2.2　相关距离的计算方法及其改进

2.2.1　相关距离的概念

2.2.1.1　概念的引入

确定方差折减函数有两种途径，一种是通过相关函数求得，另一种是通过相关距离来求得。均值方差具有随着用于平均的空间的增加而逐渐衰减的特性，该特性是由于空间各点土性间的相关性造成的。如果每一点土性都与其他点相互独立，也就不会呈现出方差衰减现象了。那么，究竟相隔多大距离时，两个随机变量就可以看成不相关的，或者说，两个土性数据相隔多远时，其均值的方差就不需要再折减了呢？

Vanmarcke1977年提出：若存在

（其中，δu是一个常数）

则对充分大的h，有下面的近似公式：

因而建议方差折减函数采用下述形式：

式（2.2.3）相当于把土性剖面随机场Y（z）的标准相关函数ρ（Δz）近似地看成：

从上述理论中可知，这里的δu不是一个任意的常数，它可以看成是衡量两个相隔距离为Δz的随机变量的相关程度的一个基本距离，称之为“相关距离”。当两点的距离小于δu时，认为它们是强烈相关的；反之，当两点的距离大于δu时，则认为它们基本不相关。但有一点需要注意，相关距离只是一种工程实用的提法，它并不严格对应数学上的完全相关（ρ＝1）或不相关（ρ＝0）的概念，当然，这两者有一定的联系。

由式（2.2.3）可知，只要求出了土性剖面的相关距离δu，就可以利用该式得到方差折减函数Γ2（h）。

2.2.1.2　相关距离的含义

把土性指标沿深度方向看成是一个高斯平稳齐次随机场，从而计算其相关距离，这时的相关距离则表示与土性质Y（z）有较密切的相关关系或各点保持连续的那段距离。在该距离范围内，土性指标基本上是相关的，反之，土性指标基本上不相关。也可以说，相关距离是沿深度z方向土性相关性的一种度量。而土性的相关性是由土的矿物成分、沉积条件、应力历史、含水量和其他方面的内在联系而决定的，即土的成分和成因，以及它的现状存在条件决定了土性的相关性。因此，相关距离是土的一个属性，具有一定的物理意义，而不是单纯的数学概念。

对于同一类土，当现场的情况相似时，相关距离应该基本一致。对于沉积土层来说，这种相关距离在水平方向与垂直方向是不同的，水平方向的相关距离远大于垂直方向相关距离，故这是一个三维问题。不过一般说来，研究垂直方向的相关距离要比研究水平方向的更为重要。

根据不同的土性指标的试验资料（即不同的随机场），计算得到的δu可以认为是土性相关距离的一个反映，一个估计值，彼此之间有可能不一样，但这并不说明土性的相关距离随指标而变，真正的土的性质之间相关性应当不会随选用不同土性指标而发生变化。在实践中，不同的指标计算出来的δu之所以不同，一方面是由于取样扰动、试样代表性、试验方法和数量以及各种人为误差等因素；另一方面，在尚未知道某土性的相关距离时，可将其视为一个随机变量，而根据某一指标计算得到的δu，就是相关距离的一个样本值，样本值与样本值之间不一致是完全可能的。

这里所说的相关距离，不是根据某一指标得到的哪一个样本值，而是一种抽象出来的、对土性的真实相关性一个最恰当的估计值，这个值称其为土性的相关距离。土性的相关距离是土的一种基本属性，对于同一土层，有一个单一的相关距离。当根据不同的土性指标的实验资料，得到不同的δu值时，必须加以分析和归纳，找出比较能反映土体实际情况的均值或范围，或凭借经验确定一个综合值。在目前的情况下，对于同一类土，在现场相似的情况下，提出一个土性相关距离的均值及范围，将对岩土工程可靠度研究提供很大的方便。

因此，在岩土工程可靠度规范的编制中，有必要根据大量资料，提出相关距离的范围值。

2.2.2　相关距离的常用计算方法

自Vanmarcke提出土性剖面随机场模型理论之后，出现了多种求解相关距离的方法。概括起来有递推空间法、相关函数法、统计模拟法、平均零跨距法等，其中最基本和常用的是递推空间法及相关函数法。

