦合波分析法

严格耦合波分析法（Rigorous Coupled-Wave Analysis Method，RCWA）作为一种常用的Maxwell方程数值求解方法，其基本思想是对计算区域进行严格划分，并对不同区域的电场和磁场进行傅里叶级数展开以及耦合叠加，将对Maxwell方程的求解转化成对特征函数的求解，最后结合边界条件求得问题的本征值［43-44］。

对于简单的周期性微结构，严格耦合波分析法能够非常精确地计算出其各级反射、吸收以及透射光谱，并且计算速度很快；但是对于复杂结构，严格耦合波分析法的计算量非常大，计算难度也大大增加。因此，本文中严格耦合波分析法主要用于一维周期性光栅结构辐射特性的计算。

图2-1所示为严格耦合波分析法的计算模型示意图。此计算模型被分成三个区域：区域1、区域2和区域3。区域1为入射区域，所示为一横电波（TE波）入射到光栅表面并产生多级衍射，其介质为空气，介电常数为ε1。区域3为复介电常数材料构成的光栅基底区域，其介电常数为ε3。区域2为周期性光栅区域，由图2-1所示的A和B两种材料构成，通常材料A为光栅基底材料，材料B为入射区域材料。区域2的介电常数可由傅里叶级数展开如下［47］

式中：Λ为光栅周期；εp为傅里叶级数展开式的系数；K为光栅矢量；且K=2π/Λ。

以图2-1所示的横电波（TE波）入射为例，对区域1中的电场振幅进行归一化处理，其可以表示成如下形式：

式中：为入射角；i为反射衍射的级数；λ为波长；Ri为第i级反射衍射波的归一化振幅。

区域3中归一化的电场振幅同样也可以表示成如下形式：

式中：Ti为第i级透射衍射波的归一化振幅。

区域2中的电场振幅表示如下：

式中：Si为光栅区域中第i级衍射波的归一化振幅。

并且区域2的电场振幅满足下述波动方程：

把式（2-8）和式（2-11）带入到式（2-12），可以得到：

定义两个状态参数变量S和S′，式（2-13）可以写成下述矩阵形式［47］

式中：S、S′和S″为Si、dSi/du和d2Si/du2的列向量；［b］为系数矩阵。

式（2-14）的解如下：

式中：wim为相应的本征矢量量；λm为相应的本征值。

式（2-15）中Cm的值取决于边界条件。电磁场的切向分量在边界处连续，因此TE波入射满足下述边界条件［47］

在边界z=0处，有

在边界z=d处，有

式中：δi0为克罗内克符号函数。

通过求解上述方程组，可以得到Cm、Ri和Ti的值，从而可以得到下述各衍射级的效率：

式中：ri为区域1中第i级反射衍射的效率；ti为区域3中第i级透射衍射的效率。

因此，区域1中的反射率可以表示成

区域3中的透射率可以表示成

区域2中的吸收率可以表示成

2.1.3　时域有限差分法

时域有限差分法（Finite-Difference Time-Domain Method，FDTD）作为一种常用的Maxwell方程数值求解方法，其基本思想是通过离散方法把微分形式的Maxwell旋度方程转化成差分形式，进而求得电磁场在时间和空间上的分布情况［41-43］。时域有限差分法能够非常轻易地解决各类复杂问题，并且计算精度很高。因此，在本文中时域有限差分法主要用于二维周期性光栅辐射特性的求解。

以横磁波（TM波）为例，简单介绍时域有限差分法解决二维问题的大致思路。对TM波，把式（2-1）和式（2-2）所示的Maxwell旋度方程进行分解，可以得到［48］

式中：σ*为当量磁损耗。

图2-2所示为离散网格中电场和磁场的分布图。在一个离散网格中，每个电场周围有四个磁场环绕，每个磁场周围也有四个电场环绕，并且电场和磁场的间隔为半个时间步长。

根据图2-2把式（2-25）、式（2-26）和式（2-27）改写成差分形式，具体如下：

式中：Δx为x轴方向的离散网格的长度；Δy为y轴方向的离散网格的长度。

仅有上述电磁场随时间和空间分布的差分方程，无法得到结果，还需要借助于边界条件。图2-3所示是时域有限差分法的计算模型。在光栅结构的上界面和下界面采用完美匹配层作为吸收边界，在光栅结构的左界面和右界面则采用周期性边界条件。

若在光栅结构的上方取一个表面作为反射检测面，则此时反射检测面上的电磁波能量可以表示成

入射电磁波的总能量为

式中：Λ为光栅周期；T为入射波的周期。

因此，时域有限差分法求得的光栅结构对入射波的反射率如下［48-49］：

同样在光栅结构下方取一个表面作为透射检测面，可以得到光栅结构对入射波的透射率如下：

周期性光栅结构的吸收率为

2.1.4　数值计算方法验证

本文中，严格耦合波分析法主要用于一维周期性光栅结构辐射特性的计算，时域有限差分法主要用于二维周期性光栅结构辐射特性的计算。为证明本文所用的两种数值计算方法的正确性，图2-4对上述两种方法进行了验证。在图2-4中，分别用这两种数值计算方法对文献［38］中的算例在垂直入射和斜入射下的情况做了计算，并与文献［38］中的结构进行了对比。

从图2-4中可以看到，严格耦合波分析法和时域有限差分法得到的结果和文献［38］中的结果非常吻合；因此，一维严格耦合波分析法和二维时域有限差分法在垂直入射和斜入射下均能得到正确的结果。所以，下文就采用这两种数值计算方法对光栅结构的光谱辐射特性和方向辐射特性开展研究。