第三节 单一参数和多种参数交流电路

一、纯电阻电路

在实际的交流电路中，只有电阻而无电感和电容的情况是不存在的。但当电流中电阻R所起的作用占主导地位，而电感L和电容C的影响很小，以至于可以忽略不计时，则这个电路就称为“纯电感电路”，白炽灯和电炉等负载组成的电路即属于纯电阻电路。

1.电流和电压的关系

图2-4所示为交流电压加在电阻上的情况。由于交流电压、电流的方向时刻不停的变化，我们应预先规定的参考正方向，在某一瞬间，某一瞬时电流或电压的实际方向与参考正方向相同时，则电流或电压定为正值，反之则为负值。图中箭头所示为电流和电压的假设正方向。

从图2-5的波形图中可以看出：电阻电路中的电流是和电压同相的，其相量图如图2-6所示。从电工原理得知：在交流电通过纯电阻电路时，电流和电压的瞬时值、最大值和有效值之间的关系均符合欧姆定律。有效值的计算式为

式中 I——通过电阻电流的有效值；

U——加在电阻两端电压的有效值；

R——电阻的大小。

2.交流电功率

在直流电路中，功率为电流和电压的乘积。交流电路中电流和电压的大小和方向在不停地变化，因此，电流功率也是一个不停变化的数值，人们将这个电流功率的瞬时值称为“瞬时功率”以小写字母p表示，计算公式为p=ui。

因瞬时功率p随时间而变化，并无实际的意义，工程中常以瞬时功率的平均值表示功率的大小，即瞬时功率在一个周期内的平均值称为“平均功率”常用大写字母“P”表示，计算公式为

交流电通过电阻时的平均功率等于电流和电压有效值的乘积，表明交流电通过电阻时，总是从电源吸取电能而转化为热能、机械能，其功率表明为一个平均速度。通常将该功率称为“有功功率”，国际制单位为瓦（W）。

【例 2-2】有电阻为484Ω的白炽灯，接在220V交流电源上，如图2-7所示，问：①电路中的电流为多少?②灯泡所消耗的功率为多少?若每天点4h，一个月（30天）耗电多少?③画出电流电压的向量图。

解：（1）流过灯泡的电流

（2）负载的有功功率

P=UI=220×0.454=100（W）=0.1 kW

一个月的耗电量

W=Pt=0.1×4×30=12（kW·h）

（3）作向量图。设电压的初相角为零，则电流的初相角亦为零，如图2-8所示。

二、纯电感电路

单交流电通过电感绕组时，除了有电阻阻碍电流通过外，还有电感L存在。当流过电感绕组的电流发生变化时，绕组中的交变磁通要产生自感电动势e_L，起着阻碍电流变化的作用。

如图2-9为纯电感电路，这种情况实际上也是不存在的。为了突出分析电感的作用，暂不考虑其电阻。由电工原理得知e_L=，即自感电动势e_L的大小与电感L的大小和电流的变化速率成正比。

当交流电通过电感L时，L中感生出自感电动势e_L的频率与电源频率相同，其相位比电流滞后90°；而电流较电源也滞后90°（如图2-10所示），其最大值为

E_mL=I_mωL

其中ωL=X_L，俗称电感电抗，简称“感抗”单位Ω。因ω=2πf，所以

同理可以利用最大值两边同除以得到电压的有效值为

纯电感电路的瞬时功率p也按正弦规律变化，其频率为电流频率的两倍，最大值为UI，经数学分析证明，再一个周期内的平均功率为零，说明纯电感不消耗电能。上半周的瞬时功率为正，说明电感向电源吸取能量，变为电感的磁场能；下半周瞬时功率为负，说明磁场中的能量又返回到电源，电感本身并不消耗能量，只是不停地在和电源进行周期性的能量交换。

为了衡量电感和电源之间的能量交换，用瞬时功率最大值来标志能量交换的规模，称为“无功功率”，用大写字母Q_L表示，其值为

为了与有功功率p的单位有所区别，无功功率的国际单位采用伏安，以符号乏（var）表示。其他单位为千乏（kvar）和兆乏（Mvar）。

【例 2-3】图2-9中，设电感绕组接在交流220V、50Hz的电源上，电感L=0.5H，电阻很小可忽略不计。求：①流过绕组的电流，并画出相量图；②电路的无功功率；③当f=100Hz时的X_L及I是多少?

