第三节 点、直线和平面的投影
一、点的投影
（一）点的位置和坐标
空间点的位置，可用直角坐标值来确定，一般书写形式为A（x,y,z），A表示空间点;x坐标表示空间点A到W面的距离；y坐标表示了空间点A到V面的距离；z坐标表示空间点A到H面的距离。
（二）点的三面投影
为了统一起见，规定空间点，如A、B、C等其水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正面投影用相应的小写字母加撇表示，如a′、b′、c′等；侧立面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″等。
如图2-13（a）所示，过A点分别向三个投影面上作投影线，在三个面上分别得到相应的垂足a′、a、a″。
a′称为点A的正立面投影，位置由坐标 （x、z）决定，它反映了点A到 W、H两个投影面的距离。
图2-13 点的三面投影
a称为点A的水平面投影，位置由坐标（x、y）决定，它反映了点A到W、V两个投影面的距离。
a″称为点A的侧立面投影，位置由坐标（y、z）决定，它反映了点A到V、H两个投影面的距离。
（三）点的投影规律
按照规定，将三个投影面展平，得到点A的三面投影图，如图2-13（b）所示。分析得出点的三面投影规律：
点的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴，即a a′⊥OX（长对正）。
点的V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ（高平齐）。
点的H面投影至OX轴的距离等于点的W面投影至OZ轴的距离，即aax=a″az（宽相等），实际作图中用45°辅助线作宽相等。
【例2-2】 如图2-14所示，已知点A的两个投影a和a′，求a″。
图2-14 已知点的两投影求第三投影
【分析】 由于点的两个投影反映了该点的三个坐标，可以确定改点的空间位置。因而应用点的投影规律，可以根据点的任意两个投影求出第三个投影。
【作图步骤】 （1）过a′向右作水平线，过O点画45°斜线。
（2）过a作水平线与45°斜线相交，并由交点向上引铅垂线，与过a′的水平线的交点即为所求点a″。
（四）两点之间的相对位置关系
分析两点的同面投影之间的坐标大小，可以判断空间两点的相对位置。X坐标值的大小可以判断两点的左右位置，Z坐标值的大小可以判断两点的上下位置，Y坐标值的大小可以判断两点的前后位置。如图2-15所示，A点Z坐标值大于B点Z坐标值，所以A点在B点上方；A点X坐标值大于B点X坐标值,所以A点在B点左方; A点Y坐标值小于B点Y坐标值，所以A点在B点后方。
图2-15 两点的空间位置
当空间两点位于同一投影线上，它们在该投影面上的投影重合为一点，这两点称为该投影面的重影点。如图2-16所示的A、B两点处在H面的同一投影线上，它们的水平投影a和b重合为一点，空间点A、B称为水平投影面的重影点。
图2-16 重影点
重影点可见性的判别，一般根据（x,y,z）三个坐标值中不相同的那个坐标值来判断，其中坐标值大的点投影可见。制图标准规定在不可见的点的投影上加圆括号。如图2-16所示，A点的z坐标值大于B点的z坐标值，可知A点在B点上方，B点为不可见点，其水平投影应加括号。
二、直线的投影
两点确定一条直线。绘制直线段的投影，可先绘制直线段两端点的投影，然后用粗实线将各同面投影连接为直线即可，如图2-17所示。
图2-17 直线的投影
（一）空间各种位置的直线的投影特性
在三面投影体系中，直线按所处空间位置的不同分为三类：投影面平行线、投影面垂直线、一般位置直线。
1.投影面平行线
平行于一个投影面、倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。与H面平行的直线称为水平线，与V面平行的直线称为正平线，与W面平行的直线称为侧平线。它们的投影及特性见表2-1。规定直线与H、V、W面的夹角分别用α、β、γ表示。
表2-1 投影面平行线
投影面平行线的投影共性为：直线在所平行的投影面上的投影为一斜线，反映实长，并反映直线与其他两投影面的倾角。其余两投影小于实长，且平行于相应两投影轴。
2.投影面垂直线
与投影面垂直的直线称为投影面垂直线，它与一个投影面垂直，与另外两个投影面平行。与H面垂直的直线称为铅垂线，与V面垂直的直线称为正垂线，与W面垂直的直线称为侧垂线。投影面垂直线的投影及特性见表2-2。
表2-2 投影面垂直线的投影及特性
投影面垂直线的投影共性为：直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点，其他两投影反映实长，且垂直于相应的两投影轴。
