2.7 作用于曲面上的静水总压力
在工程中，受静水压力的面除平面外，还有曲面。如弧形闸门、拱坝坝面、弧形闸墩等。这些曲面多数为二向曲面，或称柱面，所以在这里着重分析二向曲面的静水压力。
作用在曲面上任意点的相对静水压强，其大小仍等于该点的淹没深度乘以液体的重度，即p=γh，其方向也是垂直指向作用面，如图2.21所示。
图2.21
图2.22为一母线与Oy轴平行的二向曲面，母线长为b，曲面在xOz面上的投影为曲线EF，曲面左侧受静水压力的作用。
图2.22
在计算曲面上的静水总压力时，由于曲面上各点的法线方向各不相同，彼此不平行，也不一定交于一点，因此求曲面上的合力就不能像平面总压力那样直接积分求其代数和。为了求解曲面上的静水总压力，通常的做法是将曲面总压力P分解成水平分力Px和垂直分力Pz，最后再将Px和Pz合成为总压力P。
2.7.1 静水总压力的水平分力
如图2.22所示，今在曲面EF上取一微分柱面KL，其面积为dA，对微分柱面KL，可视为倾斜平面，设它与铅垂面的夹角为α，作用于KL面上的静水压力为dP，由图可见，dP在水平方向的投影为
dPx=dPcosα
总压力在水平方向的分力为
根据平面静水压力计算公式
dP=pdA=γhdA
式中：h为dA面形心点在液面下的淹没深度。
由此得
dPx=dPcosα=γhdAcosα
令dAcosα=（dA）x，（dA）x为dA在yOz坐标平面的投影面积，则
式中：
表示垂直投影面对水平轴Oy的静面矩。
如以hC表示垂直投影面的形心在液面下的深度，由理论力学可知
则
式中：Ax为EF面在yoz坐标面上的投影面积。
式（2.39）表明，作用在曲面上的静水总压力的水平分力Px，等于曲面在yOz平面上的投影面积Ax上的静水总压力。这样把求曲面上静水总压力的水平分力转化为求另一铅垂面Ax的静水总压力问题。很明显，水平分力Px的作用线应通过Ax平面的压力中心。
2.7.2 静水总压力的垂直分力
仍如图2.22所示，在微分柱面KL上，静水压力沿铅垂方向的分力为
dPz=dPsinα
整个EF曲面上总压力的垂直分力Pz，可看作许多个dPz的合力，故
式中：（dA）z=dAsinα，为dA在xOy平面上的投影。
由图2.22可以看出，h（dA）z为KL面所托的水体体积，而
为EF面所托的水体体积V，即
由此得
式中：V是代表以面积EFMN为底、长为b的柱体体积，该柱体称为压力体。
式（2.40）表明，作用于曲面上静水总压力P的垂直分力Pz等于压力体内的水体重。
令压力体的底面积（即EFMN的面积）为Ω，则
2.7.3 压力体的概念
压力体是从曲面向自由液面或自由液面的延展面作投影而形成的柱状体积。它由下列周界所围成：①受压曲面本身；②自由液面或自由液面的延长面；③通过曲面的四个边缘向自由液面或自由液面的延长面所作的铅垂平面。因为压力体的体积
是一纯数学计算式，所以压力体只是作为计算曲面上垂直压力的一个数值当量，它与这个体积内是否充满液体无关。因而曲面上液体的垂直分力等于压力体内液体的重量这一结论，也就与压力体内是否充满液体毫无关系。
图2.23
例如图2.23所示的容器内装满液体，曲面ab的压力体是引垂直线到液面而得到abcd，而曲面a′b′的压力体是引垂直线到液面的延长面而得到的a′b′c′d′，这两个压力体的体积相等，因而作用在曲面ab及曲面a′b′上的垂直压力的大小是相等的。即Pz=γVabcd=-γV′a′b′c′d=-P′z，负号表示P′z与Pz的方向相反。这就说明不管压力体内是否充满液体，而垂直分力的数值恒等于压力体的液重。
