2.8 在重力与惯性力同时作用下液体的相对平衡

以上讨论的是只有重力作用下液体的平衡，即液体相对于地球处于静止状态。现在研究在重力与惯性力同时作用下液体的相对平衡。这种平衡是指液体相对于地球来讲是运动的，但液体质点之间及液体与边界之间没有相对运动。这种情况下，液体内各处的切应力也为零，液体处于相对静止或相对平衡状态。例如，盛有液体的容器，相对于地球作匀加速直线运动或绕铅直轴作匀速旋转运动等，都是处于相对平衡（或称相对静止）状态的。

2.8.1 匀加速直线运动容器中的静止液体

如图2.8.1所示，设一盛有液体的容器沿与水平面成θ角的斜坡以等加速度a向下作直线运动。液体质点间无相对运动，取坐标系如图2.8.1所示，原点位于液面中点，取x轴水平向右，z轴铅垂向上。根据达朗伯原理，液体除受重力外，还受惯性力作用。单位质量惯性力的大小与物体运动加速度相等但方向相反。故单位质量的惯性力在三个轴方向上的分量为

图2.8.1

将式（2.8.1）代入全微分方程式（2.2.3）得

dp=ρ^[acosθdx+(asinθ-g)dz]

对上式积分得

p=ρ^[acosθ·x+(asinθ-g)z]+C

式中C为常数，可利用下述边界条件确定：

故

C=p₀

于是得

式中：p₀为容器内液面压强。

式（2.8.2）为液体内任一点的压强表达式。对上式分析可以得出，当x为常数x₀时，同一铅垂线上各点的压强分布规律为

由式（2.8.3）可见，压强沿水深呈线性分布。

现将式（2.8.1）代入等压面方程式（2.2.8）中可得到

令dz/dx=tanβ，则

式（2.8.4）为等压面的斜率方程，可见等压面是一族与水平面成β角的平行平面。

当θ=0°时，tanβ=a/g；当θ=90°时，tanβ=0，即当容器在铅垂方向上作匀加速运动时，等压面为水平面。

2.8.2 绕中心轴作旋转运动的容器内的静止液体

如图2.8.2所示，盛有液体的容器绕铅垂轴以等角速度作旋转运动，形成图示状况的相对平衡。此时液体受重力与离心惯性力的作用。取坐标系如图2.8.2所示。单位质量的质量力在三个轴方向的分量可表示如下：

图2.8.2

将式（2.8.5）代入液体平衡全微分方程式（2.2.3）得

dp=ρ⁽ω²xdx+ω²ydy-gdz)

对上式积分得

式中r²=x²+y²，积分常数C可用下列条件确定。在x=0，y=0，z=0处p=p₀，故C=p₀代入上式得

由式（2.8.6）可见，在同一铅垂面上，压强沿水深呈线性分布。

当p=p_c，p_c为常数时，可得匀速圆周运动等压面方程式为

当p_c=p₀=p_a时，可得自由表面方程为

由式（2.8.7）、式（2.8.8）可见，等压面与自由表面均为旋转抛物面。

【例2.8.1】 一洒水车以匀加速度在水平道路上行驶，行驶中测得车箱后缘A点的压强为p_A=17.64kN/m²，求此时车内水面的斜率与加速度a的大小。已知车长3.0m，宽1.5m，高2.0m，车未开动时车内水深为1.2m，车箱为开敞式。

解：由题义知，液面为大气压强。将p_A=17.64kN/m²代入下式

p_A=ρgh_A=9.8h_A

求得

设坐标系如图2.8.3所示。由几何关系得

又由式（2.2.8），注意到θ=0°，则

由此解得

a=0.4g=3.92(m/s²)

图2.8.3

图2.8.4

【例2.8.2】 如图2.8.4所示的圆柱形容器，其半径为0.15m，当旋转角速度ω=21rad/s时，液面中心恰好触底，试求：（1）若使容器中水旋转时不会溢出，容器高度需要多少？（2）容器停止旋转后，容器中的水深为多少？

解：建立如图2.8.4所示的坐标系。由公式

可得

欲求容器内水深的问题，即是求旋转抛物体V的体积问题。由解析几何可知：

故水深为）=21²×0.15²/（4×9.8）=0.25（m）