3.一般位置直线
一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的夹角，如图2-18所示。
图2-18 一般位置直线
（二）直线上点的投影特性
1.从属性
直线上点的投影必在该直线的同面投影上，该特性称为点的从属性。如图2-19所示，C点在直线AB上，根据点在直线上投影的从属性和点的三面投影规律，可知C点的三面投影c、c′、c″分别在直线的同面投影ab、a′b′、a″b″上，并且三面投影符合点的投影规律。
图2-19 点的从属性
2.定比性
直线上的点分割直线之比，投影后保持不变，这个特性称为定比性，如图2-20所示。
图2-20 定比性
（三）空间两直线的相对位置
1.两直线平行
空间中的两条直线如果平行，则它们的同面投影都平行。如果两直线有一个投影面上的投影不平行，则空间中的两直线不是平行关系，如图2-21所示。
2.两直线相交
空间中的两条直线如果相交，则它们的同面投影都相交，并且交点符合点的投影规律。如果两直线有一个投影面的投影不相交，则空间的两直线不是相交关系,如图2-22所示。
3.两直线交叉
空间中两条直线如果交叉，则它们的同面投影既不相交又不平行，如图2-23所示。
图2-21 两直线平行
图2-22 两直线相交
图2-23 两直线交叉
三、平面的投影
（一）平面的表示法
（1）不在同一直线上的三个点，如图2-24（a）所示。
（2）直线和直线外一点，如图2-24（b）所示。
（3）两条相交直线，如图2-24（c）所示。
图2-24 平面的表示
（4）两条平行直线，如图2-24（d）所示。
（5）任意平面图形，如图2-24（e）所示。
（二）空间各种位置平面的投影特性
平面与投影面的相对位置可分为三种：投影面的平行面、投影面的垂直面和一般位置平面。
1.投影面的平行面
平行于一个投影面的平面，称为投影面的平行面。投影面的平行面有三种情况：与V面平行的平面称为正平面，与H面平行的平面称为水平面，与W面平行的平面称为侧平面。它们的空间位置、投影图和投影特性见表2-3。
表2-3 投影面平行面的投影特性
投影面平行面的投影共性为：平面在所平行的投影面上的投影反映真实形体，其他两面投影都积聚成与相应投影轴平行的直线。
2.投影面的垂直面
垂直于一个投影面，倾斜于其他两投影面的平面称为投影面的垂直面。投影面的垂直面有三种情况：与H面垂直的平面称为铅垂面，与V面垂直的平面称为正垂面，与W面垂直的平面称为侧垂面。它们的空间位置、投影图与投影特性见表2-4。
表2-4 投影面垂直面的投影特性
投影面垂直面的投影共性为：平面在所垂直的投影面上的投影积聚为直线，其他两面投影为类似形。
3.一般位置平面
一般位置平面与三个投影面都倾斜，如图2-25所示。因此，在三个投影面上的投影都不反映实形，而是缩小的类似形。
图2-25 一般位置平面
（三）平面上的点和直线
1.平面内的点
点在平面内的几何条件是：点在平面内，则该点必在平面的某一直线上。
在平面内取点，当点所处的平面投影具有积聚性时，可利用积聚性直接求出点的各面投影；当点所处的平面为一般位置平面时，应先在平面上作一条辅助直线，然后利用辅助直线的投影求得点的投影。
【例2-3】 如图2-26所示，K点在△ABC所确定的平面内，已知k′，求K点的水平投影。
图2-26 求平面内点的投影
【分析】 既然K点在△ABC所确定的平面内，则K点必在该平面内的一条直线上，该直线的正面投影必通过k′点，所以k点必在该直线的水平投影上。
【作图步骤】 （1）如图2-26（b）所示，连a′k′交b′c′于1′点，由1′作X轴垂线与水平投影bc交于1点，连接a1并延长。
（2）由k′作X轴垂线与水平投影a1的延长线交于k点，该点即为平面内K点的水平投影。
2.平面内的直线
直线在平面内的几何条件是：直线在平面上，则必通过该平面上的两点，或者通过平面内的一点且平行于平面上的已知直线，如图2-27所示。
图2-27 平面内的直线
3.平面内的投影面平行线
平面内的投影面平行线有三种：平面内平行于H面的直线称为平面内的水平线,平行于V面的直线称为平面内的正平线，平行于W面的直线称为平面内的侧平线。
平面内的投影面平行线，既符合直线在平面内的几何条件，又具有前述投影面平行线的一切特性。
如图2-28（a）所示，△ABC内的直线AD∥H面，所以AD是△ABC内的水平线，在投影图中a′d′∥OX轴，ad反映实长。
图2-28 平面内的投影面平行线
图2-28中，△ABC平面内的直线BE∥V面，所以BE是△ABC内的正平线。在投影图中be∥OX，b′e′反映实长。