5.2 有限长迹线块体理论在隧洞围岩安全性评价中的应用

5.2.1 块体理论简介

从20世纪以来基于连续介质基本假设的弹塑性理论因其具有很好的可操作性且能有效借助数学工具而得到了工程人员的青睐。虽然连续介质理论具有许多优点，但是对于被结构面完全切割成不连续的岩体而言，连续介质理论显然不能满足要求，因为非连续介质岩体往往表现为沿着结构面产生滑动或脱离而非连续介质岩块本身的强度破坏。为此，Trollope、Cundall、Goodman和石根华等许多国内外学者开始致力于对非连续岩体力学行为的研究工作，20世纪90年代，在石根华和Goodman教授共同努力研究下，成功建立了用以研究非连续块状岩体的块体理论，并在国内外许多工程中得到成功应用。在岩体较为坚硬的地质条件下，岩体处于复杂的自然环境中，由于岩体内部的组成成分以及受到外部因素的影响不同，使得岩体会出现各种结构面，如节理、裂隙、断层、层理等，这些随机产生的结构面将岩体切割成形状、大小、空间分布各异的非连续体。在未受到外力扰动时，岩体表现为力学平衡，一旦外界开挖扰动就会打破原有的力学平衡，表现为某些块体的失稳滑落，甚至会出现在滑落块体的周围区域形成块体集中滑落区，影响正常工作的开展，将这种由自身失稳以后还会影响邻近块体的稳定性的失稳块体称为关键块体。

块体理论是在拓扑学、集合论和几何学等理论基础上形成的一门综合性交叉学科理论，为便于实际应用，需作如下假设：

（1）所研究区域岩体结构面宏观表征产状可借助相关技术手段获取，且所研究结构面为平面。

（2）认为结构面迹线长为无线长，即完全可以将岩体切割贯通，同时为了避免与连续介质理论混淆，假定被割裂出来的块体具备刚体的性质，即块体不存在变形。

（3）岩体沿着结构面滑动、掉落或者旋转是由于上覆岩体自重、开挖卸荷以及其他外力单独或共同作用引起的。

5.2.2 块体类型及棱锥的定义

5.2.2.1 块体类型

岩体被各类结构面和临空面切割成形状、大小不同的镶嵌块体，从岩体工程稳定性的角度出发对块体科学分类。块体的分类以及对应的5类块体基本形状分别如图5.1和图5.2所示。

图5.1 块体分类示意图

首先给出块体的概念，块体是指岩体被节理、裂隙、断层等各类结构面和人为开挖形成的临空面共同切割所形成的岩石块体总称，亦可称为结构体。如果岩体仅由各类结构面切割，没有被临空面切割，此时形成的块体叫作裂隙块体。

图5.2 块体类型的二维示意图

无限块体表示岩体未被各类结构面和临空面完全切割，还有部分块体与母岩相连，因此该块体在本身强度不发生破坏的情况下不会产生滑动失稳，如图5.2（a）所示。

不可动块体，又称倒楔块体，该种块体与母岩完全割裂开来，但是由于受到周围块体的束缚，无法自行运动，只有周围块体出现运动时，该块体才有可能运动，如图5.2（b）所示。

可动块体是指岩体被各类结构面和临空面完全切割后，形成的块体不受周围块体的束缚，可以沿着一个或多个方向运动。可动块体主要包括稳定块体、可能失稳块体和关键块体。稳定块体是指在外力作用下一直保持稳定的块体，与结构面抗剪强度无关，如图5.2（c）所示。可能失稳块体是指在外力作用下由于结构面抗剪强度足够大而保持不动的块体，如图5.2（d）所示。关键块体是指在外力作用下，结构面抗剪强度较低，无法抵抗滑动力，在不增加工程措施的情况下，该块体即会失稳，如图5.2（e）所示。

5.2.2.2 棱锥的定义

棱锥是经过将空间各结构面和临空面向空间坐标系原点进行平移而形成的以坐标系原点为顶点的一系列的凸多面体。根据棱锥的定义不难发现，为了达到便于数学分析的目的，棱锥不考虑本身的体积特性，而只留存了其形状特性，棱锥分类及定义见表5.1。

