1.2　河口模型试验研究综述

1.2.1　河口物理模型发展

1885年雷诺首先利用潮汐河口模型试验，研究英国默尔西的潮汐水流[6]。早期的潮汐河口模型试验设备比较简陋，考虑的相似条件也比较简单。

20世纪20年代，随着航运业的兴旺，各国相继通过模型试验来研究潮汐河口的治理问题[6]。其中比较著名的如法国费里哈哥特的塞纳河口模型试验[8]和英国吉普生教授的塞汶河口模型试验。但这些模型比尺都比较小，变率较大，虽可连续运转，但精度却较差。通过模型试验对河口水流情况的认识有所提高，对整治规划起到了一定的作用。

第二次世界大战后，随着电子工业的发展，模型试验中潮汐的发生装置已由简单的机械装置发展成为运用光电原理而设计的半自动控制装置，模型试验也由清水试验发展到浑水试验。无论在试验技术和相似条件的考虑方面都前进了一大步，同时现场测验技术也有显著的改进，因而自20世纪50年代以来各国河口的治理取得显著的进展，航道水深有了较大幅度的增加。各国河口拦门沙的自然水深一般都不足6m，经治理后，都已达到12.5m以上，5万t级海轮可随时进出。

目前的潮汐河口模型可以复演河床的冲淤演变，例如德国易北河口的动床模型已成功地复演了整治河床的演变过程。在物理模型中研究泥沙问题，模型变率不能大，因而，模型尺寸有向大发展的趋势，如已建的长江口模型[7-8]、珠江口模型[9]、杭州湾模型[10]以及在建的黄河口模型[11]。模型中潮汐的发生及潮位、流速、表面流场、地形等数据的量测均可全部实现自动化。在模型中可研究的问题也逐渐拓宽，除一般水力学问题外，物理模型试验已经成为河口海岸治理、航道整治、核（火）电厂温排水、污染扩散和泥沙冲淤等问题的重要研究手段。

1.2.2　国外河口研究概况

自19世纪中叶法国塞纳河口第一个开始整治以后，各国的河口都相继进行了治理，如美国哥伦比亚河口的整治工程始于1882年，法国卢瓦尔河口的整治始于1834年[12]。受当时研究水平的限制，对于一些河口都采用疏浚方法取得所需的水深，以易北河口为例[13-14]，1936年直通汉堡的航道深度为10m，1961年浚深至11m，1969年浚深至12m，1978年疏浚达到13.5m。拦门沙河段航道走向对航道的疏浚量影响很大，西德威悉河口口外的西支航道[15]，由于定线合理，经整治后航道中形成了有利的水流条件，从浅滩来的均匀侧向流在航道中造成落潮量的优势，运行半个世纪以来航道一直稳定。

随着船只吃水深度的不断增加，单靠疏浚难以增加较大的水深，故在20世纪初已对不少河口采取疏浚与整治相结合的治理原则。但制订整治工程的规划主要依靠经验，缺乏科学根据。自20世纪20年代，河工模型试验被广泛应用，对制订河口整治规划起了积极的作用。

1930年荷兰公共工程部要求德尔夫特水工研究所进行莱茵河口物理模型试验。该所通过动床模拟，证实延长南导堤可以改变口外沙洲的部位、调整新水道口门流态和底沙输移路径。1965年该所又建造了新模型用以研究鹿特丹新水道及哈林弗赖河口盐淡水异重流问题。

1940年，美国陆军工程师兵团水道试验站建立了治理密西西比河口的物理模型，进行了西南水道航道水深规划研究。通过21个方案的比较，并考虑到各种洪水流量与潮汐组合情况下的航道淤积，最后确定了双导堤和丁坝整治方案，该方案于1982年完成，取得12.2m水深的预期效果，而航道维护费用与10.67m水深下的维护费用相当[16]。

法国塞纳河口为强潮河口，径流量终年变化不大，主要靠雨水与地下水补给。河口中的3/4淤泥来自海洋，在大风和强潮的作用下进入河口，造成严重淤积，影响法国第二大港哈佛尔港的发展。1848年开始第一期治理工程。1950年在进行塞纳河口治理的第三期工程时，通过模型试验研究了修建10.5km长南导堤以后航道增深的可能性。20世纪70年代，法国纪龙德河口完成了口外航道的加深工程，使航道水深增加了6m，达到19.5m。该航道线路是根据夏都水工研究所的模型试验成果确定的，航道稳定，维护疏浚量小[17]。

