3.1 描述液体运动的两种方法

液体运动时，其运动要素一般都随时间和空间位置而变化，而液体又是由众多的质点所组成的连续介质，如何描述整个液体的运动规律呢？一般有两种方法，即拉格朗日法（Lagrange）和欧拉法（Euler）。

3.1.1 拉格朗日法

拉格朗日法以液体中每一个质点为研究对象，通过对每个液体质点运动规律的研究来获得整个液体运动的规律性。所以这种方法又称为质点系法或“跟踪法”。

图3.1

如某一液体的质点M在t=t₀时刻占有空间坐标为（a，b，c），该坐标称为起始坐标，在任意时刻t所占有的空间坐标为（x，y，z），该坐标称为运动坐标，如图3.1所示。则运动坐标应取决于讨论质点及其经历的时间，也就是说，运动坐标可表示为时间t与确定该点的起始坐标的函数，即

式中：a，b，c，t称为拉格朗日变数。

若给定方程中的a，b，c值，就可以得到某一特定质点的轨迹方程。

如果令（a，b，c）为常数（即某一确定的质点），t为变数，即可以得出这个确定质点在任意时刻所处的位置，如果令t为常数，（a，b，c）为变数，即可得出某一瞬时不同质点在空间的分布情况。

若要知道任一液体质点在任意时刻的速度，可对式（3.1）求导得

同理对式（3.2）求导，可得出液体质点运动的加速度，即

由以上分析可以看出，拉格朗日法适用的是熟知的物理学上研究质点运动的方法。该方法物理概念清楚，易于理解。但用此方法分析液体质点运动的历史情况是比较困难的，数学处理也十分复杂。这是因为拉格朗日法把液体的运动看成是无数质点运动的总和，以研究个别液体质点的运动过程为基础，通过研究足够多的液体质点的运动来掌握整个液体的运动情况。由于液体质点的运动轨迹非常复杂，要寻求为数众多的个别质点运动的规律，除了较简单的个别运动情况外，将会在数学上导致难以克服的困难；另外，液体是连续介质，很难把它划分为这一块那一块，让它们互不相干的运动。

此外，实际工程中并无必要了解液体质点运动的详尽过程，因此这个方法使用不多，仅在个别情况，例如研究波浪运动时采用。

3.1.2 欧拉法

首先看一看实际生活中人们是如何着眼于水流运动的。当人们打开自来水龙头时，所关心的是水量大小够不够。不够再开大一点，绝少有人想到这些水是从哪里来的，经过使用以后又流到哪里去。在防汛时，人们关心的是城市附近河道水位及流量是否超过某一界限，而无需顾及洪水中各个质点的运动历程。这两件事的共同特点在于：人们注意的是水流在某些指定点（如水龙头、水位高低），而不是水流本身的运动历程。这实际上就是欧拉法的思想。

欧拉法描述液体运动的基本思想是：把液体的运动情况看作是各个空间点上不同液体质点运动情况的总和。或者说欧拉法是以考察不同液体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间内的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场，所以这种方法又叫作流场法。

把表征液体运动状态的物理量称为运动要素或水力要素，例如流速、压强等。

采用欧拉法，可以把流场中任何一个运动要素表示为空间坐标和时间坐标的函数，例如，任一时刻t通过流场中任意点（x，y，z）的液体质点的流速在各坐标轴上的投影u_x，u_y，u_z可表示为

如果令上式中的x，y，z为常数，t为变数，即可求得在某一固定空间点上，液体质点在不同时刻通过该点的流速变化情况。若令t为常数，x，y，z为变数，就可求得在同一时刻、通过不同空间点上的液体质点的流速的分布情况（流速场）。

注意，在这两种情况下，根本无需考虑这些速度属于哪种性质的。

同理动水压强p可写成

以上各式中的坐标变量x，y，z称为欧拉变数。

对式（3.4）求导，可得流场中任意点的加速度在各坐标轴上的投影，即

由于函数u=f（x，y，z）的全微分为，所以式 （3.6a）又可以写成

式（3.6）可以写成一个简单的公式，即

式中：称为哈米尔顿算子。

式 （3.6b）中等式右边的表示空间固定点上由于时间过程而引起的加速度，称为时变加速度或当地加速度，它是因流场的非恒定性而产生的加速度；等号右边的最后三项之和 （如等），表示质点位置改变而产生的加速度，称为位变加速度或迁移加速度。两者之和称为全加速度。

在实际工程中，一般只需要搞清楚在某一空间位置上水流的运动情况，而并不去追究液体质点的运动轨迹。例如施测河流中某点的水流速度时，流速仪是放在某一位置（即测点）上的，在测量时段内，不知有多少水流的质点经过了这一位置，因此流速仪所测的并不是某一质点的速度，而是该空间位置上测量时段内的平均流速。