由表5.1中各棱锥的定义不难发现棱锥之间存在如下关系：裂隙锥和开挖锥的交集是块体锥，空间锥的补集是开挖锥。

5.2.3 空间块体的数学表示

空间平面方程可表示为

则半空间的表达式为

所以，使式（5.2）成立的所有点的集合构成半空间。

同理，用于描述构成块体的n个半空间数学形式为

将式（5.1）～式（5.3）所表示的平面、半平面空间和空间块体的位置移至坐标原点，则有

经过坐标原点的平面方程可表示为

经过坐标原点的半空间可表示为

将构成空间块体的各半平面空间都向坐标原点平移后形成棱锥，即棱锥就是过原点的各半空间的交集，棱锥表达式为

5.2.4 块体有限性和可动性定理

5.2.4.1 块体有限性定理

空间块体主要以无限块体和有限块体两种形式存在。无限块体并未脱离母岩，故不考虑其稳定性，而有限块体中包括可能失稳的块体，属于重点考虑对象。块体如果发生失稳，则必定属于有限块体，因此需对块体的有限性进行判别，具体判别方法可依据有限性定理。

有限性定理：由n个半空间构成块体并平移各半空间使其经过坐标原点形成棱锥。若棱锥是空集，即平移后无法形成棱锥，则对应块体属于有限块体；反之亦然。用数学语言表述有限性定理为

式中：JP为裂隙锥；EP为开挖锥；SP为空间锥；φ为空集。

5.2.4.2 块体可动性定理

前文已述及，失稳的块体属于有限块体，而属于有限块体的块体却并不一定发生失稳，还需对其可动性进行分析，由此引出可动性定理。

可动性定理：在结构面和临空面构成块体属于有限块体的条件下，如果仅由结构面构成的块体为无限块体时，该块体属于可动块体，反之属于不可动块体。用数学语言表示可动性定理为

5.2.5 块体理论赤平解析法

块体理论赤平解析法作为一种方便实用、精度较高和容易学习掌握的块状岩体稳定性分析方法，将赤平投影法和矢量运算法有效结合起来，发挥各方法的优点，方便在实际工程中的应用，运用该理论进行分析的主要步骤为如下。

（1）假设岩体被n组倾角为αi、倾向为βi的结构面Pi切割，赤平解析方程为

式中：R=1为参考圆半径，满足方程x2+y2=1。

（2）计算结构面Pi与Pj的投影圆交点Nij及其坐标（xij，yij）。

（3）定义集合C对步骤（2）中计算得到的交点进行正负判别。

将式 （5.10）代入式 （5.11）进行正负交点判定。如果成立，则Nij（xij，yij）∈C为正交点；如果成立，则Nij（xij，yij）∈C为负交点。

（4）根据现场结构面和临空面实际数据资料，确定各个结构面和临空面的相交情况并建立可能相交平面的赤平解析方程，判别各投影点与块体锥的位置关系。为此，引入位置参量的概念：

令H（xij，yij）=（xij-Rtanαksinβk）2+（yij-Rtanαkcosβk）2-R2/cos2αk，且（xij，yij）为结构面Pi与Pj的正交点，则有

通过位置参量判别块体锥某界面的上半空间和下半空间的块体锥正交点位置情况，判别如下：

由各位置参量组成位置参量矩阵，假设分析对象的块体符号编号对角矩阵为 [Dn×n]，则

将位置参量矩阵和块体符号编号对角矩阵 [Dn×n]的乘积定义为判断矩阵，表达式为

如果判别矩阵对应正交点Nij（xij，yij）的各行元素均为 “0”或者同时包含 “+1”和 “-1”，则该正交点不是块体的投影点，则与之对应的块体有限且可动；如果各行元素均同时包含 “0”和 “1”或者 “0”和 “-1”，则该正交点是块体的投影点，则与之对应的块体无限不可动。

5.2.6 块体力学稳定性分析

块体理论从几何角度出发对块体的有限性和可动性进行判别，但是仅仅通过块体的有限性和可动性无法确定块体是否为关键块体，还需要对有限且可动的块体进行受力分析。

5.2.6.1 力的平衡方程

图5.3 可动块体受力分析图

假设可动块体受到块体自重、外水压力、惯性力以及锚杆、锚索等外力作用，且外力的主动合力为，图5.3是可动块体受力分析图，对可动块体进行受力分析，则其满足的平衡方程为

式中：为结构面l的单位法向量，方向指向块体内部；为块体的运动方向；F为净滑力，F取正值和负值分别代表块体为关键块体和静止不滑动块体；为滑动面沿着法线方向反作用力的合力；T为滑动面上切向摩擦力的合力，T=；φl为结构面l的内摩擦角。