英国默尔西河口潮差较大，径流不大，河口大片浅滩的泥沙由潮流从利物浦港湾带入。1890年开始开挖航道，1923年在修建第一期导堤工程前进行了模型试验，确定了导堤的布置形式和堤顶高程。1932年又修建了第二期导堤工程。1945年又进行了淡水和盐水试验，探明了修筑导堤后上河口造成严重淤积的原因[18]。

泰晤士河口为典型的钟型河口，口外浅滩罗列。为了整治航道的浅滩段，1909年通过物理模型试验论证了采用人工导堤不能达到预期的效果，因而，决定采取全线疏浚的方案，开挖了54km长的深水航道[19]。模型试验还表明，抛到口外的疏浚土随潮流进入航道，造成回淤量增加；当改为抛泥上岸后，航道的疏浚量显著减少[20]。

1962年美国在进行哥伦比亚河口航道整治前建立了哥伦比亚河口下游段模型，研究将航道由121.9m拓宽至182.9m、由10.7m加深至12.2m的工程措施。模型水平比尺500，垂直比尺100，采用0.35mm的塑料沙，模拟了河口长83.7km的区域。河口南堤是顺堤，北堤是丁坝，采取整治工程与疏浚相结合的方针，改善了哥伦比亚河口的航行条件。

20世纪80年代，德国进行了易北河口潮流动床物理模型，模型水平比尺800，垂直比尺100，模型沙采用聚苯乙烯，平均粒径2mm。研究了航道由12m增深至13.5m、宽度由350m拓宽至500m的工程措施，将已有导堤延长3.2km。工程建设后的实测资料表明，基本可以不加维护疏浚就可保持13.5m航道水深[21-22]。

在河口航道治理方面，欧美国家和日本较多采用的措施是修建导堤。导堤一直延伸到所需的深水区。美国58个口门[23-24]，除封闭的8个口门外，建有双导堤的26个，建有单导堤的5个，共占总数的62%。日本139个河口[25]，建有导堤的72个，约占总数的52%。20世纪70年代以来，陆续有一些河口在建设导堤，如荷兰鹿特丹港进入北海的河口[26]，原来只有北导堤，1974年将北导堤延伸3km，又新建10.5km长的南导堤，一直伸到-18m水深处。西德易北河口的疏浚工作始于1834年，1968年建成一条长9.25km的单导堤[27]，后将其延长到12.4km。表1.1列举了国外部分河口海港物理模型的情况。

1.2.3　国内河口研究概况

我国最早的河口治理为黄浦江的治理[29]。为了海运的需要，1876年开始研究黄浦江的整治计划，1905年起陆续修建了顺坝、丁坝和黄浦江口导堤等一系列建筑物，使整治前不足5m水深的航道逐步加深到9m（低潮位下）。当时上海港入海航道为长江口南槽，其主要障碍是铜沙浅滩，滩顶最小水深仅6m左右，1935—1937年曾对这段航道进行试挖，但以失败告终[30-31]。1916年开始在辽河口修筑东西双导堤，以加大水深，导堤建成后虽对增加水深和改善航运条件起了一定作用，但后因年久失修而逐渐失效。1919—1929年在闽江口北港修筑了8条顺坝和16条丁坝用以增加航道水深，但未达到预期效果。20世纪30年代对海河口进行了疏浚和裁弯工程，并修建了丁坝，但收效不大。这些工程的进行，往往是凭着经验，有成功，也有失败。

我国第一个河口模型是1953年在天津大学进行的海河口模型试验，同年在南京水利科学研究所制造了钱塘江模型，试验了我国第一台潮汐控制仪的性能。1958年进行海河口动床模型试验。1972年南京水利科学研究所与华东水利学院合作，首次进行了长江口海门江心沙北泓的浑水淤积试验[32]。20世纪70年代中期，南京水利科学研究所做了射阳河裁弯悬沙淤积局部冲淤试验[33]，将潮汐河口悬沙模型试验技术向前推进了一步。

近几十年来，随着波浪潮流作用下的泥沙运动基本规律的深入研究[34-58]，采用变态河工物理模型研究和解决了许多河流、河口、海岸治理以及港口航道开发建设中的泥沙问题，不但进行了潮流悬沙动床试验，而且进行了潮流波浪共同作用下的浑水动床模型试验，在模型的相似理论和试验技术方面取得了重要进展[59-65]。表1.2是国内部分河口海港物理模型的情况。

