任务1.2 测量学基本知识
1.2.1 地球的形状和大小
地球的自然表面是很不规则的，其上有高山、深谷、丘陵、平原、江湖、海洋等，最高的珠穆朗玛峰高出海平面8844.43m，最深的太平洋马里亚纳海沟低于海平面11022m，其相对高差不足20km，与地球6371km的平均半径相比，是微不足道的；就整个地球表面而言，陆地面积约占29%，而海洋面积约占71%。因此，我们可以设想地球的整体形状是被海水所包围的球体，即设想将一静止的海洋面扩展延伸，使其穿过大陆和岛屿，形成一个封闭的曲面，如图1.2所示。静止的海水面称作水准面。由于海水受潮汐风浪等影响而时高时低，故水准面有无穷多个，其中与平均海水面相吻合的水准面称作大地水准面。由大地水准面所包围的形体称为大地体，通常用大地体来代表地球的真实形状和大小。
图1.2 地球自然表面
水准面的特性是处处与铅垂线相垂直。同一水准面上各点的重力位相等，故又将水准面称为重力等位面，它具有几何意义及物理意义。水准面和铅垂线就是实际测量工作所依据的面和线。由于地球内部质量分布不均匀，致使地面上各点的铅垂线方向产生不规则变化，所以，大地水准面是一个不规则的无法用数学式表述的曲面，在这样的面上是无法进行测量数据的计算及处理的。因此，人们进一步设想，用一个与大地体非常接近且又能用数学式表述的规则球体即旋转椭球体来代表地球的形状，如图1.3所示，它是由椭圆NESW绕短轴NS旋转而成。旋转椭球体的形状和大小由椭球基本元素确定［式（1.1）］：
图1.3 旋转椭球体
式中 α——扁率；
a——长半轴；
b——短半轴。
某一国家或地区为处理测量成果而采用与大地体的形状大小最接近，又适合本国或本地区要求的旋转椭球，这样的椭球体称为参考椭球体。确定参考椭球体与大地体之间的相对位置关系，称为椭球体定位。参考椭球体面只具有几何意义而无物理意义，它是严格意义上的测量计算基准面。
几个世纪以来，许多学者分别测算出了许多椭球体元素值，表1.1列出了几个著名的椭球体。我国的1954年北京坐标系采用的是克拉索夫斯基椭球，1980年国家大地坐标系采用的是1975国际椭球，而全球定位系统（GPS）采用的是WGS-84椭球。
表1.1 地球椭球
由于参考椭球的扁率很小，可将参考椭球简化成圆球，其半径R=（a+a+b）/3=6371（km）。由于地球的半径非常大，在较小的区域内还可以将地球表面简化成平面，将此平面称为水平面。
1.2.2 地面点位置的表示方法
1.2.2.1 地面点的坐标
1.大地坐标
以参考椭球面为基准面，地面点沿椭球面的法线投影在该基准面上的位置，称为该点的大地坐标，用大地经度和大地纬度表示。如图1.4所示，包含地面点P的法线且通过椭球旋转轴的平面称为P的大地子午面。过P点的大地子午面与起始大地子午面所夹的两面角称为P点的大地经度，用L表示，其值分为东经0°～180°和西经0°～180°。过点P的法线与椭球赤道面所夹的线面角称为P点的大地纬度，用B表示，其值分为北纬0°～90°和南纬0°～90°。我国1954年北京坐标系和1980年西安坐标系就是分别依据两个不同的椭球建立的大地坐标系。
图1.4 大地坐标
2.高斯平面直角坐标
当测区范围较大时，要建立平面坐标系，就不能忽略地球曲率的影响，为了解决球面与平面这对矛盾，则必须采用地图投影的方法将球面上的大地坐标转换为平面直角坐标。目前我国采用的是高斯投影，高斯投影是由德国数学家、测量学家高斯提出的一种横轴等角切椭圆柱投影，该投影解决了将椭球面转换为平面的问题。从几何意义上看，就是假设一个椭圆柱横套在地球椭球体外并与椭球面上的某一条子午线相切，这条相切的子午线称为中央子午线。假想在椭球体中心放置一个光源，通过光线将椭球面上一定范围内的物象映射到椭圆柱的内表面上，然后将椭圆柱面沿一条母线剪开并展成平面，即获得投影后的平面图形，如图1.5（a）所示。该投影的经纬线图形有以下特点：
（1）投影后的中央子午线为直线，无长度变化。其余的经线投影为凹向中央子午线的对称曲线，长度较球面上的相应经线略长。
（2）赤道的投影也为一直线，并与中央子午线正交。其余的纬线投影为凸向赤道的对称曲线。
（3）经纬线投影后仍然保持相互垂直的关系，说明投影后的角度无变形。
图1.5 高斯投影示意
高斯投影没有角度变形，但有长度变形和面积变形，离中央子午线越远，变形就越大，为了对变形加以控制，测量中采用限制投影区域的办法，即将投影区域限制在中央子午线两侧一定的范围，这就是所谓的分带投影，如图1.5（b）所示。
投影带一般分为6°带和3°带两种，如图1.6所示。
图1.6 6°带和3°带投影