5.2.6.2 块体的运动模式

（1）块体脱离岩体运动。如果可动块体的各结构面法线方向与运动方向不垂直，此时块体达到平衡状态的条件是

如果块体各结构面法向反作用力为零，即块体自身脱离岩体运动（图5.4），此时应当满足如下关系：

图5.4 块体完全脱离岩体运动图

（2）块体沿单面滑动。如果可动块体某一结构面i的法线方向与运动方向垂直，此时块体达到平衡状态的条件是

式中：为结构面i的单位法向量。

如果块体沿着结构面i滑动，此时块体除结构面i与岩体接触以外，其他各结构面均与岩体分离（图5.5），此时需满足的运动条件是

（3）块体沿双面滑动。如果可动块体沿着双面i、j运动，此时块体达到平衡状态的条件是

式中：的算法同的算法同；分别为结构岩体i、j面上指向结构岩体内的单位法向量。

如果块体沿着结构面i、j滑动，此时块体除结构面i、j与岩体接触以外，其他各结构面均与岩体分离（图5.6），此时需满足的运动条件是

图5.5 块体沿单一结构面的运动图

图5.6 块体沿双面运动图

5.2.7 关键块体安全系数

关键块体安全系数的计算有助于工程人员直观判断块体的稳定状态，对于安全系数低于某一设计值时，可以提前采取支护加固措施，避免出现工程事故。由于块体存在脱离岩体、单面滑动和双面滑动三种运动模式，故关键块体安全系数的计算应从这三个方面入手。

（1）关键块体脱离岩体时的安全系数Fs。块体完全与母岩分离时，块体表面与周围母岩无接触，阻滑力为0，仅仅合力r^作用于该块体，根据安全系数Fs表示块体受到的阻滑力与滑动力的比值，所以安全系数Fs为0。

（2）关键块体沿单面滑动时的安全系数Fs。当块体沿着单面滑动时，结构面的摩擦力阻碍块体滑动，此时安全系数可由式（5.23a）求得

式中：fi为滑动面i的摩擦系数，即fi=tanφi；ci为滑动面i的黏结力；Ai为滑动面i的面积；Ni为合力在滑动面i上沿法线方向的分量，且Ni=；Ti为合力在滑动面i上沿切线方向的分量，且Ti=。

对于仅考虑块体自重以及结构面抗剪强度的问题，安全系数公式（5.23a）可化为

式中：G为可动块体重量；θi、ci、φi和Δi分别为滑动面i的倾角、黏聚力、内摩擦角和滑动面面积。

（3）关键块体沿双面滑动时的安全系数Fs。块体沿双面滑动时安全系数Fs的计算公式为

式中：fj为滑动面j的摩擦系数，即fj=tanφj；cj为滑动面j的黏聚力；Aj为滑动面j的面积；Ni、Nj分别为主动力合力在滑动面i和j上沿法线方向的分量，且满足；Tij为主动力合力在滑动面i和j上沿切线方向的分量，且满足Tij=。

对于仅考虑块体自重以及结构面抗剪强度的问题，安全系数式（5.24a）可化为

式中：α为滑动结构面交线倾角；θi为交线与滑动面si法线夹角；θj为交线与滑动面sj法线的夹角；其余符号含义同上。

5.2.8 块体滑落概率分析及安全系数修正

5.2.8.1 绝对关键块体概率、相对关键块体概率及非关键块体概率的提出

块体理论假设结构面是无线延伸的，但实际节理、裂隙等结构面是有限长的，部分原来的关键块体由于结构面延伸不完全而转化为无限块体。因此，考虑实际结构面迹线长度时形成的关键块体数量与不考虑迹线有限长时的关键块体数量相比会减少。在分析结构面迹线有限长的情况时，结构面迹长分布规律是首要获得的。国外学者Cruden（1977）以及Priset和Hudson（1976，1981）通过分析整理大量结构面迹线统计数据，得出结构面迹长服从近似服从负指数分布规律的结论，概率密度函数为