1.2.4　已有几何变率影响研究

根据物理模型相似理论的要求[66-73]，物理模型以正态为宜。然而由于河口海岸地区水域很大，进行正态或小变率的泥沙模型试验几乎都不现实。从理论上讲，变态模型并不完全满足相似理论的要求，在流场和泥沙运动方面均会产生不同程度的误差[74-80]。以往有不少学者[81-86]从理论上研究模型变率对试验成果的影响，但通过系列模型试验研究变率影响的并不多，而且主要是研究恒定水流条件下顺直段和弯道段变率对水流和泥沙冲淤相似性的影响，尚未见通过系列模型研究潮流作用下变率对流场和泥沙场的影响。

佛里斯[87]指出当原型及模型内同类物理量的比值不是常数而随空间或时间变化时，则此模型有比尺影响存在。对于河口模型比尺问题，美国陆军工程兵团水道试验站[88]的经验是河口定床水工模型最适合的垂直比尺是100，大于150的比尺很少采用，很浅的河口则用80或60。这是因为模型水深太小时，现有流速仪不能应用，而且也不能保证在大部分潮汐周期中水流为紊流状态。德国方修士研究所[89]也认为，垂直比尺100较适当，这样模型上流速与潮位的测量精度大致与原体的测量误差相一致。英国环境局在介绍泰晤士河口口外部分模型试验[90]资料中认为，研究较小范围的问题时，用动床小比尺模型预测河口体系的泥沙运动可得出合理的成果。日本学者[91]则认为，河口是三维问题，条件复杂，最好采用动床试验。

1.2.4.1　理论分析研究

一般认为[92]，研究一维水流问题即只研究水位和平均流速的相似问题，这类模型的变率可取得大一些，这里控制模型变率大小的条件主要是模型的糙率，而不是水流的相似条件。至于平面二维水流的相似性还包含某种程度的二维流场相似问题，因此变率受到更多的限制。但究竟多大变率才能使平面二维水流的相似性不致受到过大的影响，目前尚无可靠的研究成果。以往文献往往根据在水槽试验中获得的平面二维水流的宽深关系来确定对变率的限制。

亚林将断面划分为具代表性的中间区和受边壁影响的两个岸边区。设河流的水面宽为B，平均水深为H，代表中间区的水面宽为C2，受边壁影响的左右两个岸边区水面宽为C1。假设中间区保持足够的宽度，无论在原型和模型中均能代表全断面的水力特性，则模型的允许变率η具有如下关系：

如两岸边壁区共有3～5倍水深的宽度即2C1=（3～5）H，并要求中间区达到水面宽2/3或至少1/2即C2=（0.67～0.5）B，则可得模型允许变率限制的近似式为

洛西耶夫斯基根据水槽试验，当水槽宽深关系小于一定程度（如8）之后，断面内的环流方向和数目都可能发生变化。据此，认为保证变态模型断面内环流方向和数目不发生变化的限制条件[4]为

根据沙巴涅夫和岗恰洛夫的研究，当水深宽深比大于10时，水流基本属于二维水流[2]。因此，宽深比的限制可规定为

张瑞瑾等[75]提出凡是二度性（指纵剖面）及均匀性愈强烈的河道水流，所允许考虑的变率可以大些；反之，凡是三度性非均匀性强烈的河流，模型不宜做成变态，或者对它的变率必须严格控制。一般经验，限制变率在3以下[93]。张瑞瑾等还认为，以变态模型水力半径与正态模型水力半径的比值作为变率对水流影响的指标。朱鹏程[82]认为在变态动床河工模型中，还应考虑断面湿周对水流内部结构的影响。

张红武[94]认为，模型变率大小主要取决于原型河道的宽深比和河床糙率。宽深比越大和糙率越小，变率就可大一些，否则，变率就应小一些。由大量试验资料看出，只要适当选取变率，模型变态对流速分布的影响是有限的。同时也发现，即使是正态模型，当河床减糙后，其流速沿垂线的分布与原型也有明显出入。

吕秀贞[85]通过对变态模型有关相似比尺的分析，研究了模型变态对坡面上推移质泥沙输移相似性所造成的偏离，指出几何变态模型导致水流方向正坡床面的模型沙起动流速小于正确值，从而使模型沙趋于容易起动，模型输沙率大于原型应有值；同时几何变态又使水流方向负坡床面上模型沙的起动流速大于正确值，使泥沙在负坡床面难以起动，床面输沙率偏小。坡面上起动流速和输沙率相似性偏离的误差大小与模型的几何变率、床面坡度的正负和大小有关，也与泥沙粒径的粗细和模型沙水下休止角的相似性等因素有关[95-96]。