2.2.2.1　递推空间法

递推空间法是通过方差折减函数Γ2（h）来求解相关距离δu。根据相关距离的定义式可知，当h充分大时，有将h取为取样间距的倍数，即h＝Δz＝iΔz0，代入式（2.2.4）得

而Γ2（i）＝

式中：Var（i）为空间均值的方差；σ2为点方差。

因为h充分大时，δu为一常数，反映在Γ（i）－i图上表现为：当i取某一值后，Γ（i）趋近于平稳，所以可以用如下做法近似地计算出δu来。

（1）根据离散样本点，计算出点均值E［Y（z）］及点的标准差σ。

（2）取i＝2，以相邻两个样本点的均值构成一组数据，求出该组数据的均值和标准差，此标准差记为D（2）。

（3）计算Γ（2）

（4）在Γ（i）－i图上描绘出该点。

（5）取i＝3，4，…，重复步骤（3）、（4）及（5），绘出Γ（i）－i图。

（6）找出Γ（i）的平稳点n＊，以该点为计算点，利用式（2.2.5）求出相关距离δu＝n＊Δz0Γ2（n＊）。

2.2.2.2　相关函数法

相关函数法是通过相关函数ρ（Δz）来求解相关距离δu。根据相关距离和方差折减函数的定义，得：

由式（2.2.6）可知，只要确定了相关函数ρ（Δz）的形式，就可利用该式积分求得相关距离δu。几种常用的相关函数型式及其对应的相关距离表达式见表2.2.1。

有了这个对应关系表，在具体计算中只要确定出相关函数的型式及其参数的值，查表即可得相关距离δu，具体做法如下。

（1）对Δz＝iΔz0取不同的i值，计算

从而取得相关函数的一系列计算值；为了下面推导的方便，将Y（zk）简化记为Yk，则上式可简记为

（2）利用计算值点绘出ρ（Δz）－Δz。

（3）根据ρ（Δz）－Δz图，确定相关函数的拟合形式。

（4）进行方程的回归，确定参数的值。

（5）查表并计算相关距离δu。

2.2.2.3　统计模拟法

统计模拟法从本质上讲，是假定土性的相关函数型式为指数函数，即ρ（Δz）＝e－b｜Δz｜，确定出参数b的值后，进而求出相关距离δu。但是，由于它确定参数时的理论依据及方法均与相关函数法不同，因而被独立地列为一种方法。

这种方法首先需将实验数据分做3类（图2.2.1），以便在计算中做不同的处理。第一类土性指标随深度是线性变化，且当z＝0时，Y（0）＝0［图2.2.1（a）］；第二类土性指标随深度无显著变化［图2.2.1（b）］；第三类土性指标亦随深度呈线性变化，但当z＝0时，Y（0）≠0［图2.2.1（c）］。

令Y（zi）为深度zi处的土性指标值，其中i＝0，1，2，…，N。

对第三类土，需定义一个新轴O′Z′［图2.2.1（c）］，新轴的原点O′可通过量测值Y（zi）和相应的深度zi之间的简单线性回归分析来确定，则令

对于相邻值ui－1及ui，其间距Δz0＝zi－zi－1为一常量，二者具有如下的关系：

式中：β0、β1为待定参数；εi为误差，它的均值和方差对所有的i均取常数，分别为0和σ2。另外，假设误差εi之间相互独立，即

式中：E［］为括号中数值的期望值（或均值）。

由式（2.2.8）、式（2.2.9）可得，ui的期望值E［ui］和方差Var［ui］分别为

式中：C、D为常量，其大小取决于i＝j0时的边界条件。

若β1的绝对值小于1，即｜β1｜＜1，而且i＝i0的量值，当i＝0，1，…，N时，都足够大，则ui可以认为代表一个平稳过程，即ui的均值E［μi］及方差Var［μi］与i无关，而i、k两点的相关函数R（i，k）仅仅依赖于i与k差值的绝对值｜i－k｜而变化。根据Cox和Miller的推导可以得到：

