第二节 非线性规划法在网络补偿中的应用

一、非线性规划的基本问题

在网络补偿中所遇到的问题是在满足一定条件下，来寻求最优的补偿容量和最佳补偿位置。寻优的目的是多种多样的，其可以是补偿后所获得的经济效益最大，也可以是网络损耗最小，还可以是所花费的投资最小，这些要求就构成了规划问题的目标。按照目标的要求，根据规划问题的物理情况，可建立其数学模型

maxf（x）或 minf（x）

（221）

式中 f（x）———目标函数；

max，min———极大、极小值。

正如前面所叙述的，规划问题所追求的目标都是有条件的。例如，要满足系统的功率条件，要满足节点的电压条件，要满足企业的资金条件等，这些条件就构成了问题的约束。约束可以是等式约束，也可以是不等式约束，其可以写成

S.T

hgji（（xx））=≥00，，ij==11，，22，，……，，rm}

（222）

其中S.T的意义为约束条件；gi（x）=0为等式约束；hj（x）≥0为不等式约束。

式（221）和式（222）联合起来就构成了非线性规划的基本问题，即追求满足一定约束条件下的最优目标。

例如

maxf（x）=40x1-0.1x21+11x2

S.T

4x1+5x2≤1500 5x1+3x2≤1575 x1+2x2≤420

xj≥0，j=1，2

便是一个非线性规划问题。所谓非线性是指不论是目标函数还是约束条件，只要有一个是非线性函数，则问题便是非线性规划问题。在所论情况下，目标函数f（x）是x的二次函数，因此，该问题是非线性规划问题。该问题只有5个不等式约束，而没有等式约束。后两个约束条件为x1≥0、x2≥0，因为实际问题往往如此，如x1代表补偿容量、x2代表补偿位置，如果其小于0是没有实际意义的。

二、Kwhn-Tacker定理

既然提出了非线性规划问题，则必须要了解构成非线性规划问题所必须满足的条件，以及如何求解非线性规划问题。Kwhn-Tacker定理提出了处理不等式约束条件下非线性规划问题的完整理论。

1.定理的内容若

S.T

gmiin（xf）（x≤0），i=1，2，…，m}

（223）

且f（x）和gi（x）均为可微函数，则定义

m

L（x，λ）=f（x）+∑

λigi（x）

（224）

i=1

假定乘因子λi存在，则在所寻求的最优点x*处必须满足下述条件：

∂g∂（xxj*）+i∑=m1λi*∂g∂（xxj*）=0

╮

j=1，2，…，n

㊣

（225）

gi（x*）≤0，i=1，2，…，mλi*gi（x*）=0

λi*≥

0╯

其中

λ=[λ1，λ2，…，λm]T

G（x）=[g1，g2，…，gm]

以上条件称为Kwhn-Tacker条件，λi称为Kwhn-Tacker因子，这就是定理的内容。

2.定理的证明

（1）Kwhn-Tacker定理在处理非线性规划问题时，首先将不等式约束gi（x）≤0化为等式约束，化解的方法是引入松弛变量Si，即使

Si+gi（x）=0，i=1，2，…，m

因为gi（x）≤0，故Si≥0

于是公式（224）变成为x、S、λ的函数，即

m

L（x，S，λ）=f（x）+∑

λi[Si+gi（x）]

