3.3 连续性方程

连续性方程是液体运动学的基本方程，是质量守恒定律在水力学中的应用。下面根据质量守恒原理，推导三维流动连续性微分方程，并建立总流的连续性方程。

3.3.1 连续性微分方程

在流场中任取微元直角六面体ABCDEFGH作为控制体，其边长为dx、dy、dz，分别平行于x、y、z轴。以x方向为例，设液体在该六面体形心O′（x、y、z）处的密度为ρ，x方向的速度为ux，根据泰勒级数展开，并略去二阶以上的无穷小量，可得密度和速度乘积ρux沿x轴方向的变化，如图3.14所示。

在x轴方向，单位时间流进与流出控制体的液体质量差：

同理，在y、z轴方向，单位时间流进与流出控制体的液体质量差:

单位时间流进与流出控制体总的质量差：

由于液体连续地充满整个控制体，而控制体的体积又固定不变，所以，流进与流出控制体的总的质量差只可能引起控制体内液体密度发生变化。设初始时刻的密度为ρ，根据泰勒级数展开，经单位时间后的密度为，则由密度变化引起单位时间控制体内液体的质量变化为

根据质量守恒定律，单位时间流进与流出控制体的总的质量差，必等于单位时间控制体内液体的质量变化。即

此式即为可压缩液体的连续性微分方程。由方程的推导过程可以看出：连续性方程实质上是质量守恒定律在水力学中的应用，因此，任何不满足连续性方程的流动是不可能存在的；在推导过程中不涉及液体的受力情况，故连续性方程对理想液体和黏性液体均适用。

几种特殊情形下的连续性微分方程:

（1）对恒定流，，式 （3.14）可简化为

（2）对不可压缩均质液体，ρ为常数，式（3.14）可简化为

此式适用于三维恒定与非恒定流动。对二维不可压缩液体，不论流动是否恒定，式(3.16)可简化为

3.3.2 总流的连续性方程

在恒定总流中任取一股元流作为控制体，如图3.15所示。液流通过控制面1—1流入控制体，经控制面2—2流出控制体，而控制体的侧面是由流线组成的流管壁面，所以侧面不可能有液体质点流进、流出。控制面1—1处面积为dA1、液体的密度ρ1、流速u1；控制面2—2处面积为dA2、液体的密度ρ2、流速u2。因为液体作恒定流动，根据质量守恒定律，在dt时段内经控制面1—1流进控制体的液体质量和经控制面2—2流出控制体的质量必须相等。即

ρ1u1dA1dt=ρ2u2dA2dt

由于液体是不可压缩连续介质，ρ1=ρ2=ρ，由上式化简得

式（3.18）为恒定不可压缩液体元流的连续性方程。

总流由无数元流组成，将式（3.18）对总流过水断面积分，可得总流的连续性方程，即

式（3.19）为恒定不可压缩液体总流的连续性方程。式中v1及v2分别为总流过水断面1—1及断面2—2的断面平均流速，A1及A2分别为总流过水断面1—1及断面2—2的面积。该式说明，在不可压缩液体恒定总流中，体积流量沿程不变，断面平均流速和过水断面面积成反比，断面大的地方流速小，断面小的地方流速大。

如图3.16（a）、（b）所示，对于有分流或汇流的情况，根据质量守恒定律，总流连续性方程可表示为

连续性方程是水力学三大基本方程之一，是用以解决水力学问题的重要公式。它总结和反映了水流的过水断面面积与断面平均流速沿流程变化的规律性。

【例3.3】 如图3.16（b）所示，输水管道经三通管汇流，已知流量Q1=1.5m3/s，Q3=2.6m3/s，过水断面面积A2=0.2m2，试求断面平均流速v2。

解：流入和流出三通管的流量相等，即

Q1+Q2=Q3

则断面平均流速：