若以Y（zi）代替上述表达式中的ui，根据式（2.2.7），可得出Y（z）的期望值、方差和相关函数分别为

其中，RY（i，k）是用来对垂直方向上i、k两点进行估算的。

Y（z）的变异系数VY，定义为标准差与均值之比，表达式为

由上式可以看出VY与深度Z无关。

若β1为正值（β1＞0），对于垂直方向上任意两点（图2.2.2），Y（z）的相关函数可以表示为其间距Δz的指数函数，即

其中，

至此，参照表2.2.1所示的相关函数型式及其对应的相关距离表达式即可得相关距离，使用该方法求得的相关距离表达式为

该方法中涉及的参数β0、β1和σ可通过对相应的比率ui进行最小二乘分析来确定，Zelner的研究表明：

其中γ＝N－2

使用该方法需首先验证数据的平稳性，其验证步骤如下：

（1）根据原始数据模式计算出下式中的ui：

ui＝β0＋β1ui－1＋εi　（i＝1，2，…，N）

并由式（2.2.11）计算相应的β0及β1。

（2）利用ui重新构造相反方向的过程，确定下式中的uj：

uj＝α0＋α1uj－1＋εj　（j＝N，N－1，…，2，1）

并由式（2.2.11）计算相应的α0及α1。

（3）比较α0与β0、α1与β1，若它们足够接近，则可从为过程ui已达到其平稳阶段（图2.2.3）。

若ui（i＝0，1，2，…，N）尚未达到平稳阶段、如图2.2.3左边黑点所示，则其对应的相反方向的过程ui将随着j（α1＞1）而增大。如果经检验发现实验数据不平稳，就不能使用该方法。

综上所述，使用统计模拟法的具体步骤如下：

（1）分析数据资料判断其属于图2.2.1中的哪一类，并依具体情况计算ui。（2）计算判断平稳性所需的α0、α1、β0、β1。

（3）比较α0与β0、α1与β1，看它们是否分别足够接近。

（4）如果α0≈β0、α1≈β1，则说明数据满足平稳住的要求。

（5）将求得的β1代入式（2.2.10）即可得相关距离为

2.2.2.4　平均零跨距法

平均零跨距法是通过平均零跨距来计算相关距离δu。所谓“平均零跨距”，是指土性指标变化曲线上土性Y（z）与其均值E［Y（z）］交点之间的平均距离。研究表明相关距离δu与平均零跨距之间存在着一定的关系，即

因而，只要求出交点间的平均距离，便可由式（2.2.12）计算出相关距离δu。但是，这种方法仅适用于沿着计算范围内有完整连续的土性变化曲线的情况，例如，静力触探试验结果可使用这种方法。

2.2.3　相关距离的改进计算方法

2.2.3.1　递推空间法的改进

1.递推空间法改进一

递推空间法虽然在理想状态下简便易行，但是在实际工作中发现：由于土性指标的强烈变异性，绘出的Γ（i）－i图往往并不像理论上那么规则、光滑；而且随着i值的增加，用于求解Γ（i）的数据逐渐减少，求得的Γ（i）可信度降低，在Γ（i）－i图上表现为曲线中后部常出现不规则摆动（图2.2.4），而不像理论上估计的那样趋于平稳，所以很难从图中找出Γ（i）的稳定点n＊，也就无法计算出相关距离δu。

