2.7 平面上静水总压力的计算
在工程实际中，不仅需要知道液体任一点的静水压强及其分布规律，而且还要根据静水压强的分布规律来确定作用在水工建筑物表面上的静水压力。
图2.15 静水压强分布图
由于在工程界，习惯于把静水压强称为静水压力，为了避免混乱，以后把某一受压面上所受的静水压力称为静水总压力。
2.7.1 静水压强分布图
静水压强分布图是反映受压面上各点所受静水压强分布情况的图形，如图2.15所示。其绘制规则是：
（1）按一定比例，用线段长度代表该点静水压强的大小；
（2）用箭头表示静水压强的方向，并与作用面垂直。
由计算静水压强的基本公式（2.7）可知，压强与水深成线性函数关系，故在深度方向静水压强系直线分布，只要绘出两个点压强即可确定此直线。在图2.15中，A点在自由面上，其相对压强pA=0；B点的淹没深度为h，其相对压强pB=γh，用带箭头的线段EB表示pB。连接直线AE，则AEB即表示AB面上的相对压强分布图。如果在A点及B点分别加上当地大气压强pa，得G，F点，则AGFB即为AB面上的绝对压强分布图。
在实际工程中，建筑物两侧均受有大气压强，其作用可互相抵消，所以一般只需绘制相对压强分布图，即简称压强分布图。图2.16绘出了几种有代表性的压强分布图。
图2.16 几个有代表性的压强分布图
2.7.2 图解法——矩形平面上静水总压力的计算
工程中最常见的受压平面是沿水深等宽的矩形平面，由于它的形状规则，可较简便地利用静水压强分布图来确定其上静水总压力，此法称为图解法。
如图2.17所示，某矩形平面闸门，宽度为b，一侧挡水，水深为h，以下采用图解法计算作用在闸门上静水总压力的大小、方向和作用点。
2.7.2.1 静水总压力的大小
根据压强分布图的绘图规则，首先绘出受压面上的静水压强分布图，如图2.17（a），然后求出分布图面积，以符号Ω表示，它代表了作用在单位宽度上的静水总压力；整个矩形平面的静水总压力FP，则等于平面宽度乘压强分布图的面积，即
图2.17 图解法计算矩形平面的静水总压力
式（2.16）表明，作用在矩形平面上的静水总压力的大小就相当于整个矩形平面压强分布体的体积，如图2.17（b）所示。
2.7.2.2 总压力的方向
垂直指向受压面，如图2.17所示。
2.7.2.3 总压力的作用点
总压力的作用点是指总压力的作用位置，又称为压力中心，简称压心，以符号D表示。由于受压矩形平面有纵向对称轴，所以FP的作用点D必位于平面的纵向对称轴上，同时FP的作用线还通过压强分布图的形心点Q，如图2.17所示。
当压强为直角三角形分布时，压力中心D离三角形底边的距离e=1 3h，如图2.17（a）所示；当压强为梯形分布时，则将它划分为一个矩形和一个直角三角形，然后应用力矩定理，求出静水总压力FP的作用点D。
【例2.4】 某挡水矩形闸门，门宽b=2m，上游水深h1=4m，若下游无水，求该闸门上所受到的静水总压力。
解：（1）绘制静水压强分布图，如图2.18所示。
图2.18 ［例2.4］图
上游闸门水面处静水压强为pA=0
门底B处静水压强为pB=γh1=9.8kN/m3×4m=39.2（kN/m2）
压强分布图为直角三角形，其面积
（2）按式（2.16）计算闸门上的静水总压力。
FP=bΩ=2m×78.4kN/m=156.8(kN)
（3）FP的作用点D离闸门底距离
因此下游无水时，该闸门上所受静水总压力的大小为156.8kN，方向向右，作用点在门的纵对称轴上，距门底1.33m处。
【例2.5】 在［例2.4］中，若下游水深h2=2m，求该闸门上所受到的静水总压力。
解：本题有两种计算方法：其一，是先分别计算出两侧的静水总压力，然后求两者的合力；其二，是直接将两侧的静水压强分布图叠加，直接求静水总压力。
（1）方法一。
1）分别计算出两侧的静水总压力。
上游静水压力计算同例2.4静水总压力FP1=bΩ=2m×78.4kN/m=156.8（kN），作用点离闸门底距离
1.333（m）
下游绘制静水压强分布图，如图2.19所示。
闸门水面处静水压强为pE=0
门底B处静水压强为pB=γh2=9.8kN/m3×2m=19.6（kN/m2）
图2.19 方法一的静水压强分布图
压强分布图为直角三角形，其面积
下游闸门上的静水总压力
FP 2=bΩ=2m×19.6kN/m=39.2(kN)
作用点离闸门底距离
2）计算两侧静水总压力的合力。
因为两侧静水总压力方向相反，故闸门上所受静水总压力的合力大小为
FP=FP1-FP2=156.8kN-39.2kN=117.6(kN)
方向由上游指向下游（或向右）。
根据力矩定理，即合力对某轴的矩等于各分力对同轴矩的代数和，推求静水总压力的合力的作用点。
设合力FP的作用点D离闸门底距离为e，则依力矩定理有
FPe=FP1e1-FP2e2
故
（2）方法二。
图2.20 方法二的静水压强分布图
1）直接计算静水总压力合力的大小。
分别画出闸门两侧的静水压强分布图，均为直角三角形，将图形叠加，合力的静水压强分布图为梯形，如图2.20所示。
梯形的上底为h2，下底为h1，高为B点两侧的压强差，即
梯形面积
静水总压力合力的大小为
FP=bΩ=2m×58.8kN/m=117.6(kN)
2）确定FP的作用点位置。
将梯形形状的压强分布图划分成一个矩形分布图和一个直角三角形分布图，并把它们看成总力的两个分力，然后用力矩定理推求FP的作用点位置。
矩形分布图相应的分力
FP 1=bΩ矩=bγ（h1-h2）h2=2m×9.8kN/m3×（4m-2m）×2m=78.4（kN）
作用点离闸门底距离
三角形分布图相应的分力
作用点离闸门底距离
设合力FP的作用点D离闸门底距离为e，则依力矩定理有FPe=FP1e1+FP2e2
因此当下游水深h2=2m时，该闸门上所受到的静水总压力的大小为117.6kN，方向向右，作用点在门的纵对称轴上，距门底1.56m处。
2.7.3 解析法——任意形状平面上静水总压力的计算
当受压平面为任意形状，即无对称轴的不规则平面时，直接用图解法确定静水总压力的大小较为复杂，可采用数学分析的方法计算（推导略），这种方法称为解析法。静水总压力的大小可用下列公式计算
式中 FP——作用在受压面上的静水总压力；
pc——受压面形心点的压强；
A——受压面的面积。
表2.1列举了一些典型平面图形的静水总压力和作用点的计算公式，以供参考。
在［例2.4］中，若采用解析法计算静水总压力，方法如下：
先确定受压面形心点的位置及其水深hc=2m，并计算形心点处的压强pc=γhc=9.8kN/m3×2m=19.6kN/m2，再由式（2.17）计算静水总压力FP=pcA=19.6kN/m2×2m×4m=156.8kN，查表2.1可得作用点D离水面距离LD=hD=
=2.67m，则作用点离门底距离e=h1-h2=4-2.67=1.33（m）。
表2.1 几种常见平面静水总压力及压力中心距水面的斜距计算表
