3.3 连续性方程

连续性方程是流体运动学的基本方程，是质量守恒定律在流体力学中的应用。下面根据质量守恒原理，推导三维流动连续性微分方程，并建立总流的连续性方程。

图3.18 连续性微分方程

3.3.1 连续性微分方程

在流场中任取微元直角六面体ABCDEFGH作为控制体，其边长为dx、dy、dz，分别平行于x、y、z轴。设流体在该六面体形心O′（x，y，z）处的密度为ρ，速度u=u_xi+u_yj+u_zk。根据泰勒级数展开，并略去二阶以上的无穷小量，可得x轴方向的流体的质量变化，如图3.18所示。

在x轴方向，单位时间流进与流出控制体的流体质量差：

同理，在y、z轴方向，单位时间流进与流出控制体的流体质量差：

单位时间流进与流出控制体总的质量差：

由于流体连续地充满整个控制体，而控制体的体积又固定不变，所以，流进与流出控制体的总的质量差只可能引起控制体内流体密度发生变化。由密度变化引起单位时间控制体内流体的质量变化为

根据质量守恒定律，单位时间流进与流出控制体的总的质量差，必等于单位时间控制体内流体的质量变化。即

化简得

此式即为可压缩流体的连续性微分方程。

几种特殊情形下的连续性微分方程如下。

（1）对恒定流，式 （3.23）可简化为

（2）对不可压缩均质流体，ρ为常数，式（3.23）可简化为

此式适用于三维恒定与非恒定流动。对二维不可压缩流体，不论流动是否恒定，式（3.25）可简化为

（3）柱坐标系下，三维可压缩流体的连续性微分方程为

式中：u_r为速度的径向分速；u_θ为周向分速；u_z为轴向分速。

对不可压缩均质流体，式（3.27）可简化为

柱坐标系下的连续性微分方程可由直角坐标系下的连续性微分方程经坐标变换得到，也可通过在流场中建立控制体的方法导出，限于篇幅，本书不再详述。

3.3.2 总流的连续性方程

1.恒定流动

图3.19 总流连续性方程

恒定总流的连续性方程，可由连续性微分方程式（3.24）导出。在恒定流动的流场中取一流管作为控制体，如图3.19所示，其积分形式的连续性方程为

根据高斯定理，上式的体积积分可用曲面积分来表示，即

式中：A为体积V的封闭表面；u_n为u在微元面积dA外法线方向的投影。

因流管侧面上u_n=0，故式（3.29）可简化为

上式第一项取负号是因为速度u₁的方向与dA₁的外法线方向相反。由此可得

式（3.30）称为恒定总流的连续性方程，说明单位时间流入控制体的质量等于流出控制体的质量。

2.不可压缩流动

对不可压缩均质流体，其总流的连续性方程可对式（3.25）积分导出，推导过程同上。不可压缩总流连续性方程为

或

不论是恒定还是非恒定流动，上式均可适用。对非恒定流动，它表示同一时刻通过流管任意断面的流量相等，而对恒定流动，它还表示流量的大小不随时间变化。

如图3.20（a）、（b）所示，对于有分流或汇流的情况，根据质量守恒定律，总流连续性方程可表示为

图3.20 分流和汇流