另外，Γ（i）－i图不够直观，当已知两点间距离Δz时，不能直接从图中读出Γ（Δz）的大小，所以在改进后的递推空间法中将绘出Γ（Δz）－Δz图。

Vanmarcke在文章中提出：计算所得的Γ（i）（图2.2.4中的点）应逐渐接近其理论值（图2.2.5中的实线），后者的表达式为

据此，可对递推空间法作如下步骤的改进。（1）～（3）同递推空间法。

（4）计算Δz2＝2Δz0，并在Γ（Δz）－Δz图上描绘出该点。

（5）取i＝3，4，…，重复步骤（2）、（3）及（4），绘出Γ（Δz）－Δz图。

（6）假设一个δu，利用式（2.2.13）计算出它所对应的Γ（Δz）－Δz理论曲线。

（7）在图中检验试验数据计算所得的各Γ（Δz）点是否能够逐渐趋近于理论曲线。

（8）如果不能，就再假设一个δu，再检验，如此反复，直到实验点和理论曲线能够较好地吻合为止（图2.2.6）。这时假设的δu就是所求的相关距离。

注意到图中实验曲线与理论曲线相切后，又逐渐偏离，并产生摆动，这就是由于随着i值的增加，用于求解Γ（Δz）的数据逐渐减少，计算所得的Γ（Δz）可信度降低的缘故。

改进后的方法利用现有的计算机技术，实现起来是很简单的，可以得到较满意的结果。而且对于土性指标变异性较大而形成的实验曲线较早出现异常的情况，使用改进后的递推空间法，能很容易地求出其相关距离值。

2.递推空间法改进二

根据相关距离的定义，当h充分大时，相关距离δu＝hΓ2（h）。那么，可绘制τΓ2（τ）－τ曲线，其中，将τΓ2（τ）定义为波动函数，τ定义为迟延距离，τ＝（i－1）Δz0。从理论上说，当迟延距离增大到一定程度后，波动函数曲线将趋于平稳，此时的τΓ2（τ）值即为相关距离。由于实际计算中的数据并不完全符合理论假定的相关关系，加之随着i值的增大，用于求解τΓ2（τ）的数据逐渐减少，求得的τΓ2（τ）可信度降低，在τΓ2（τ）－τ图上表现为曲线达到峰值之后，出现一小段平稳值，然后开始下降，并出现不规则摆动趋势；但有时达到峰值之后，并未出现一小段平稳值即开始下降。因此，相关距离值可由τΓ2（τ）－τ曲线上出现的一小段平稳值或峰值确定。

将此法称为波动函数法，较之递推空间法，更易于相关距离的确定。

图2.2.7是对天津新港南疆及北港池地区的现场及室内试验获得的土性指标数据绘制的波动函数曲线图。

2.2.3.2　相关函数法的改进

1.相关函数法的改进一

相关函数在实际应用中也存在着一些问题：①对于某些形式较为复杂的相关函数，进行方程的回归十分繁琐，有时甚至无法实现；②它同递推空间法一样，随着间距Δz的增加，用于求解相关函数ρ（Δz）的数据逐渐减少，则求得的ρ（Δz）趋势极不稳定［图2.2.8（a）］。其中部及后部的计算点与理论值相差很大，所以进行方程的回归时，将会对拟合曲线的计算结果产生很大的影响，使拟合曲线不能与实验曲线较好地吻合。由于上述原因，利用同改进递推空间法相似的手段，对相关函数法进行了部分改进，其具体做法如下。

（1）～（3）同相关函数法。

（4）对所确定的相关函数型式假定一组参数，并描绘出它们所对应的ρ（Δz）－Δz理论曲线。

（5）从图中检验理论曲线在其前部是否能较好的拟合实验曲线。

（6）如果不能，就适当调整各参数的值，再拟合，再检验，直到二者的前部吻合较好为止［图2.2.8（b）］，这时假设的参数即为所求。

（7）查表并计算相关距离δu。

2.相关函数法的改进二

如前文所述，传统的相关函数法虽然概念比较清楚，但实际计算中，由于样本容量的限制，通常根据实测资料求得的相关函数ρ（Δz）在后半段将出现剧烈振荡，很难用合适的函数拟合，有时还会出现相关函数值大于1的不合理现象。虽然上述相关函数的改进方法能在一定程度上改进拟合效果，但受人为因素影响仍较大，还存在着不完善之处。

尝试采用加权拟合的方法，对Δz较小的ρ（Δz）施以较大的权数，对Δz较大的ρ（Δz）施以较小的权数（甚至为0），以便小的Δz所对应的ρ（Δz）在拟合中起较大的作用，从而改进拟合的精确度。这种方法在随机波浪谱估计中已被成功地应用，本章将其引入土性参数的估计，并用工程实测资料进行计算验证。

