2.2 流体平衡微分方程

2.2.1 流体的平衡微分方程——欧拉平衡微分方程

在静止流体中取一微元直角六面体，其中心M所在点坐标为 （x，y，z），六面体分别平行于x、y、z轴的边长为dx、dy、dz，如图2.2所示。先分析作用于这一六面体的表面力和质量力。

作用于静止流体的表面力只有压力，因此需先确定六面体各面上的压强。设M处压强为p（x，y，z），微元面EFGH形心处压强可用泰勒级数表示，忽略二阶及以上微量，有，方向沿x轴负向。此微元面各点压强可认为都等于形心处压强，因此，作用于微元面EFGH上的压力在x轴上投影为-。同理，可以得到作用于微元面ABCD的压力在x轴上投影为。六面体其余表面上的压力在x轴上投影均为0。因此，六面体所受表面力在x轴上投影和为

图2.2 六面体流体微团的表面力

设作用在六面体上的单位质量力在x轴上投影为f_x，那么六面体的质量力在x轴上投影为f_xρdxdydz。

因为六面体处于平衡状态，所以合力在x轴上的投影为0（即∑f_x=0），有

化简上式，得到式（2.4）第一式，同样可以获得适用于y、z轴方向的其余两式：

矢量表达式为

式 （2.5）中的▽称为哈密尔顿算子，即。

式（2.4）、式（2.5）即为流体的平衡微分方程式，是欧拉在1775年提出的，所以又称为欧拉平衡微分方程，表明处于静止流体中表面力和质量力平衡。

2.2.2 微分方程的积分形式

将式（2.4）中各式依次乘以dx、dy、dz，再将它们相加，得

因p=p（x，y，z），上式等号左边为压强p的全微分dp，则上式可写为

如果质量力已知，将上式积分即可得到静压强分布，有

2.2.3 等压面

压强相等的点组成的面称为等压面，可以是平面或曲面。对于等压面dp=0，得到

矢量式为

由式（2.8）可知质量力垂直于等压面。如质量力仅为重力时，等压面为水平面。