任务三　恒定总流的能量方程

前面所阐述的恒定流的连续方程揭示了液流断面平均流速与过水断面面积之间的关系，而不能解决工程实际中常涉及的作用力和能量问题。为此，我们需进一步研究液体运动所遵循的其他规律。恒定总流的能量方程就是应用能量转化与守恒原理，分析液体运动时的动能、压能和位能三者之间的相互关系，并为解决实际工程的水力计算问题奠定了理论基础。

一、微小流束的能量方程

由物理学动能定理可知：运动液体动能的增量，等于同一时段内作用于运动液体上各外力对液体做功的代数和，即

式中：为所有外力对物体做功的总和；u1为物体处于起始位置时的速度；u2为在外力作用下，物体运动到新位置时的速度；m为运动物体的质量。

下面就根据动能定理来分析恒定流微小流束的能量方程。

在实际液体恒定流中取出一段微小流束，选取断面Ⅰ—Ⅰ与断面Ⅱ—Ⅱ之间的水体作为研究对象（见图3－11）。设微小流束过水断面Ⅰ—Ⅰ与过水断面Ⅱ—Ⅱ的面积分别为dA1和dA2，其断面形心点的位置高度分别为z1和z2，动水压强分别为p1和p2，相应的流速为u1和u2。

对于微小流束由原来的Ⅰ—Ⅱ位置移动到了新位置Ⅰ′—Ⅱ′，则断面Ⅰ—Ⅰ与断面Ⅱ—Ⅱ所移动的距离分别为

由图3－11可见Ⅰ′—Ⅱ是dt时段内运动液体始末共有流段，这段微小流束水体虽有液体质点的流动和替换，但由于所选的微小流束为恒定流，Ⅰ′—Ⅱ段水体的形状、体积和位置都不随时间发生变化，所以，要研究微小流束从Ⅰ—Ⅱ位置移动到Ⅰ′—Ⅱ′位置时，只需研究微小流束从Ⅰ—Ⅰ′段移动到Ⅱ—Ⅱ′位置的运动就可以了。

（一）动能的增量

在恒定条件下，共有流段Ⅰ′—Ⅱ的质量和各点的流速不随时间而变化，因其动能也不随时间变化，所以微小流束段动能的增量就等于流段Ⅱ—Ⅱ′段动能与Ⅰ—Ⅰ′段动能之差。

根据质量守恒原理，流段Ⅱ—Ⅱ′与Ⅰ—Ⅰ′的质量相等，即m＝ρdV＝ρdQdt＝，于是动能的增量可表示为

（二）作用在微小流束上的外力及其所做的功

对微小流束做功的力有动水压力、重力和微小流束在运动中所受到的摩擦阻力。

（1）重力做功：

微小流束段Ⅰ—Ⅰ′和Ⅱ—Ⅱ′的位置高度差为z1－z2，重力对共有段Ⅰ′—Ⅱ不做功，于是液体从Ⅰ—Ⅰ′移动到Ⅱ—Ⅱ′时重力所做的功为

（2）动水压力做功：

作用于微小流束上的动水压力有两端断面上的动水压力和微小流束侧表面上的动水压力。由于微小流束侧表面上的动水压力与水流运动方向垂直，故不做功。

作用于过水断面Ⅰ—Ⅰ上的动水压力p1dA1与水流运动方向相同，故为正功；作用于过水断面Ⅱ—Ⅱ上的动水压力p2dA2与水流运动方向相反，故为负功。于是压力所做的功为

（3）阻力做功：

对于实际液体，由于黏滞性的存在，液体运动时必须克服内摩擦阻力，消耗一定的能量，故阻力所做的功为负功。设阻力对单位重量液体所做的功为h′w，则对于所研究的微小流束由Ⅰ—Ⅰ′位置移动到Ⅱ—Ⅱ′位置，阻力所做的功为

所以，外力对微小流束所做的功，应为以上三项外力所做功的和，即

根据动量定理，则有

将以上各项同时除以γdQdt，得单位重量液体功和能之间的关系式为

式（3－9）就是恒定流微小流束的能量方程，该式是由瑞士的物理学家和数学家伯努利在1738年首次推导出来的，故又称为恒定流微小流束的伯努利方程。

二、动水压强的分布规律

（一）均匀流中过水断面上的动水压强分布规律

对于均匀流，流线为一组平行直线，过水断面为平面。在均匀流过水断面n—n上任意两相邻流线间取一长为dl、高为dz、底面积为dA、与铅垂方向夹角为θ的微小柱体（见图3－12），设该微小柱体两端面形心点处的动水压强分别为p与p＋dp。下面分析沿n—n轴向作用于微小柱体上的力。

