第1章 静力学公理和物体受力分析

1.1 静力学公理

公理1 二力平衡公理

刚体受两个力作用而处于平衡状态的必要和充分条件是：此二力必大小相等，方向相反，且作用在同一条直线上（即此二力等值、反向、共线）。

此公理揭示了作用于刚体上最简单的力系平衡时必满足的条件，也是推论各力系平衡条件的基础。

只受两个力作用而平衡的物体，称为二力体或二力构件。由公理1可知，二力体不论其形状如何，其所受的两个力的作用线，必沿该两力作用点的连线，如图1.1所示，二力表示为F₁=-F₂。

公理2 加减平衡力系原理

在作用于刚体的力系中加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果。

此公理表明平衡力系对刚体不产生外效应，为力系简化的重要理论依据，根据此公理有下面推论。

推论1 力的可传性原理

将作用在刚体上的力沿其作用线任意移动到其作用线的另一点，而不改变它对刚体的作用效应。

证明：如图1.2所示，在刚体上点A处作用有力F，根据加减平衡力系原理，在力的作用线上任取一点B，加上两个互相平衡的力F₁和F₂，使F=F₁=-F₂。由于力F和F₂也是一个平衡力系，故可去除，这样就只剩下一个力F₁，即相当于原来的力F沿其作用线由点A移动到了点B。

注意，公理2和推论1都只适用于刚体。

公理3 力的平行四边形法则

作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力的作用点仍在该点，此合力的大小和方向由此二力为邻边所构成的平行四边形的对角线确定。

如图1.3（a）所示，F_R为F₁和F₂的合力，合力等于两分力的矢量和，即F_R=F₁+F₂。亦可由力的三角形法则来求其合力的大小和方向，如图1.3（b）所示。三角形法则推广到力的多边形法则，即将n个分力F₁，F₂，…，F_n首尾相接，然后合力F_R为由第一个分力矢的始端指向最后一个分力矢末端的有向线段。如图1.3（c）所示，可由力多边形法则求n个共点力的合力。

推论2 三力平衡汇交定理

刚体在三个力作用下平衡，若其中两个力相交于一点，则这三个力必共面且汇交于这一点。

证明：如图1.4所示，在刚体A、B、C三点上分别作用有三个互相平衡的力F₁、F₂、F₃，其中F₁和F₂作用线相交于O点，根据推论1力的可传性，将F₁和F₂移到汇交点O点，然后根据力的平行四边形法则，得到此二力的合力F₁₂。则F₃应和F₁₂平衡。由二力平衡公理，F₃必和F₁₂共线，故F₁、F₂、F₃三力共面，且汇交于同一点O点。

公理4 作用力与反作用力定律

两物体间的相互作用的力总是成对出现，大小相等、方向相反、沿着同一条直线，且分别作用在这两个物体上。

该公理即牛顿第三定律，不但适用于静力学，也适用于动力学。该公理与二力平衡公理的本质区别在于此二力分别作用在两个物体上。如图1.5所示，平面对物块的支持力F_N和物块重力G是一对平衡力，都作用在物块上。平面对物块的支持力和物块对平面的正压力互为作用力和反作用力，分别作用在物块和平面上。

公理5 刚化原理

若变形体在力系作用下处于平衡状态，则将此变形体刚化为刚体时，其平衡状态不变。

该公理建立了刚体平衡和变形体平衡的联系。不过，刚体的平衡条件只是变形体平衡的必要条件，而非充分条件。例如刚体受一对压力可平衡，而绳索受同样压力却不平衡，如图1.6所示。

上述五个公理构成了静力学的基础，静力学的定理和公式都可以用它们来证明和推导。