其实这一现象是很容易理解的，因为静水压强只与水深有关而与重量无关，例如图2.23曲面上的m点的静水压强为γh，而a′b′面上与之等高的点m′的静水压强亦等于γh。两个曲面上各相应点的静水压强均相同，故由静水压强积分而得到的总垂直压力必然相等。
至于垂直分力Pz的方向，决定于液体及压力体与受压曲面的相互位置。
（1）当液体和压力体位于曲面同侧时，Pz的方向向下，Pz的大小等于压力体的水重，此时的压力体称为实压力体。
（2）当液体及压力体各在曲线一侧时，则Pz的方向向上，Pz的大小等于压力体的水重，这个想象的压力体称为虚压力体。
（3）当曲面由凹凸相间的复杂柱面构成时，可在曲面与铅垂面相切处将曲面分开，分别绘出各部分的压力体，并定出各部分垂直水压力的方向，然后合起来就可得出总的垂直压力的方向。现以图2.24为例说明曲面由凹凸相间的复杂柱面构成时压力体的分析方法。图2.24的曲面为ABCD，可分成AC和CD两部分，其压力体及相应的Pz的方向如图中的（b）、（c）所示，合成后的压力体如图（d）所示。不难看出，曲面为ABCD所受静水总压力的垂直分力Pz的大小及方向可由图（d）定出。
图2.24
如果液体的重度在垂直方向上不相等，在计算垂直分力时，需找出不同液体的交界面，分别计算不同重度液体压力体的体积，则垂直分力为不同液体的重度与其相应压力体体积乘积的总和。
垂直分力Pz的作用线，应通过压力体的体积形心。
2.7.4 曲面上静水总压力的大小、方向及其作用点
有了水平分力Px和垂直分力Pz，由力的合成原理，曲面上静水总压力的大小为
设静水总压力与水平面之间的夹角为α，则静水总压力的方向为
tanα=Pz/Px
由上面的分析可知，水平分力Px的作用线通过Ax平面的压力中心。垂直分力Pz的作用线通过压力体的体积形心，此二力合力P的作用线与曲面的交点，即为静水总压力P的作用点。应该指出， Px作用线与Pz作用线的交点不一定恰好落在曲面上。
【例题2.23】 韶山灌区引水枢纽泄洪闸共装有5孔弧形闸门，每孔门宽b=10m，弧形闸门的半径R=12m，其余尺寸如图所示。试求当上游为正常水位66.5m，闸门关闭情况下，作用于一孔弧形闸门上的静水总压力的大小及方向。
例题2.23图
解：
（1）求水平分力Px。已知弧形闸门的高度为66.5-57.5=9（m），闸门形心到水面的距离为hC=9/2=4.5（m），面积Ax=10×9=90（m2），则
Px=γhCAx=9.8×4.5×90=3969(kN)
（2）求垂直水压力。垂直水压力的压力体为压力体的底面积（即图中ABC的面积）Ω乘以闸门宽度b，即
V=bΩ
弧形面积Ω=弓形面积AC+三角形面积ABC。由图中可以看出
α=α1+α2=4.78°+41.81°=46.59°
由图中还可以看出，弓形的弦长为AC=2Rsin（α/2）=2×12sin（46.59°/2）=9.491（m），BC=66.5-57.5=9（m），
，三角形面积为
Ω=6.242+13.56=19.802(m2)
压力体的体积为 V=bΩ=10×19.802=198.02（m3）
Pz=γV=9.8×198.02=1940.6(kN)
总压力与水平方向的夹角为 β=arctan（Pz/Px）=arctan（1940.6/3969）=26.055°
压力中心位置：因为曲面为柱面的一部分，各点的压强均垂直于柱面并通过圆心，故总压力P也必通过圆心O点，如例题2.23（b）图所示。
【例题2.24】 有一薄金属压力管，管中受均匀水压力作用，其压强为p，管内径为D，当管壁允许拉应力为［σ］时，求管壁厚度为多少（不考虑由于管道自重和水重而产生的应力）？如果压力管的内径D=0.1m，壁厚δ=4mm，管壁允许拉应力［σ］=1.5×105kN/m2时，管中最大允许压强为多少？
