第3章　水轮机的动力特性和选型

3.1　水轮机相似理论及比转速

由于水轮机流道中水流的流动过程非常复杂，目前人们尚未完全掌握这种规律，不可能通过纯理论计算方法得到水轮机的完美设计，于是各国多采用试验研究和理论分析计算相结合的方法来进行其过流部件的设计。

水轮机的试验研究可分为原型试验和模型试验两种。但由于原型水轮机是一种大型机器，尺寸一般都比较大，进行试验困难较多，同时也不经济，因此不可能预先进行原型试验来检验设计正确与否，只能将原型水轮机按比例缩小为模型，在试验室条件下进行水力模型试验。由于模型水轮机的尺寸较小，试验水头较低，因此模型试验既可保证制造加工的速度快、费用低、试验测量方便且准确，同时还可以通过改变参数进行几个不同方案的试验比较研究，取其最优方案。所以水轮机模型试验是进行水轮机水力设计的一种重要手段。为了正确进行模型试验，必须建立模型水轮机和原型水轮机之间的相似关系，以及它们工作性能的换算关系，这就是水轮机的相似理论。表示水轮机水力特性的主要参数包括水头H、流量Q、转速n、功率P、效率η及空化系数σ等，运用相似理论不仅可确定模型水轮机的尺寸及试验条件，还可以比较准确地将这些参数由模型试验结果换算到原型上去。

3.1.1　水轮机的相似条件

两个水轮机（以下着重讨论原型水轮机与模型水轮机）相似，主要是指两水轮机的水流运动相似，则必须要满足以下3个相似条件。

3.1.1.1　几何相似

几何相似是指两个水轮机的几何形状相似，也就是原、模型水轮机对应各部分尺寸成比例，所有对应角相等，且过流表面的相对糙度相等，即

式中：D、b0和a0分别为水轮机转轮公称直径、导叶高度和导叶开度，m；β1e、β2e和φ分别为水轮机转轮叶片的进口安放角、出口安放角和转角，（°）；Δ为水轮机过流表面的绝对糙度；下标“P”代表原型水轮机；下标“M”代表模型水轮机。

故只有同一系列的水轮机才有可能建立起相似关系。

3.1.1.2　运动相似

运动相似是指两个水轮机的流动场相似，即水流在原、模型水轮机流道中对应点的速度方向相同，速度大小成比例。在水轮机转轮中则应是对应点的水流速度三角形相似，即

几何相似是运动相似的必要条件，但几何相似的水轮机不一定是运动相似，因为水轮机有各种不同的运行工况。

3.1.1.3　动力相似

动力相似是指两个水轮机的水流中对应点上所受的作用力（如惯性力、压力、重力和黏性力等）个数相同，同名力的方向相同，大小成比例。为了保持运动相似，必须满足动力相似。因此如果能严格保证几何相似和运动相似，则必然存在动力相似。

由于几何相似是运动相似和动力相似的前提条件，因此可以把原、模型水轮机看做是同一系列的两台水轮机。

满足水轮机相似条件的水轮机工况称为相似工况，也称为等角工况。

在进行模型试验时，要完全满足上述3个相似条件是很困难的，因此应该抓住主要矛盾，忽略某些次要因素，如相对糙度，水流的重力和黏性力等，得出近似的相似公式，然后由模型换算到原型时，再进行适当的修正。

3.1.2　水轮机的相似率

水轮机的工作参数是表征水轮机工作特性的主要特征值，两相似水轮机（即原型和模型水轮机在相似工况下）工作参数之间的固定关系称为水轮机的相似率（或相似公式）。根据这些关系就可以进行原、模型水轮机之间的参数换算。