6°带投影是从英国格林尼治起始子午线开始，自西向东，每隔经差6°分为一带，将地球分成60个带，其编号分别为1、2、…、60。每带的中央子午线经度Ln可用下式计算：
式中 n——6°带的带号。
6°带的最大变形在赤道与投影带最外一条经线的交点上，长度变形为0.14%，面积变形为0.27%。
3°投影带是在6°带的基础上划分的，每3°为一带，共120带，其中央子午线在奇数带时与6°带中央子午线重合，每带的中央子午线经度L3可用下式计算：
式中 n′——3°带的带号。
3°带的边缘最大变形现缩小为长度0.04%，面积0.14%。
我国领土位于东经72°～136°之间，共包括了11个6°投影带（13～23带），22个3°投影带（24～45带）。成都位于6°带的第18带，中央子午线经度为105°。
通过高斯投影，将中央子午线的投影作为纵坐标轴，用x表示，将赤道的投影作为横坐标轴，用y表示，两轴的交点作为坐标原点，由此构成的平面直角坐标系称为高斯平面直角坐标系，如图1.7所示。对应于每一个投影带，就有一个独立的高斯平面直角坐标系，区分各带坐标系则利用相应投影带的带号。
在每一投影带内，y坐标值有正有负，计算和使用均不方便，为了使y坐标都为正值，故将纵坐标轴向西平移500km（半个投影带的最大宽度不超过500km），并在y坐标前加上投影带的带号。如图1.7中的A点位于18投影带，其自然坐标为x=3395451m， y=-82261m，它在18带中的高斯通用坐标则为X=3395451m，Y=18417739m。
图1.7 高斯平面直角坐标系
我国1954年北京坐标系和1980年西安坐标系就是用高斯通用坐标表示地面点的位置。
3.独立测区的平面直角坐标
当测区的范围较小时，可将测区范围内的水准面用水平面来代替，在此水平面上选定一点O作为坐标原点而建立平面直角坐标系统。坐标原点选在测区的西南角，以避免坐标出现负值；纵轴为x，表示南北方向，向北为正，向南为负；横轴为y，表示东西方向，向东为正，向西为负；象限按顺时针方向排列，如图1.8所示。
图1.8 数学上的平面直角坐标系
图1.9 测量上的平面直角坐标系
4.测量上的平面直角坐标系与数学上的平面直角坐标系的异同点
测量上的平面直角坐标系（图1.9）与数学上的平面直角坐标系相比，不同点是：①测量上取南北方向为纵轴（x轴）、东西方向为横轴（y轴）；②角度方向顺时针度量，象限顺时针排列；相同点是数学中的三角公式在测量计算中可直接应用。
1.2.2.2 地面点的高程
1.绝对高程
地面任一点沿铅垂线方向到大地水准面的距离称为该点的绝对高程或海拔，简称高程，用H表示。如图1.10所示，图中的HA、HB分别表示地面上A、B两点的高程。
图1.10 绝对高程
我国采用的绝对高程系统有：
（1）1956年黄海高程系统（1959年开始采用）：以青岛验潮站1950—1956年7年间的验潮资料推求的黄海平均海水面作为我国的高程基准面，称为“1956年黄海平均高程面”，以此建立的高程系称为“1956黄海高程系”，其水准原点高程为72.289m。
（2）1985年国家高程基准（1988年开始采用，目前我国统一采用）：海洋潮汐长期变化周期为18.6年，根据青岛验潮站1952—1979年中19年的验潮资料推求的黄海平均海水面作为全国高程基准面，称为1985国家高程基准。水准原点的高程为72.260m，如图1.11所示。
图1.11 1985国家高程基准示意图
水准原点：为了维护平均海水面的高程，必须设立与验潮站相联系的水准点作为高程起算点，这个水准点称为水准原点。水准原点是全国高程的起算点，建在青岛市观象山。
1975年，中国首次对珠穆朗玛峰的高程进行了测量，算得珠峰峰顶岩石面的1956年黄海高程系高程为8848.13m，雪层厚度0.92m。2005年5月我国再次对珠穆朗玛峰的高程进行了精确测量，算得珠峰峰顶岩石面的1985年国家高程基准高程为8844.43m，雪层厚度3.50m。
2.相对高程
当测区附近暂没有国家高程点可联测时，也可临时假定一个水准面作为该区的高程起算面。地面点沿铅垂线至假定水准面的距离，称为该点的相对高程或假定高程。图1.10中H′A、H′B分别为地面上A、B两点的假定高程。
地面上两点的高程之差称为高差，用h表示，例如，A点至B点的高差可表示为
由上式可知，高差有正有负，并用下标注明其方向；两点的绝对高程差与相对高程差相等。
1.2.3 测量的基本工作和基本原则
1.2.3.1 测量的基本工作
确定地面点的位置是测量工作的重要内容，由上述内容可知，测量工作中地面点的位置就是用地面点的坐标和高程确定。我们把地面点的坐标（x，y）以及高程H称为地面点的三维坐标。所以，地面点位置的确定就是测量地面点三维坐标的工作。