解：（1）绕组的感抗

X_L=2πfL

=2π×50×0.5=157（Ω）

通过电感绕组的电流有效值为

取电压的初相角为零，电流的初相角为-90°，作相量图如图2-11所示。

（2）电路的无功功率为

Q=UI=220×1.4=308（V·A）=0.308（kVA）

（3）当f=100Hz时

X_L=2πfL=2π×100×0.5=314（Ω）

三、纯电容电路

如图2-12所示的纯电容电路中，若通过正弦交流电，电容器内将产生周期性的充电和放电过程，其电流大小为电荷量与时间的变化率。而电容极板上储存的电荷量q与电压U及电容C有关，即q=CU。从电工原理得知，通过电容的电流与电容器上所加的电压的变化率成正比。

电容对交流电也存在阻碍作用，称为电容电抗，俗称“容抗”以X_C来表示，其值为

容抗的单位也是Ω，流过电容电路电流的有效值为

容抗X_C与电源频率f和电容C成反比，频率越高，电容越大，则容抗越小；反之则容抗越大。直流电路中，直流电的频率为零，容抗为无限大，所以直流电不能通过电容电流。

电容与电感相似，当交流电通过电容时，在一个周期内的平均功率也为零，即在电流为正的上半周，电容从电源吸取电能，储存在电容的电场中，变为电容的电场能，在电流为负的下半周，电容放出电场能，将能量归还给电源。为了衡量电容C和电源之间的能量交换，用瞬时功率的最大值来表示能量交换的规模，亦称“无功功率”用字母Q_C来表示，单位：乏（var），同电感功率。则

【例 2-4】若在电压为220V、频率为50Hz的交流电源上一个电容器C，其通过的电流为2A，求这个电容的大小。

由得

四、多种参数的交流电路

前面已讲过单纯单一参数的交流电路是不存在的，严格地说每个元件都同时具有三种参数的特征。一个电感绕组，当通过交流电流时，会发热并产生磁场，即具有电阻和电感；在绕组的匝间也形成电场而存在匝间分布电容。这种电容在低频交流情况下很小，可以忽略不计，但在高频交流下会明显地表现出来。同样，在电容通过交流电流时，也存在电阻、电感和电容在低频情况下，电阻都很小可以忽略不计，但在高频情况下会明显地表现出来。因此，在实际电路计算时，必须用两种或三种参数的等效电路来进行电路分析计算。

如图2-13（a）所示为R、L和C的等效电路，取流过电路的电流为参考量，即以电流的方向为参考方向，设i=I_msinωt，则元件R、L和C两端的电压u_L、u_R和u_C也为同频率的正弦电压，据基尔霍夫第二定律，该电路的总电压为

u=u_R+u_L+u_C

u也比为同频率的正弦交流电压上式运算可用矢量运算来进行，则矢量关系为

其中且和电流同方向，超前电流90°，落后电流90°，四者可组成矢量三角形，如图2-13（b）所示，由图可得

式中Z称为阻抗，单位也是Ω。

由式（2-23）可求得

总电压与电流的相位关系为

由以上可知阻抗、电压和功率组成三个相似三角形，如图2-14所示。

（1）在这三角形中称cosφ为电路的功率因数；P为电路的有功功率，单位为瓦（W）；Q为电路的无功功率，单位为乏（var）；S为电路的视在功率，单位为伏安（VA）。

（2）当X_L＞X_C时，电路呈感性，电压超前电流，这种负载叫感性负载；当X_L＜X_C时，电路呈容性，电流超前电压，这种负载叫容性负载；当X_L=X_C时，电路呈阻性，在这种情况下，电路中的电、磁场能量相互转换、互相补偿产生振荡，称串联谐振。

【例 2-5】有一R、L、C串联电路，其中R=15Ω，L=0.3mH，C=0.2μF，U=5V，f=30000Hz，求：①电路中的电流I；②电路各元件的电压U_R、U_L和U_C。

解：（1）电路中的电流。

X_L=ωL=2πfL=2π×30000×0.3×10^-3=56.52（Ω）

（2）各元件上的电压。

1）电阻上的电压U_R=IR=0.149×15=2.235（V）

2）电感上的电压U_L=IX_L=0.149×56.52=8.42（V）

3）电容上的电压U_C=IX_C=0.149×26.5=3.89（V）