（1）柱体两端面上的动水压力分别为pdA和（p＋dp）dA。

（2）柱体自重沿n—n方向的分力为

（3）柱体侧面上的动水压力以及水流的内摩擦力均与轴线n—n正交，故沿n—n方向投影为零。

（4）均匀流中流速沿程不变，流线为平行直线，柱体在n—n方向所受的惯性力为零。由n—n轴向力的平衡方程，得

式（3－10）表明，均匀流过水断面上的动力压强分布规律与静水压强分面规律相同，即在同一过水断面上各点相对于同一基准面的测压管水头（或单位势能）为一常数，但对于不同的过水断面测压管水头是不相同的。

（二）渐变流段内过水断面上的动水压强分布规律

对于渐变流，由于流线间的夹角很小，流线近似成平行直线，沿n—n轴向的加速度近似为零，惯性力的影响可忽略，此时沿渐变流过水断面仅有压力和重力的作用，这与液体静止时和均匀流时的受力情况完全一致。因此，可以认为渐变流断面上各点的动水压强也符合静水压强分布规律，或同一过水断面上各点的测压管水头（单位势能）为一常数。但应注意，上述关于均匀流或渐变流过水断面上动水压强分布规律的结论，只适用于有一定固体边界约束（如管壁和渠壁）的水流。当液体从管道末端流入大气时，出口附近的液体也符合均匀流或渐变流的条件，但因该断面周界均与大气相通，断面周界上各点的动水压强为零，因而此种情况下过水断面上的动水压强分布不符合静水压强分布规律。

（三）急变流段内动水压强的分布规律

在急变流中，因流线的曲率较大，液体质点做曲线运动而产生的离心惯性力的影响已不能忽略。因此，过水断面上动水压强的分布规律将不再服从静水压强分布规律。

对于凸曲面边界的急变流，因离心力的方向与重力方向相反，因而使过水断面上的动水压强比相同水深的静水压强小。反之，对于一凹曲面边界的急变流，因离心力的方向与重力方向相同，因而使过水断面上的动水压强比相同水深的静水压强大。

三、恒定总流的能量方程

微小流束的能量方程只能反映微小流束内部或边界上各点的流束和压强的变化，为了解决工程实际问题，还需将微小流束的能量方程加以推广，得出恒定总流的能量方程。

微小流束能量方程中的各项，表示过水断面dA上单位重量液体所具有的能量。将式（3－9）两边同乘以单位时间内通过微小流束液体的重量γdQ，并积分，就可得到单位时间内通过总流两过水断面的总能量之间的关系式，即

由上式可见，共有三种形式积分，现分别加以分析。

（1）势能类积分：

它表示单位时间内通过总流过水断面的液体势能的总和。若所取的总流过水断面为均匀流或渐变流，则断面上的各点的单位势能常数，则

（2）动能类积分：

它表示单位时间内通过总流过水断面动能的总和。一般情况下，总流过水断面上各点的流速是不相等的，且分布规律不易确定，所以直接积分该项较困难。这时，可考虑用断面平均流速v代替断面上各点的流速u来表示，即用来代替，但二者实际并不相等。根据数学上有关平均值的性质，可证明，用平均流速代替点流速需要乘以大于1的一个修正系数α，才可使之相等，则有

于是动能类积分为

式中的α为动能修正系数，表示过水面上实际流速积分与按断面平均流速积分计算所得结果之比，即

α值取决于总水流过水断面上的流速分布情况，流速分布愈均匀，α值愈接近于1。当水流为均匀流或渐变流时，一般可取α＝1．05～1．10，实际工程计算中常取α＝1．0。

（3）能量损失类积分：

它表示单位时间总流从过水断面Ⅰ—Ⅰ流至过水断面Ⅱ—Ⅱ的机械能损失的总和。设hw为总流单位重量液体在这两断面间的平均机械能损失，则

将式（b）～式（d）代入式（a），同时各项除以γQ整理后得

式（3－11）即为不可压缩液体恒定总流的能量方程（伯努利方程）。它能够反映总流各断面上单位重量液体的平均位能、平均势能和平均动能之间的能量转换关系，是水力学中三大基本方程之一。该式表明机械能沿程减小，水流机械能转化成热能而损失掉。