式中：μ为结构面迹线端点密度，一般用迹长的倒数进行计算。

其累计概率密度为

由概率论知式（5.26）表示结构面长度小于x的概率值。

故结构面长度大于x的概率值F1（x）为

然而，在实际工程中除了迹线长度大于结构面交割形成的棱长情况之外，还有可能存在其他情况，如断续节理相互交割，交点并没有或者不完全处于迹线上，此时延长迹线会产生虚拟交割，虚拟交割形成的块体称为虚拟块体，虚拟块体是与母岩相连的无限块体，但是在一定情况下很有可能转化为关键块体。因此，为了更加贴近实际工程，必须综合研究结构面迹线长度对产生关键块体的影响，本章根据迹线分布规律，在以往“关键块体”概念的基础上进行了修正。

设结构面迹线长度li（m），令两种情况下的棱长均为xi（m），且有μi=1/li，则。

（1）绝对关键块体概率。n组结构面切割岩体形成凸多面块体锥的迹线长度分别大于等于其相应棱长时称为绝对关键块体。显然，对于绝对关键块体而言，各组结构面迹线长度相对于其棱长是“无限”的，即此时结构面完全贯通岩体，可直接构成块体失稳。

由式（5.27）可知，绝对关键块体概率为n组节理面构成块体的各节理面长度大于块体棱长出现的概率的乘积，即

（2）非关键块体概率。n组结构面切割岩体不能形成凸多面块体锥，但是延长每条迹线后能形成凸多面体锥，此时的迹线长度分别小于其相应棱长，此虚拟块体即为非关键块体。对于非关键块体，虽然存在结构面，但是结构面迹线并未贯通岩体。

由式（5.27）可知，非关键块体概率为n组节理面构成虚拟块体的各节理面长度分别小于延长迹线长度后形成块体的棱长的概率乘积，即

（3）相对关键块体概率。n组结构面切割岩体不能形成凸多面块体锥，但是当延长一条或几条迹线长度即可形成凸多面体块体锥，此种情况表示结构面迹线既存在完全贯通，又存在没有贯通的情况，但是在外力作用下很有可能使裂隙二次发育，虚拟块体有可能转化为绝对关键块体。

由式（5.26）和式（5.27），结合概率论的知识可知，相对关键块体概率为绝对关键块体概率和非关键块体概率的补集，即

5.2.8.2 以正三棱锥为例概率分析

为了说明上述式（5.28）～式（5.30）的含义，假定由3组节理切割岩体形成1个三棱锥的关键块体，且节理面的形状为1个等二维的圆盘，为了计算方便，研究的三棱锥取为正三棱锥，即三条棱的长度相等。这样给定1个节理迹线长度（在实际应用中可量测和计算出节理的延伸长度）即可按式（5.28）～式（5.30）计算出不同棱长下的三棱锥块体3种概率，迹线长度取1～50m，棱长取0.5～5.0m，不同迹线长度和棱长条件下块体滑落概率如图5.7所示。

图5.7 不同迹线长度和棱长条件下块体滑落概率

由图5.7（a）可知，当结构面迹线长度一定时，随着块体棱长增加，绝对关键块体概率降低；当棱长为定值时，随着结构面迹线长度的增加，绝对关键块体概率提高。由图5.7（b）可知，当结构面迹线一定时，随着块体棱长的增加，非关键块体概率总体呈增加趋势，但迹线长度越短，非关键块体概率增加幅度越大，迹线长度越长，增加越缓慢。由图5.7（c）可知，当结构面迹线长度一定时，随着块体棱长的增加，相对关键块体概率呈现先提高后减小的趋势。

为了比较迹线和棱长相对大小与3种概率之间的关系，求得迹棱比l/x与3种概率的关系曲线，如图5.8所示。

图5.8 l/x与三种概率的关系曲线

由图5.8可知，随着迹棱比的增加，绝对关键块体概率随之增加，当迹棱比大于等于100时，绝对关键块体概率接近1.0。由此可知，当实际结构面迹线长度与块体棱长的比超过100时，块体理论假设结构面完全切割研究块体才具有合理性；相对关键块体概率随着迹棱比的增加呈先增加后减小的趋势，当迹棱比等于1.5时，相对关键块体概率达到最大值0.75；同理，随着迹棱比的增加，非关键块体的概率急剧降低，当迹棱比等于7.5时，非关键块体概率几乎为0。

5.2.8.3 基于绝对关键块体滑落概率的修正安全系数

为了比较结构面无限长与有线长形成关键块体稳定性的不同，给出修正安全系数的概念，即将假设结构面无限延伸时求得的关键块体安全系数η与考虑有线长结构面绝对关键块体滑落概率P1的比值定义为修正安全系数ξ：