1.2.4.2　系列模型试验研究

早在1955年阿汉墨德将萨特莱河的一段塑造出比尺不同的7个变态模型，以研究模型变率对冲刷深度的影响。近40年来，通过系列模型试验进行变率影响研究的主要有窦国仁、张红武、颜国红、梁宾、毛世民、胡小保、廖志丹、虞邦义[97-103]等，他们分别研究了变率对恒定水流条件下丁坝回流、顺直河段、弯道段、汊道、单边突扩河道、凹入式港池水流形态和结构的影响，其中胡小保在单边突扩概化系列模型中、廖志丹在凹入式港池概化系列模型中研究了变率对悬沙淤积的影响。在进行三峡工程泥沙问题研究中，姚仕明对模型变率的影响做了较多的试验研究，除了研究变率对水流的影响外，还研究了变率对泥沙冲淤变化的影响。此外，还有些学者针对局部冲刷问题进行过系列模型试验[104-107]，其目的在于推求相当于正态模型时的试验值。现将已有的系列模型变率影响研究综述如下。

（1）模型变态对流场相似性的影响。

为了探讨变态模型的回流相似问题，窦国仁等设计了变率为2.5和5的2个模型与变率为1的原型进行对比。在模型与原型的对比组次中，有的同时满足重力相似和阻力相似，有的只满足阻力相似偏离重力相似，有的只满足重力相似偏离阻力相似。试验表明：如同时满足重力相似和阻力相似，当变率为2.5和5时，模型回流长度及宽度与正态模型基本相似，误差一般都在10%以内；如满足阻力相似偏离重力相似，变率为2.5时，模型中的回流宽度虽然与原型相近，但回流长度与原型是不相似的，由于模型中的流速较按比尺计算的为大，所以模型中的回流长度较原型为大；如满足重力相似偏离阻力相似，变率为2.5的模型中回流长度与原型不相似，模型中的阻力均较按比尺计算的为小，而模型中的回流长度及宽度均较原型为大。

张红武设计了6个变率为1～8的概化天然弯道模型，宽深比3.8～22.9。试验表明：与正态模型相比，无论顺直段还是弯道段变态对水流动力轴线均无影响；顺直段当变率为2时纵向流速垂线分布与正态模型的相似性较好，变率3～4时稍有差别，变率6～8时明显失真；弯道段变率2对纵向流速垂线分布稍有影响，变率3以上失真严重；变率对环流有不同程度的影响。

颜国红设计了3个变率为1～3的矩形断面弯道模型，宽深比4～12。试验表明：变态对顺直段和弯道段的水流动力轴线均无影响；变率2的纵向流速垂线分布稍有偏差，变率3时有明显偏差；弯道段变率2的纵向流速垂线分布模型失真，变率3则严重失真；变率对环流影响严重。

梁宾设计了3个变率为3～10的概化复式横断面河道模型。试验表明：变态对顺直段的水流动力轴线无影响。

毛世民设计了4个变率为2.5～7的天然汊道模型，宽深比6.6～28.9。试验表明：变态对汊道水流动力轴线和分流比基本无影响。

胡小保设计了变率为1～8的单边突扩概化模型，回流区宽深比0.67～5.33。试验表明：变态使回流区范围缩小，回流强度增强，主流与回流交界面紊动增强。

廖志丹设计了3个变率为2.5～7的凹入式港池概化模型，宽深比2.14～6。试验表明：变态对回流范围没有影响，流场稍有偏离。

还有一些学者对变率的影响进行过研究，虞邦义在淮河干流模型试验中发现，变率加大到8～10后，纵向流速垂线分布指数关系从1/6～1/7变到1/3～1/4。段文忠等试验显示，模型变态后，弯道内水面形状、横向比降及弯道水流的流向都将偏离正态模型而且偏离的程度随变率增大而趋于明显。

在进行三峡工程泥沙问题研究中，对模型变率的影响做了较多的试验研究，设计了4个变率为1～7的长江微弯型汊道概化模型，试验表明：变态对汊道分流比、垂线平均纵向流速沿程和沿河宽分布以及水流动力轴线影响甚微。设计了3个变率为1～6的汉江河段弯道概化模型，并在下游设置一桥墩，试验表明：变率为3时弯道水流动力轴线与正态模型基本相似，变率为6时水流动力轴线明显偏离。设计了6个变率为1～10的梯形横断面弯道模型，下游设一丁坝，试验表明：对顺直河段，变态模型的垂线平均纵向流速、水流动力轴线与正态模型基本相似，垂线平均流速的相对误差一般小于10%，变态对纵向流速沿垂线分布的影响明显，表层流速较正态模型偏大，近底流速则偏小，其偏离值随变率的加大而增大；对弯道段，变率小于10时，弯道段的水流动力轴线、垂线平均纵向流速的横向分布和沿程分布与正态模型相似，变率大于2的模型纵向流速沿垂向分布明显偏离正态模型，但规律性不强。综上，弯道环流受模型变态影响最大，横向流速沿程分布在不同变率时与正态模型有不同程度的偏离。动床模型试验表明，变率大于6时，变率越大，弯道水流动力轴线的形态偏离越大。