四、能量方程的意义

实际液体恒定总流能量方程与微小流束能量方程形式上相似，但二者又存在差别。总流能量方程中用断面平均流速v代替了微小流束过水断面上的点流速u，并相应地引入了动能修正系数α来加以修正。同时，又以两流段间平均水头损失hw代替了微小流束的水头损失。在研究工程实例时，通常我们都以总流的形式来分析问题。

1．总流能量方程式（3－11）中各项的物理意义

z——总流过水断面上单位重量液体所具有的位能，简称为单位位能（位置势能或重力势能）。

——总流过水断面上单位重量液体所具有的压能（压强势能）。

——总流过水断面上单位重量液体所具有的平均势能，即位置势能与压强势能之和。

——总流过水断面上单位重量液体所具有的平均动能。

——总流过水断面上单位重量液体的总机械能，通常用H或E表示。

hw——总流单位重量液体在始末两断面间沿流程的平均能量损失，即机械能损失。

2．总流能量方程式（3－11）中各项的几何意义

能量方程中各项表示了某种高度，具有长度的单位，因此可以用几何线段表示，水力学上习惯将其称为水头。

z——总流过水断面上某点的位置高度（相对于某基准面），称为位置水头。

——压强水头，p为相对压强，也叫测压管高度。

——测压管水头，以H测表示。

——流速水头，也是液体以速度v垂直向上喷射到空中时所达到的高度（不计空气阻力）。

——总水头，以H或E表示，总水头与测压管水头之差等于流速水头。

hw——水头损失。

式（3－11）表明，对于不可压缩恒定流动，在不同的过水断面上，位置水头、压强水头和流速水头之间可以互相转化，在转化过程中有能量损失。

设H1和H2分别表示总流中任意两过水断面上液流所具有的总水头，根据能量方程式

可见，因为水流在流动过程中要产生能量损失，所以，水流只能从总机械能大的地方流向总机械能小的地方。对于理想液体，hw＝0，则H1＝H2，即总流中任何过水断面上总水头保持不变。

3．能量方程的图示——水头线

由于总流里能量方程中各项均表示单位重量液体所具有的能量或水头，且各项的单位都是长度单位，因此可用几何线段来表示，更形象、更直观地体现能量沿流程的转化情况。

图3－13即为一段总流机械能转化的图示。首先选取基准面0—0，并画出总流的中心线。总流各断面中心点离基准面的高度就代表了该断面的位置水头z，所以总流的中心线就表示位置水头z沿程的变化，即位置水头线。

在各断面的中心上作垂线，并在铅垂线上截取高度等于中心点压强水头的线段，得到测压管水头，即各断面上测压管水面离基准面的高度。如将各断面的测压管水头用线连起来，这条线称为测压管水头线。测压管水头线和位置水头线之间的铅垂距离反映了压强水头沿流程的变化情况。如测压管水头线在位置双头线以上，压强为正；反之为负。

在铅垂线所标示的测压管水头以上截取高度等于流速水头的线段，得到该断面的总水头。各断面总水头的连线称为总水头线，它反映了总流总机械能沿流程的变化情况。

根据能量方程，实际液体一定存在水头损失，因而总流的总水头线为一条逐渐下降的直线或曲线。总水头线沿流程的下降情况可用单位流程上的水头损失即水力坡度J来表示。若总水头线为直线时：

当总水头线为曲线时，水力坡度为变值，在某一断面处可表示为

因为总水头增加时d　H一定为负值，为使水力坡度为正值，所以上式中要加负号。

由于总流几何边界条件的沿程变化，必将引起动能和势能的相互转化，所以测压管水头线可以沿程下降或上升，也可沿程不变。它沿流程的变化情况可用单位流程上测压管水头的降低值或升高值，即测压管坡Jp来表示。

当测压管水头线为直线时：

当测压管水头线为曲线时：

对于河渠中的渐变流，其测压管水头线就是水面线。能量方程的这种图示方法，常运用于长距离有压输水管道的水力设计中，用来帮助分析水流现象，找出实际水流的变化规律。