3.1.2.1　转速相似率

由于原、模型水轮机运动相似，即转轮进、出口的速度三角形相似，因此存在下列比例关系：

将上面比例关系代入水轮机基本方程式，可得

根据，可得代入式（3－6）得

则

假定ηhP＝ηhM，可得

式（3－8）即为转速相似率（或相似公式），它表明原、模型水轮机（几何相似的水轮机）在相似工况下，其转速与转轮直径成反比，与水头的平方根成正比。

3.1.2.2　流量相似率

通过原、模型水轮机的有效流量分别为

则

式中：vm为垂直于导叶出口的水流速度，m/s；F为导叶出口的过水断面面积，m2。

由于运动相似，根据式（3－6）可得

反击式水轮机导水机构导叶出口的过水断面面积可以认为近似等于πb0D1，其中b0为导叶高度，其相对值为f＝b0/D1，则。由于几何相似，则fP＝fM，因此可得

将式（3－10）和式（3－11）代入式（3－9）可得

假定ηhP＝ηhM，ηvP＝ηvM，可得

式（3－13）即为流量相似率（或相似公式），它表明原、模型水轮机（几何相似的水轮机）在相似工况下，其流量与转轮直径的平方成正比，与水头的平方根成正比。

3.1.2.3　功率（出力）相似率

原、模型水轮机的输出功率（出力）分别为

则

假定ηP＝ηM，并将式（3－13）代入式（3－14）可得

式（3－15）即为功率相似率（或相似公式），它表明原、模型水轮机（几何相似的水轮机）在相似工况下，其功率（出力）与转轮直径的平方成正比，与水头的1.5次方成正比。

由于式（3－8）、式（3－13）和式（3－15）是在假定原、模型水轮机水力效率ηh、容积效率ηv和机械效率ηm相等，即总效率η相等的前提下得出的，因此也称它们为一次近似相似率（或相似公式）。

3.1.3　水轮机单位参数

3.1.2节所得出的水轮机相似律的公式在应用上还存在一个问题：在进行水轮机模型试验时，由于各试验研究单位的条件和要求不同，所使用的模型直径和试验水头也不一样，因此模型试验得出的参数也不统一，根据试验所得数据绘制的同一型号水轮机的特性曲线将会数量繁多，这样既不便于应用，同时也不便于对不同系列水轮机进行比较。为此，常常采用将模型试验所得参数按照相似率换算为转轮直径D＝1m、工作水头H＝1m的标准情况下水轮机的参数。

把转轮直径为1m，工作水头为1m时水轮机的参数称为单位参数。单位参数包括单位转速n11、单位流量Q11和单位功率P11。

将DM＝1m、HM＝1m代入式（3－8）、式（3－13）和式（3－15）得

则单位参数公式为

式（3－17）表明，几何相似的水轮机在相似工况下，其值对应相同，分别等于n11、Q11、P11。由于是在假定效率相等的前提下得出的，因此它们是单位参数的一次近似值。

将式（3－17）变换后得

当模型某一工况的单位参数n11、Q11和P11由试验得到后，即可根据式（3－18）求出原型的n、Q和P。

从式（3－17）可以看出，对一定的水轮机（D和n已定），n11和Q11是随工作状况H、Q的变动而变动的。当n11和Q11一定时，它的工况也就一定。因此单位参数n11和Q11可以作为表征工况的参数，或称之为工作状态参数。这样，对某一系列的水轮机通过模型试验确定出不同工况的单位参数n11和Q11后，利用式（3－17）或式（3－18），即可对同一系列中某一已定D和n的水轮机，求出相应于任一工况的H、Q（即特性曲线的换算）；或者在已知水轮机的工况H和Q的情况下，根据相应于某一工况下的n11和Q11值，来选择D和n（即水轮机的选择）。

由式（3－17）可知，水轮机的单位转速n11、单位流量Q11和单位功率P11决定了水轮机在一定的水头H和相同的转轮直径D条件下，水轮机的实际转速n、实际通过的流量Q和实际输出功率P。在水头和转轮直径相同的条件下，单位转速越高的水轮机系列，其水轮机采用的实际转速也越高，而提高转速可以减小水轮发电机的尺寸和重量，从而降低发电机的造价。同样，在水头和转轮直径相同的条件下，单位流量越高的水轮机系列，其水轮机能通过的流量越多，也就是过水能力越大，相应地必然能发出更多的功率或在规定的功率下减小水轮机的直径和造价。综上所述，在水头和转轮直径相同的条件下，具有较大的n11和Q11的水轮机系列是优越的。所以可用单位转速n11和单位流量Q11作为衡量水轮机技术水平高低的指标。

3.1.4　水轮机的效率修正和单位参数修正

在推导水轮机的相似公式和单位参数公式时，曾假定原型水轮机和模型水轮机在相似工况下的效率相等。而实际上是不相等的，总是原型水轮机的效率高于模型水轮机的效率，即ηP＞ηM。主要原因是进行模型试验时，由于原型和模型水轮机尺寸相差较大，两者不可能保持相对糙度和相对黏性力的相似性，因此水力损失也不相似，直径大的原型水轮机的水力损失比直径小的模型水轮机的要小得多。因此，必须对按一次近似的模型水轮机试验所得出的效率和单位参数进行修正，从而得到原型水轮机的数据。