（226）

i=1

如果x*是所要寻求的最优点，则式（226）对xj的微分必须满足下述条件：

∂L（x*，S*，λ*）

∂xj

=∂f∂（xxj*）+i∑=m1λi∂g∂ix（xj*）=0

即满足式（225）中的条件（1）。

（2）如果x*是最优点，则公式（226）对λi微分必须满足条件

∂L（x*，S*，λ*）

=Si+gi（x*）=0

∂λi

因为已经Si≥0，故gi（x*）≤0，这就是式（2 2 5）中的条件（2）。（3）将式（224）对Si微分，有

∂L（x*，S*，λ*）

≥0

（227）

∂Si

该微分之所以要不小于0，其原因是假定Si*是最优点，且Si*≥0。

如果Si*=0时，∂L（x*，S*，λ*）

＜0，则当Si＞0时，L（x，S，λ）将更小，因而Si*=0将

∂Si

不是最优点，这与Si*是最优点的假设相矛盾，因此，不等式（227）必须成立。故有

∂L（x*，S*，λ*）

=λi≥0

∂Si

这就是式（225）中的条件（4）。

（4）在Si*=0的边界上有

Si*∂L（x*，S*，λ*）

=0

∂Si

于是

Si*λi*=0

而已知S*i+gi（x*）=0，Si*=-gi（x*），故有

λi*gi（x*）=0

这就是式（225）中的条件（3）。

通过上述说明可知，利用Kwhn-Tacker定理，可将有约束的非线性规划问题，即式（223），化为无约束的非线性规划问题，即式（226）。

三、用惩罚函数来处理等式约束的最优化问题1.惩罚函数的基本思想

前面已经说利用Kwhn-Tacker定理，可以将有约束的非线性规划问题化为无约束的非线性规划问题。而惩罚函数法是一种近似的，但却很有用的求解非线性规划问题的数值解法。其实质是将有约束的非线性规划问题通过选择惩罚因子，变成一系列求惩罚函数的极小值，从而将原始问题转化为求解一系列无约束的极值问题。

惩罚函数的基本思想是建立一个新的目标函数

m

P（x，Mk）=f（x）+∑

Mi[gi（x）]2

（228）

i=1

这个新的目标函数称为惩罚函数，其由两部分组成：第一部分是原目标函数f（x）。

m

第二部分为与约束条件有关的惩罚项∑

Mi[gi（x）]2，其中Mi是对不同约束方程所

i=1

加的权，称为惩罚因子，它是一个很大的正数。

从惩罚项可以看出：当约束条件不满足时，因为[gi（x）]2为正值，所以Mi取值越大，则目标函数P（x，Mk）就越大，因此，当约束不满足时，Mi[gi，（x）]2将是一种惩罚；相