5.2.9 实例分析

5.2.9.1 地质概况

布仑口-公格尔水电站引水隧洞3号标段长2925m，洞型为城门洞形，尺寸为4.60m×5.23m（宽×高），直墙高3.78m，拱顶半径2.55m，为便于计算，对圆拱进行简化（图5.9）。主要发育2组节理：J1：65°SE∠72°，J2：80°NW∠80°。该段断层发育，有F13、F14、F15、F17、F18、F20、F21、F22、F24等，规模大小不一，破碎带宽0.15～3.80m，其中F22为层间错动带，厚45cm，鉴于其厚度较大，且内摩擦角和黏聚力较小，在隧洞施工中很有可能沿着层间错动带和其周围小断层、节理形成失稳楔体。在支洞右侧，也有可能存在2条断层与节理交割构成可动块体。结构面和开挖面相关参数见表5.2，隧洞周围岩体结构面分布情况如图5.10所示。

图5.9 隧洞开挖面简图

图5.10 隧洞周围岩体结构面分布情况

5.2.9.2 关键块体安全系数计算

以层间错动带F22、断层F21、节理J1和左拱顶形成的可动块体为例，全空间赤平投影图见图5.11，具体数值见表5.3，代入式（5.9）得赤平解析方程组为

图5.11 节理锥赤平投影示意图

由赤平解析方程组解得结构面交点坐标见表5.4，右上方为正交点，左下方为负交点。

将表5.4中各正交点坐标分别代入式（5.12）中，求得位置参量矩阵［L］为

根据图5.11，以节理锥J1001为例分析，得“块体符号编号对角矩阵”［D］为

故判断矩阵［T］可表示为

通过对块体的判别矩阵［T］进行分析，不难发现相应正交点Nij（xij，yij）的各行元素均含有“+1”和“-1”，各正交点不是该块体的投影点，则该BP为空集，即相应的块体有限且可动。

将表5.3中结构面几何参数数据代入结构面方程Aix+Biy+Ciz=Di（i为结构面编号）中，即

解得关键块体顶点坐标为：A（-1.455，1.084，4.476），B（2.910，-6.867，5.449），C（-5.124，-0.729，5.713），D（-1.969，1.471，2.267），关键块体示意图见图5.12。

因为任何凸多面体都可以看成由四面体组合而成，而根据数学知识，四面体的体积为

由式（5.36）求得该四面体的体积V为13.78m3，则块体重量G即为容重与体积的乘积，计算得G为378.95kN。

根据判断准则式（5.21），计算得=-0.281≤0，=-0.253≤0，故块体沿着结构面F21、F22滑动，而结构面交线矢量为

图5.12 关键块体示意图

根据顶点坐标求得结构面F21、F22滑动面积分别为Δ1=11.97m2，Δ2=3.78m2。由可求得滑动结构面交线倾角为

交线与结构面F21的法线n1的夹角：θ1=89.9°，交线与结构面F22的法线n2的夹角：θ2=61.3°，将上述数据代入式（5.24b）求得双面滑动的安全系数Fs：

即在不考虑结构面迹线有限长的条件下求得该关键块体滑落概率为3.145。

5.2.9.3 基于绝对关键块体滑落概率的修正安全系数计算

以层间错动带F22、断层F21、节理J1及左拱顶所形成的关键块体为例进行概率分析，根据关键块体顶点坐标求得棱长分别为：x1=9.12m，x2=4.28m，x3=2.30m。查表5.3知结构面迹线长度分别是l1=40～52m、l2=28～34m、l3=18～30m。由式（5.28）～式（5.30）求得给定棱长条件下、在结构面延伸范围内的绝对关键块体概率P1、非关键块体概率P2以及相对关键块体概率P3，计算结果见表5.5。

从表5.5可知，绝对关键块体概率P1随着迹线长度的增加而增加，由于迹棱比均大于1.5，所以相对关键块体概率P2随着迹线长度的增加而降低，非关键块体概率P3随着迹线长度的增加而降低。

将η=3.145，P1=0.601～0.685代入式（5.31），即修正安全系数为

显然，考虑结构面迹线有限长相当于在原来考虑结构面迹线无限长求得安全系数η的基础上乘以1/P1的安全因子，基于绝对关键块体滑落概率的修正安全系数增幅可达46.0%～66.4%，得到的结果更符合实际，能够客观评价围岩稳定性。