例题2.24图
解：
水管在内水压力的作用下，管壁将受到拉应力，此时外荷载为水管内壁（曲面）上的水压力。
为了分析水管内力与外荷载的关系，沿管轴方向取单位长度L=1m的管段。从直径方向剖开，在该剖面上管壁所受的总内力为2F，由材料力学知
2F=2δ×1×σ=2δσ
其中σ为管壁的拉应力。
水压力按曲面压力分析，因为铅垂方向的水压力互相平衡，只有水平方向的水压力，设作用在水平方向的静水压强为p，Ax=DL=D×1=D，则作用于曲面内壁上总压力的水平分力为
P=pAx=pD
外荷载与总内力应相等，即
2δσ=pD
若令管壁所受的拉应力恰好等于其允许拉应力［σ］，则所需的管壁厚度为
当管的内径D=0.1m，壁厚δ=4mm=4×10-3m，管壁允许拉应力［σ］=1.5×105kN/m2时，管中最大允许压强为
p=2δ［σ］/D=2×4×10-3×1.5×105/0.1=12000(kN/m2)
【例题2.25】 有一圆筒闸门挡水，圆筒与墙面之间光滑接触，圆筒长度为L=2m，试求：（1）圆筒的重量；（2）圆筒作用于墙上的力。
例题2.25图
解法1：
（1）求圆筒的重量。由于圆筒处于平衡状态，所以圆筒的重量必与水作用于圆筒的铅直力相等。作用于AB面上的铅直力为
PzAB=γV1=γLΩ1
PzAB=γLΩ1=9.8×2×0.2146=4.21(kN)
作用于BCD面上的铅直压力为
PzBCD=γV2=γLΩ2
PzBCD=γLΩ2=9.8×2×3.5708=69.99(kN)
圆筒的重量为
69.99-4.21=65.78(kN)
（2）求圆筒作用于墙上的力。作用于BC与CD面上的水平分力互相抵消，圆筒作用于墙上的水平分力为
解法2：
如右图所示压力体，则
【例题2.26】[1]盛水容器底部有一半径r=2.5cm的圆形孔口，该孔口用半径R=4cm、自重G=2.452N的圆球封闭，如例题2.26图（a）所示。已知水深H=20cm，试求球升起时所需的拉力T。
例题2.26图
解法1：
用压力体求铅直方向的静水总压力。压力体如例题2.26图（b）所示。可以把压力体分为球的体积V1，圆球中的圆柱体cdfg的体积V2，圆球侧面压力体的体积和圆球顶部压力体的体积V3和V4，则
圆球中的圆柱体cdfg的体积为
圆球侧面和顶部球冠的体积为
其中
球体四周压力向上压力体的体积为
V=V1-V2-2V3=(44/3-39.031248-2×2.8548)π=127.52505(cm3)
球体四周压力向下压力体的体积为
Pz=(V0-V)γ=(261.1102-127.52505)×9800/1003=1.309135(N)
T=G+Pz=2.452+1.309135=3.76114(N)
解法2：
设向下的压力P1等于圆柱体的体积πR2H中的水重减去体积V1-V3中的水重，即
P 1=γ(πR2H-V1+V3)=γπ(42×20-44/3+2.8548)=746.1963γ
从下向上的压力P2等于圆环体积的水重，即
P 2=γ(πR2-πr2)H=γπ(42-2.52)×20=612.6106γ
T=G+P1-P2=2.452+(746.1963-612.6106)×9800/1003=3.76114(N)
解法3：
压力体如图所示，可以看出
V 1 -V 2=πr2H-πh2(R-h/3)
解法3 压力体示意图
可以看出，第3种方法最为简单。现导出计算拉力T的一般公式，设H=mR，r=nR，则
