2.3 液体的平衡微分方程——欧拉（Euler）平衡微分方程及其积分
2.3.1 液体平衡微分方程
在静止或相对静止的液体中取一微小六面体，其中心点为m（x，y，z），各边分别与坐标轴平行，边长分别为dx、dy和dz，如图2.4所示。下面分析作用于六面体上的力。
2.3.1.1 面积力
因为静止或相对静止的液体中不存在摩擦力，所以作用于六面体各面上的面积力只有周围液体对它的压力，先分析x方向的作用力。
设六面体中心点m（x，y，z）处的压强为p，且p=p（x，y，z），当坐标位置变化时，压强也发生变化，用泰勒级数展开为
图2.4
先考虑x方向的表面力，如忽略二阶微量以上各项，则 ABCD 面的中心点
的压强是
，A′B′C′D′面的中心点
的压强是
，这样，x方向的表面力为
其中
是压强沿x方向的变化率。同样可以得出压强沿y方向的变化率
和z方向的变化率
，并可写出这两个方向的表面力。
2.3.1.2 质量力
设单位质量力在各坐标轴上的投影分别为X、Y和Z，则作用于微小液体的质量力在x方向的投影为ρdxdydz·X，同样，y方向的质量力为ρdxdydz·Y，z方向的质量力为ρdxdydz·Z。根据平衡条件，静水中六面体上各个方向的作用力之和均应分别为零，对于x方向可以写出
用ρdxdydz除以上式，可以得出
同理可得y、z方向的类似结果，从而可得液体平衡微分方程组为
式（2.2）即为液体平衡微分方程，它表示了处于平衡状态的液体中压强的变化率和单位质量力之间的关系，是欧拉于1775年导出的，所以又称为欧拉方程。
式（2.2）表明，处于平衡状态的液体内，静水压强沿某一方向的变化率与该方向单位质量力相等。或者说，在平衡液体中，对于单位质量力来说，质量力分量（X，Y，Z）和表面力分量
是对应相等的。
2.3.2 液体平衡微分方程的积分
为了求得平衡液体中任一点的静水压强p，需将欧拉方程进行积分。将方程组（2.2）中的第一式乘以dx，第二式乘以dy，第三式乘以dz，然后相加得
因为静水压强p=p（x，y，z），所以上式的右边括号内为p的全微分，则上式可以写成
对于不可压缩液体，ρ=常数。式（2.3）的左端是p的全微分，右端括号内各项之和也应是某一函数W=W（x，y，z）的全微分，即
于是得
将上式与式（2.3）比较得
上式表明，函数W=W（x，y，z）对某坐标的偏导数等于单位质量力在该坐标上的投影。由于W与质量力之间存在着这种函数关系，函数W称为力函数，而满足这种函数关系的力称为有势力。由以上讨论可知，只有当质量力是有势力时，液体才处于平衡状态。引进力函数W后，式（2.3）可以写成
对式（2.4）积分得
p=ρW+c
式中：c为积分常数，由边界条件决定。
如已知液体表面或内部任一点的压强p0及该点的力函数W0，则c=p0-ρW0，代入上式得
式（2.5）表明平衡液体在具有力函数W的某种质量力的作用下，当力函数W0和压强p0为已知时，可以用上式求解平衡液体内任一点的压强p。由上式也可以得出：平衡液体中，边界上的压强p0将等值地传递到液体内的一切点上，即当p0增大或减小时，液体内任意点的压强也相应地增大或减小同样的数值，这就是著名的帕斯卡定律。
2.3.3 等压面
静止液体中压强相等的点所组成的面称为等压面。在等压面上，p=常数，则dp=0，于是由式（2.3）得等压面的方程为
由等压面方程可以得到等压面的重要性质。
（1）等压面也是等势面。由于等压面上的压强p=常数，dp=ρdW=0，因为ρ≠0，所以必然有dW=0，即W=常数，所以等压面就是等势面，反之，等势面必为等压面。这是等压面的一个重要特性。
（2）等压面与质量力的方向正交。证明如下：设单位质量力f=Xi+Yj+Zk，它与等压面上任意微小线段dl=dxi+dyj+dzk的点积为
f·dl=(Xi+Yj+Zk)·(dxi+dyj+dzk)=Xdx+Ydy+Zdz
由式（2.6）可知，上式等于零，即，f·dl=Xdx+Ydy+Zdz=0，由于矢量f和dl都不为零，要想乘积等于零，只有一种可能，就是力与线段垂直。所以又得到等压面的另一重要性质，即质量力f与等压面上任一微小线段dl互相垂直，质量力垂直于等压面。根据这一性质，可以确定等压面的形状，或者反过来在已知等压面的形状后去确定质量力的方向。例如，当质量力只有重力时，由于重力的方向是铅直向下的，所以等压面是水平的；当除重力外还有其他质量力同时作用时，等压面与质量力的合力垂直。
（3）两种不相混合的静止液体的分界面必为等压面。如图2.5所示为两种不相混合的液体，密度分别为ρ1和ρ2，其分界面为S，设A、B分别为S上相邻的两点，两点间压强差为dp，势函数值之差为dW，写出A、B两点压强差公式，对第一、二两种液体分别为
图2.5
dp=ρ1(Xdx+Ydy+Zdz)=ρ1dW
dp=ρ2(Xdx+Ydy+Zdz)=ρ2dW
由此得 ρ1dW=ρ2dW
因为ρ1≠ρ2，要使上式相等，必有dW=0，由此说明沿S面任意两邻近点（A与B）的势函数值之增量皆为零，由式（2.6）可知，S面为等势面。由等压面的性质（1）可知，S面也必为等压面。
常见的等压面有液体的自由表面，其上一般作用的是大气压强pa，平衡液体中不相混合的两种液体的交界面等。
【例题2.1】 指出下图画线部分是等压面还是非等压面。
例题2.1图
解：
上图的等压面和非等压面已标在图中。