2.5 作用在平面上的静水总压力

在水利、土木、市政与环境工程中，常遇到水池、水箱和闸门等，它们可能由各种形状的平面所组成。确定这些平面上静水总压力的大小、方向和合力作用点是工程上必须解决的水力学问题，其方法有图算法与解析法两种。

2.5.1 图算法

对于矩形平面，图算法往往比较直观也很方便。求矩形平面上静水总压力的大小和作用点，实质上是求平行力系的合力问题。

现取高a、宽b的铅直矩形平板如图2.5.1所示，作用在平板上的静水总压力的大小为

式中：A_P为压强分布图的面积（图中箭头线所示）。

图2.5.1

根据不同情况，矩形平面上压强分布图可能为梯形、矩形、三角形，其相应静水压力的大小及作用点见表2.5.1。

2.5.2 解析法

对于任意形状平面，因形状复杂，不能简单地用压强分布图求合力，需要用解析法来确定静水总压力的大小和作用点。

设一平面AB承受水压力，如图2.5.2所示，在坐标平面xOy内，平面AB与水平面的夹角为θ，其面积为A，右侧承受水的作用，左侧有大气压力作用，水面上也作用着大气压，故只需计算相对压强引起的总压力。图中xOy平面与水平面的交线为Ox。

图2.5.2

在AB平面内取任一微小面积dA，其中心点在水面以下的深度为h。作用在dA上的压力为

dP=pdA=γhdA

其作用方向与dA的内法线方向一致。

作用在全部受压面A上的总压力大小为

式中：∫_AydA为受压面A对Ox轴的静面矩，若设受压面的形心坐标为y_c，则∫_AydA=y_cA。

所以

式中：h_c为受压面形心在水面下的深度；p_c为受压面形心处的相对压强。

总压力P的作用点D的位置可应用理论力学中“合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩之代数和”求出。对Ox轴取力矩：

根据平行移轴定理

式中：I_x为绕Ox轴的惯性矩；I_c为绕形心轴的惯性矩。

所以

比较式（2.5.2）与式（2.5.3）得

由此可见

y_D≥y_C

当受压面水平时，y_D=y_C。一般来说作用点D在形心C点之下。

常见图形的面积A、形心坐标y_C以及惯性矩I_C列于表2.5.2。

【例2.5.1】 在一城市给水系统输水渠道中，有一平板矩形闸门，如图2.5.3所示。闸门宽度b=0.8m，闸门前水深h=1.5m，试求作用在闸门上的静水总压力及其作用点。

图2.5.3

由式 P=p_cA=γh_cA 可得

P=9.8×0.75×1.2=8.82(kN)

求作用点的位置h_D：

这里 h_D=y_D，h_C=y_C

故

式中

【例2.5.2】 求如图2.5.4所示闸门逆时针打开时z的最小值。闸门为圆形，直径D=1m（压力计的读数为2.94N/cm²）。

图2.5.4

解：闸门经受的水压力为

闸门所受的气压为

静水压力作用点距水面的距离y_D为

作用点到O的距离

力对O取矩

所以