（1）加权拟合的原理。传统的拟合一般采用最小二乘法，使残差平方和最小。具体来说，若用yi（i＝1～n）表示待拟合的数据，用表示相应的拟合值，则拟合残差为

ri＝yi－

残差平方和为

经计算使s取最小值即可。

加权拟合则是将权数wi引入残差平方和，即令

之后的计算原理和方法与传统的拟合方法相同。

（2）加权拟合的权函数的选择。对于相关函数曲线的拟合，其权数并没有固定的形式。参照随机波浪的谱估计，选用一种常用的权函数，如下式所示：

式中：n为样本容量；Δz0为取样间距。

（3）拟合效果的比较。以天津塘沽新港南疆地区的某一钻孔静探数据为例，计算其离散的相关函数值，并分别用传统的拟合方法，加权拟合法拟合其相关函数曲线，如图2.2.9所示。

从拟合效果来看，传统拟合的残差平方和为16.81，R2值只有0.22；加权拟合的残差平方和为2.99，R2值为0.6，显然，加权拟合的效果要优于传统拟合。再从计算的相关距离值来看，用加权拟合方法求得的相关距离值为0.138m，与用递推空间法求得的值很接近，而用传统拟合方法求得的相关距离值仅为0.076m，根据经验，这显然是不可信的。

2.2.4　相关距离计算方法的比较与新算法

2.2.4.1　递推空间法和相关函数法的比较

近年来，许多学者对递推空间法和相关函数法做了研究和改进，以提高其适用性和准确性。但各种研究所得到的结论是不同的：一些学者经实际工程的计算，提出递推空间法及相关函数法的求解结果相当接近；而有学者用相关函数法计算得出的结果约为递推空间法的两倍。另外，有学者对递推空间法在原始数据利用的合理性及样本数据统计上的独立性提出质疑，认为其并没有理论依据，不宜采用。那么，递推空间法及相关函数法在理论及计算模式上究竟有无联系，两种方法的计算结果能否得到统一呢？本节即对这一问题进行了探讨，并用工程实例验证所得的结论。

由以上分析可知，无论是递推空间法还是相关函数法，两者对于相关距离的求解都是从其定义出发，即所不同的只是方差折减函数Γ2（h）的求法不同。递推空间法直接根据方差折减函数的定义式（2.1.17），通过顺序相邻i个样本（i＝2，3，…）的均值构成一组新的数据样本，计算新的样本的方差与初始样本的点方差的比值即方差折减函数相关函数法则是将相关函数引入方差折减函数的定义，如式（2.1.24）所示，离散后的Γ2（iΔz0）可根据式（2.2.14）计算。如果这两种方法所求得的Γ2（iΔz0）相等，则最终求得的相关距离δu应当非常接近，这对于实际工程的应用是理想的。那么这两者所求得的Γ2（iΔz0）是否相等，可进一步讨论如下。

首先说明，在应用Vanmarcke提出的土性剖面随机场模型时，一般先对原始数据进行标准化处理，即令Y′（z）＝［Y（z）－μ］/σ，使其满足“统计上均值”。所以不失一般性，今后总假定E［Y（z）］＝0，D［Y（z）］＝1。

（1）当i＝1时，Γ2（Δz0）＝1方差不折减。

（2）当i＞1时，根据相关函数法可得方差折减函数的离散值：

根据递推空间法：

式中：为相邻i个样本的均值；E（Y′）为由顺序相邻i个样本的均值构成新的数据样本的均值。即

如前文的假定，E［Y（z）］＝0，即所以，当n足够大时，E（Y′）→0。

式（2.2.15）可化为

由假定D［Y（z）］＝1，当n足够大时，上式第一项可近似认为

第二项可近似化为

与式（2.2.14）相比较可知，递推空间法与相关函数法所求得的方差折减函数Γ2（iΔz0）近似相等。随着样本容量n的增大，两者间的误差逐渐减小，并趋向于零。因此，从理论上说，当样本容量n足够大时，利用所求得的相关距离值应该是大致相等的。

在实际计算中，之所以会出现利用递推空间法与相关函数法所求得的相关距离不一致，甚至相差很大的情况，著者认为是样本容量不足所致。样本容量不足所引起的误差主要体现在以下几方面。

