4.5 二维渗流和流网的应用

达西定律表达的是均匀不可压缩流体的单向渗流过程。应用到工程中，如坝的二维渗流情况，则达西定律可写成

对于不可压缩的流体，连续方程式为

将式（4-29a）代入式（4-29b）则可得到平面稳定渗流基本方程式，即拉普拉斯（Laplace）方程

式中:x、y分别为水平方向和垂直方向的坐标；h为测压管水头或总水头。

水力学中常用一种比较简易的图解法，即流网法，解上述基本方程式，这种方法的解答就是用两簇彼此正交的曲线正方形流网来表示。流网中一簇为等势线，任一条等势线上各点的测压管水位或总水头都在同一水平线上；另一簇为流线，它表示水流流线的方向，两条相邻流线之间称为渗流流槽。根据流线与等势线相交处为直角的原则，流网可通过试凑的方法绘成。图4-17为坝基础、坝体稳定渗流流网示意图。它由和正交的流线和等势线绘成。研究指出，这些各向同性土的正交的曲线方形流网中，任意两相邻等势线间的水头损失相等，即两流槽的渗流量相等。

图4-18为设有板桩墙的地基流网示意图，图中11′、22′为流线，55′、66′为等势线。当流网绘制后，即可根据水力学原理计算各点的水压力、水力梯度、流速和总的渗流量等。

设等势线的间隔数为n_d，上下游总水头差为h，根据水力学原理，相邻等势线的水头差为Δh_i=h/n_d。因为等势线代表的测压管水头为h=z，故地基中任一点的孔隙水压力

任取一网格，沿流线的平均流程为ΔL_i，而沿等势线平均宽度为Δb_i，则各网格水力梯度

各网格所在流槽的渗流量

设n_f为流槽数，可得总渗流量

因为对各向同性土体Δb_i=ΔL_i，则

【例4-2】 图4-18为板桩墙保护的基坑和其排水稳定后的流网图。坑底下土容重γ_sat=20kN/m³，渗透系数k=10^-3cm/s。板桩墙上游水深h₁=4.0m，坑底下透水层8.0m，板桩墙入土深度4.0m。试求：（1）a点的测压水头和孔隙水压力多大?（2）网格或流场1234的水力梯度、平均流速为何?（3）板桩墙地基总渗流流量为何?

解：（1）上、下游水位差h=4m，流场数n_d=10，则相邻等势线间的水位差为Δh_i==0.4m。经过a点的测压管水位，比总水头低Δh_i=0.4m，图4-18指出，该点的测压管水头h_a=h_a″+h_a′，其中h_a″及h_a′分别计算如下

因 h_a″=H-Δh=4.0-0.4=3.6(m)

又从图4-18上量得z=h_a′=3.0m，则a点的测压管水头为

h_a=h_a′+h_a″=3.0+3.6=6.6(m)

按式（4-30）算得a点的孔隙水压力为

u=γ_wh_a=10×6.6=66(kPa)

（2）流场1234的水头损失Δh_i=0.4m，从图4-18上直接量出流场1234的平均流程为ΔL_i=4.0m，则按式（4-31）得水力梯度i_i为

按式（4-32a）得平均流速V_i为

（3）地基土中总渗流流量Q按式（4-32b），当流槽数n_f=5时，得出

【例4-3】 资料同［例4-2］，试求：（1）地基中a点的测压管水头；（2）a点的孔隙水压力；（3）a点处有效应力。

解：（1）根据［例4-2］计算得出相邻等势线间的水位差Δh=0.4m，故a点测压管水位比上游自由面水位应低Δh=0.4m，图4-18指出，该点的测压管水头h_a=。其中分别计算如下

因

又从图4-18上量得=3.0m。则a点测压管水头应为

（2）a点孔隙水压力按式（4-30）得出

u_a=γ_wh_a=10×6.6=66（kN/m²）=66kPa

（3）a点的有效应力按式（4-17a）得出

σ′=γ′L+γ_wh=(γ_sat-γ_w)L+γ_wh

=（20-10）×3+10×0.4=34（kN/m²）=34kPa

【例4-4】 资料同［例4-2］。试求：（1）网络1234的平均渗流力和总渗流力；（2）地面1、2两点处是否发生流土，抵抗流土的安全系数。

解：（1）从图4-18上直接量得流场1234的平均流程ΔL=4.0m，而任何一流场水头损失为Δh=0.4m。则按式（4-24）求其平均渗流力为

总渗流力为

J=jΔLΔb×1=1×4×3.5×1=14(kN)

（2）按式（4-26b）计算流土的临界梯度为

从前面已得出实际出逸梯度为i=0.1<i_cr，故按照规范指出，在没有反滤层保护时，坝体、坝基渗透逸出梯度应小于材料的允许渗透梯度，渗流出逸处1、2不会发生流土，其抵抗流土的安全系数为