3.1.4.1　反击式水轮机的效率修正

由于影响反击式水轮机效率的因素复杂，到目前为止，尚未研究出比较完整的计算方法。下面给出《水轮机基本技术条件》（GB/T15468—2006）附录A中建议的3种计算方法。

1.第一种方法

混流式：

轴流式：

式中：Δη为模型效率换算为原型效率的修正值，即ηP＝ηM＋Δη；ηmaxM为模型水轮机的最高效率；K为系数，K＝0.5～0.7（改造机组取小值，新机组取大值）；DM为模型水轮机转轮公称直径，m；DP为原型水轮机转轮公称直径，m；HM为模型水轮机试验水头，m；HP为原型水轮机水头，m。

对转桨式水轮机，当转轮叶片的转角φ不同时，对应的最优效率也不同，因此效率的修正值Δη随着转角φ的改变而改变，原型水轮机进行效率修正时应对不同的叶片转角分别进行。

这个方法的效率修正值对一般工况采用了简化方法，即认为任一工况的效率修正值均与最优工况时的效率修正值相同。实际上，当水轮机偏离最优工况运行时，水流流态比较复杂，涡流损失较大，按最优工况的效率修正值进行效率修正时，修正后的原型效率会偏高。

2.第二种方法

IEC60193推荐的反击式水轮机效率修正计算公式为

式中：Δηh为模型效率换算为原型效率的修正值；δref为标准的可换算为原型效率的修正值；Reuref为标准的雷诺数；ReuM为计算点模型雷诺数；ReuP为计算点原型雷诺数；ReuoptM为模型最优效率点雷诺数；ηhoptM为模型最优效率；Vref为标准的损失分布系数（轴流转桨、斜流转桨和贯流转桨式水轮机取0.8，混流和轴流定桨、斜流定桨、贯流定桨式水轮机取0.7）。

3.第三种方法

对过去已有的模型试验曲线和注明雷诺数与水温的模型试验资料，建议按式（3－23）计算：

式中：VM为模型的损失分布系数（轴流转桨、斜流转桨和贯流转桨式水轮机取0.8，混流和轴流定桨、斜流定桨、贯流定桨式水轮机取0.7）；VoptM为模型最优效率点的损失分布系数。

3.1.4.2　单位参数的修正

当不考虑容积效率和机械效率，并把水力效率当做总效率时，即ηv＝0、ηm＝0、η＝ηh时，可由式（3－7）和式（3－12）得出

根据单位参数的定义可得

则单位转速修正值Δn11和单位流量的修正值ΔQ11为

在实际中，修正值Δn11和ΔQ11先根据最优工况确定，再引用到其他工况中。因此可用式（3－28）和式（3－29）代替，即

式中：n110M、Q110M分别为最优工况下模型水轮机的单位转速和单位流量；ηmaxP、ηmaxM分别为最优工况下原型和模型水轮机的最高效率。

根据式（3－28）和式（3－29）得出修正值后，便可求得原型水轮机的单位转速和单位流量，即

应当指出，一般情况下，ΔQ11对于Q11的影响很小，特别对大型水轮机相对很小，故通常可不予以修正；而当Δn11＜3%n11M时，n11也可不予以修正，即将模型水轮机的n11M直接作为原型水轮机的n11P。同时，当η＜72%～75%时，上述修正公式的误差较大，但是对于大中型水轮机一般工况很少在η＜72%～75%范围运行。

3.1.5　水轮机的比转速

由1.3.1节可知，同系列各几何相似的水轮机在1m工作水头下发出1kW功率时的转速，称为比转速，用ns表示，单位为m·kW，公式见式（1－7）。

从式（3－17）的上式和下式中消去D，可得

根据式（1－7）和式（3－32）可得比转速用单位参数的表示式：

由式（3－33）可见：

（1）凡几何相似，工况相似的水轮机，其n11和Q11值相同，其比转速ns值也必相同。反之，不同系列的水轮机具有不同的n11和Q11值，也必具有不同的ns值。

（2）具有较大的过水能力（即Q11大）及较高转速（即n11大）的水轮机系列，其比转速ns也较高。从这一点来说，比转速较高的水轮机，在同等功率条件下其尺寸较小，造价降低。因此，提高比转速对机组的动能经济技术指标是有利的，尤其对大型机组尤为显著。但是随着比转速的提高，水轮机的空化系数也随之增大。对于地下厂房，由于增加吸出高度并不增加更多的开挖费用，因此对于地下厂房的大型机组，比转速可以选得更高些。

总之，比转速ns是代表水轮机质量的综合指标。所以，可以用对水轮机ns的比较分析，来替代对水轮机n11、Q11和η的比较分析。