反，当满足约束条件时，[gi，（x）]2=0，这时不管Mi取多大，P（x，Mk）均与f（x）取相同

值，这就是说当满足约束条件时不受惩罚。由此可以看出惩罚因子和惩罚函数的意义。

2.惩罚函数的目的

惩罚函数的目的是建立一个无约束的规划问题，即求惩罚函数P（x，Mk）的无约束极值，意指

m

minP（x，Mk）=min f（x）+Mk∑

{[gi（x）]2}

（229）

i=1

其等价于原函数f（x）在等式约束gi（x）=0条件下的最优化问题。3.惩罚函数的求解方法

设目标函数为f（x），在不等式约束gi（x）≥0（i=1，2，…，m）条件下求极小。

其求解方法可以采用所谓外点法。

（1）外点法用作变换的惩罚函数为

m

P（x，Mk）=f（x）+Mk∑

{min[0，gi（x）]}2

（2210）

i=1

这里，将各约束的加权值Mi取成相同的Mk，而对Mk取

0＜M1＜M2＜…＜Mk＜Mk+1＜…

且

lki→m∞Mk→ ∞

（2）惩罚项中有

min[0，gi（x）]=gi（x）-|gi（x）|

2

={g0i，（当x）g，i当（xg）i＞（x0）＜时0时

（2211）

（3）解题步骤为：

1）取M1＞0，如取M1=1，给定误差ε＞0，令计算次数k=1。

2）求下式

m

P（x，Mk）=f（x）+Mk∑

{min[0，gi（x）]}2

i=1

的最优解X*。

3）检验-gi（x*）≤ε判别式是否满足，

若满足，则得到条件极值的最优解xmin=

x*，否则，取 Mk+1＞Mk，例如 Mk+1=

αMk，α值可取4或5，令k=k+1，转至步骤2）。

（4）算法的程序流程图如图221所示。

四、无功优化的目标函数

图221 惩罚函数外点法解算流程

无功优化的目的是使在加装补偿设备

后，在补偿设备使用的年限内，由于网损减小而节省的运行费用，扣除补偿设备总投资后，所得的效益最大。按照这个要求，可列出电力系统无功补偿的目标函数

maxf（x）=β（PNO-PN）τmaxY

m

-∑

（Qk-QLk）αk

（2212）

k=1

式中 β———电价，元/（MW·h）；

PNO———补偿前系统总功率，MW；PN———补偿后系统总功率，MW；

τmax———全网年最大负荷利用小时数，h；

Y———补偿设备的使用年限，通常为15～20年；

αk———补偿设备单位容量价格，元/kvar；

Qk———补偿前该节点注入无功功率，Mvar；

QLk———补偿后该节点注入无功功率，Mvar；

m———PV节点的个数。

如果将原问题化成非线性规划目标函数的标准形式，则有

m

minf（x）=-β（PNO-PN）τmaxY+∑

αk（Qk-QLk）

（2213）

k=1

五、问题的约束条件1.节点的功率方程式

为了确定补偿前、后节点注入有功、无功功率的情况，必须对系统进行潮流计算。为此，必须建立节点的功率方程式。当系统的导纳矩阵Y为已知时，则系统中各节点的电流可以表示为

I=YV

对第i个节点，有

Ii=∑

YijVj，i=1，2，…，n

（2214）

j∈i

式中 V———系统的电压矩阵；

j∈i———∑号的节点j都必须直接与节点i相连，且包括j=i的情况。节点功率与节点电流之间的关系为

Si=.ViI∧i，i=1，2，…，n

（2215）

式中 I∧i———电流的共轭值。

将式（2214）代入式（2215）后，得

Si=∑

Y∧ijV∧j

（2216）

j∈i

因为

=Viejφi，Yij=gij+jbij，Sj=Pj+jQj

于是，式（2216）可改写成

Si=Pi+jQi=Viejφi∑

（gij-jbij）Vje-jφj

j∈i

=Vi∑

Vj（gij-jbij）（cosφij+jsinφij）

j∈i

其中φij=φi-φj，为i、j两节点电压相角差。

将实部、虚部分开后，有

Pi=Vi∑

Vj（gijcosφij+bijsinφij）

╮

j∈i

Vj（gijsinφij-bijcosφij ㊣

（2217）

Qi=Vi∑

）

╯

j∈i

式（2217）便是节点功率方程的极坐标形式。2.节点有功功率的约束方程式

如果系统总节点数为n，则可列出n-1个独立的节点有功功率方程式，根据式（2

217）可以写成

ΔP1=P1-V1∑

Vj（g1jcosφ1j+b1jsinφ1j）=0

╮

j∈1

ΔP2=P2-V2∑

Vj（g2jcosφ2j+b2jsinφ2j）=0

j∈2

㊣

（2218）

…

ΔPn-1=Pn-1-Vn-1∑

Vj（g（n-1）jcosφ（n-1）j+b（n-1）jsinφ（n-1）j）=

0

╯

j∈n-1

这是n-1个约束条件。3.无功功率约束方程式

如果系统中有m个PV节点，对PV节点来说，Vi是给定的，不再作为变量，而且该节点不能预先给定无功功率Qi，这样，方程式中ΔQi就失去了约束作用，因此，在迭代过程中应取消与PV节点有关的无功功率方程式。同样，由于平衡节点的电压幅值Vi和相角φi都是给定的，因此，与平衡节点有关的方程式也将不参加迭代过程。如此，根

据式（2217）可以写出

ΔQi=Qi-Vi∑

（gijsinφij-bijcosφij）=0

（2219）

j∈i

i=1，2，…，n-1-m

4.其他约束条件（1）电压约束

Vimin＜Vi＜Vimax

（2220）

（2）补偿容量约束

Qimin＜Qi＜Qimax

（2221）

（3）电压相角差约束

0≤|φi-φj|≤Qjmax

（2222）

目标函数加上约束方程，就构成了非线性规划的全部内容。