（1）根据Vanmarcke提出的相关距离的定义，只有对充分大的h，才有下面的近似公式：hΓ2（h）≈δu。若样本容量不足，无论采用哪种方法，从定义上就有一定的出入。

（2）采用递推空间法时，若样本容量不足，则难以找到相关距离δu的稳定值。在实际计算中，由人为确定的相关距离δu必然存在着误差。

（3）采用相关函数法时，其计算结果受所选函数类型的影响很大。同时，由于样本容量的限制，根据实测资料求得的相关函数ρ（Δz）值在后段将出现剧烈振荡，很难用合适的函数拟合，引起计算的误差。

由于在实际工程中所能取得的样本毕竟是有限的，所以两种方法所得的相关距离会有一定的差异。因此认为在计算中，应综合运用两种方法，对其结果进行比较，当所得的相关距离大致相等时，才可认为是比较合理的相关距离值。

下面以一工程实例进一步证明以上所得的结论。

以天津塘沽南疆石化码头后方陆域作为试验场区进行静力触探试验。静探孔布置为一条纵轴线，孔距5m。触探孔数量25个，孔深平均20m。对静探孔的锥尖阻力值qc分别采用递推空间法和相关函数法求方差折减函数和相关距离。

以孔1为例，取样间距0.05m，样本容量121个。对分别采用递推空间法和相关函数法求得的方差折减函数作线性回归分析，如图2.2.10所示。

图中，T和A分别代表用递推空间法和相关函数法求得的方差折减函数，两者非常接近，相关系数达到了0.999。

计算其余24个钻孔的方差折减函数，并对两种方法的计算结果作线性回归分析，其相关系数的分布如图2.2.11所示。

从图2.2.11可看出，用两种方法计算所得的方差折减函数的相关系数集中在0.98～1之间，且大部分接近于1，其均值为0.991，变异系数为0.011。由此可见，在样本容量较多的情况下，用两种方法所求得的方差折减函数是近似相等的。

下面比较递推空间法和相关函数法所求得的相关距离值。分别用静探数据计算25个钻孔的相关距离，将计算结果进行对比，两者比值λ的分布图如图2.2.12所示。

从分布图中可以看出，比值λ集中在1.0附近，其均值为1.088，变异系数为0.152。说明递推空间法与相关函数法的求解结果相当接近。从而也证明了由前述计算公式推导所得的结论在实际工程中也是成立的。

2.2.4.2　一种新的相关距离计算方法

如前所述，递推空间法和相关函数法在实际应用中都存在着不完善的地方，易因人为因素引起误差。结合两种方法所长，提出一种新的相关距离计算方法，即在确定了相关函数的形式后，不是用其去拟合离散的相关函数ρ（τ）值，而是利用其对应的方差折减函数（表2.1.1）去拟合离散的方差折减函数值，从而确定相关函数中的参数，再由表2.2.1计算得出相关距离δu，称这种方法为拟合折减函数法。

在实际计算中，先计算移动距离τ＝iΔz0（i＝1，2，3，…，N）对应的相关函数ρ（τ）值，确定相关函数的形式。然后根据式（2.2.14）计算方差折减函数的离散值，并用表2.1.1中对应的方差折减函数去拟合，得到相关函数中的参数，进而计算得出相关距离值。

该法的优点在于，由式（2.2.14）计算所得的方差折减函数的离散值随τ＝iΔz0的增大有逐渐减小趋势，便于曲线的拟合及参数的确定。在实际工程中，常常由于取样间距较大，样本容量小造成计算所得的相关函数ρ（Δz）值离散性较大，不易进行相关函数的拟合。而利用方差折减函数进行拟合，则不存在这样的问题，且计算较为简便，可作为传统相关函数法的改进和补充。

仍以上节中孔1为例，分别用传统的相关函数法和拟合方差折减函数法求相关距离。相关函数选用指数余弦型，ρ（Δz）－Δz拟合图及Γ2（i）－i拟合图分别如图2.2.13（a）和图2.2.13（b）所示。

用两种方法计算所得的相关距离分别为0.121m和0.139m，相差不大，但应用计算机技术进行函数曲线拟合时，拟合方差折减函数显然要容易得多。