如图1.12所示，A、B、C、D、E为地面上高低不同的一系列点，构成空间多边形ABCDE，图下方为水平面。从A、B、C、D、E分别向水平面作铅垂线，这些垂线的垂足在水平面上构成多边形abcde，水平面上各点就是空间相应各点的正射投影；水平面上多边形的各边就是各空间斜边的正射投影；水平面上的角就是包含空间两斜边的两面角在水平面上的投影。地形图就是将地面点正射投影到水平面上后再按一定的比例尺缩绘至图纸上而成的。由此看出，地形图上各点之间的相对位置是由水平距离（D）、水平角 （β）和高差 （h）决定的，若已知其中一点的坐标 （x，y）和过该点的标准方向及该点高程H，则可借助D、β和h将其他点的坐标和高程算出。因此，欲确定地面点的三维坐标，要测量的基本要素有距离 （水平距离或斜距）、角度 （水平角和竖直角）、高差以及直线的方向。
图1.12 测量的基本工作
习惯上将距离、角度和高差称作确定地面位置的三要素，而将距离测量、角度测量和高程测量称作三项基本测量工作。除此之外，直线定向也是测量当中一项重要的工作。
1.2.3.2 测量工作的基本原则
在测量布局上，应遵循“从整体到局部”的原则；在测量精度上，应遵循“由高级到低级”的原则；在测量次序上，应遵循“先控制后碎部”的原则；在测量过程中，应遵循“步步检核、杜绝错误”的原则。
测量工作最重要的任务之一就是测绘地形图，测绘地形图必须遵循以上测量工作原则。首先，在测区内选择一系列起控制作用的点，将它们的平面位置和高程精确地测量计算出来，这些点被称作控制点，由控制点构成的几何图形称作控制网；其次，以这些控制点为基础，采用稍低精度的方法，分别测量出各自周围的碎部点（地物点和地貌点）的平面位置和高程；最后按照正射投影方法，依一定的比例尺，应用图式符号和注记缩绘成地形图。在每一步测量工作中，随时检查，避免错误。
如图1.13 所示，多边形ABCDEF 就是该测区的控制网，地形图就是在此基础上测绘而成的。
1.2.4 水准面曲率对测量观测值的影响
图1.13 地形图测绘
在小区域进行测量工作，可以用水平面代替水准面，这为地形测量工作带来了极大的方便。用水平面代替水准面，水准面曲率对测量观测值产生一定的影响，测量范围越大，影响就越大，只有当测区范围很小，水准面曲率影响未超过测量和制图的容许误差且可以忽略不计时，才可以把大地水准面看作水平面。下面从水准面曲率对水平距离、水平角和高程三方面的影响进行分析，从而确定在什么样的范围内可以用水平面代替水准面。
1.2.4.1 水准面曲率对距离的影响
如图1.14所示，地面上A、B两点在大地水准面上的投影点是a、b，用过a点的水平面代替大地水准面，则B点在水平面上的投影为b′。以水平长度D′代替弧长D所产生的误差ΔD为
式中 D——ab的弧长；
D′——ab′的长度；
图1.14 用水平面代替水准面的影响
R——球面半径；
θ——D所对应的圆心角。
将tanθ用级数展开，并取前两项，得到
又因
，则
取地球半径R=6371km，并以不同的距离D值代入式（1.7）和式（1.8），则可求出距离误差ΔD和相对误差ΔD/D，见表1.2。
表1.2 水平面代替水准面的距离误差和相对误差
由表1.2可知，距离为10km时产生的相对误差为1/122万，小于目前最精密测距的允许误差1/100万。所以，在半径为10km的范围内进行距离测量时，可以用水平面代替水准面，而不必考虑水准面曲率对距离的影响。在精度要求不高的测量工作中，半径可以扩大到20km。
1.2.4.2 水准面曲率对水平角的影响
从球面三角学可知，同一空间多边形在球面上投影的各内角和，比在平面上投影的各内角和大一个球面角超值ε。
式中 ε——球面角超值，（″）；
P——球面多边形的面积，km2；
R——地球半径，km；
ρ——1弧度的秒值，ρ=206265″。
以不同的面积P值代入式（1.9），可求出球面角超值，见表1.3。
表1.3 水平面代替水准面的水平角误差
由表1.3可知，当面积P在100km2以内，进行水平角测量时，可以用水平面代替水准面，不必考虑水准面曲率对水平角的影响。
1.2.4.3 水准面曲率对高程的影响
如图1.14所示，地面点B的绝对高程为HB，用水平面代替水准面后，B点的高程为H′B，HB与H′B的差值，即为水平面代替水准面产生的高程误差，用Δh表示，则
上式中，可以用D代替D′，相对于2R很小，可略去不计，则
以不同的距离D值代入式（1.12），可求出相应的高程误差Δh，见表1.4。
表1.4 水平面代替水准面的高程误差Δh
由表1.4可知，用水平面代替水准面，对高程的影响是很大的，因此，在进行高程测量时，即使距离很短，也应顾及水准面曲率对高程的影响。