在模型变率小于10且宽深比大于2时，只要满足重力相似与阻力相似，变态模型与正态模型比较，顺直段和弯道段的水流动力轴线及垂线平均纵向流速沿横向与沿程的分布基本一致，相对误差一般小于10%；对于汊道两汊分流角不大、横断面面积相差不大，在汊道较小时，汊道分流比也基本一致；纵向流速沿垂线分布偏离程度随变率增大而增大，一般偏离30%以内，横向流速沿垂线分布偏离达70%以上。

（2）模型变态对悬移质泥沙运动的影响。

胡小保在单边突扩概化系列模型中得到变态模型的相对淤积量增大。

廖志丹在凹入式港池概化系列模型中，变率为2.5的凹入式港池淤积量增加40%，变率5的模型淤积量增加280%，变率7的模型淤积量增加480%。

（3）模型变态对推移质泥沙运动的影响。

在变率1～6的汉江弯道系列模型中，当变率为3、宽深比为9时，深泓线高程和位置与正态模型较相似；变率为6、宽深比为4.5时，偏离较大。变率为3的模型其横断面冲淤情况与正态模型基本相似，但深槽宽度比正态模型宽约5%～8%；变率为6的模型大部分横断面冲淤部位都有较大偏离。桥墩冲刷程度受变率影响较大，变率3、宽深比9的模型与变率6、宽深比4.5的模型最大冲刷深度分别较正态模型深3%～10%，冲刷面积分别较正态模型大10%～40%。

在变率1～10的6个系列模型中，变率2、宽深比10.8和变率4、宽深比5.4的模型其深泓线的形态和位置与正态模型基本相似；变率大于6的模型弯道上半段深泓线明显向凸岸偏离，并随变率增大而偏离更大，但顺直段与弯道下半段偏离较小。变率为2、宽深比10.8的模型其横断面冲淤情况与正态模型基本相似；变率为4、宽深比5.4的模型弯道深槽宽度比正态模型宽5%～15%；变率大于6的模型，横断面冲淤部位已发生较大偏离，且弯道段较顺直段更大，还有随着变率增大而偏离程度增加的趋势。然而变率小于10的各模型深槽并没有明显冲深，这主要是垂线平均纵向流速没有增大的缘故。当变率为2、宽深比为10.8的模型设置丁坝后，冲刷坑形态和体积与正态模型偏离约20%；随着变率的增大，冲刷坑形态和体积的偏离程度增大，在变率10的模型中，冲刷坑体积偏离正态263%。

（4）模型变态对斜坡上泥沙起动的影响。

朱立俊等[108]在水槽试验的基础上，研究按平床泥沙起动相似设计时模型变率对边坡及水流纵向坡面上泥沙起动相似的偏离影响。试验结果显示，当变率为4且边坡较陡（边坡为10～5）时，起动相似偏离较大；而当边坡较缓（边坡为30～50）时，即使模型变率较大，如变率为8，边坡泥沙起动相似偏离也不明显。当坡度一定时，变率越大，边坡泥沙起动相似偏离越大。同样坡比的河床，顺坡河床泥沙起动相似偏离的程度大于逆坡河床。

1.2.5　系列模型研究方法

1.2.5.1　动床模型延伸法

1939年塞麦米[109]在水工建筑物模型试验中，为了解决建筑物下游原型可能达到的最大冲刷深度问题，曾经在一个1/20的模型中，用三种不同粒径的泥沙进行试验，然后，将各组沙的最大冲刷深度乘以模型比尺，换算到原型，得到不同粒径的最大冲刷深度，外延后得到泥沙粒径为零时的冲刷深度，认为这就是原型的冲刷深度。这种做法的物理意义十分模糊，加之曲线外延任意性大，会引起较大的误差。

1955年阿汉墨德将萨特莱河的一段塑造出比尺不同的7个变态模型[110]，在研究模型变率对冲刷深度影响的同时，还挑出2个模型，分别放入3种和5种不同粒径的模型沙，以探求模型变率、粒径比尺同冲刷深度比尺的关系。虽然这位研究者当时未提出“系列模型延伸”这一概念，可他的试验结果对后来延伸法的发展起到了启迪和推动作用。稍后，我国的沙玉清教授[111]和苏联的兹列洛夫[112]都采用类似的系列模型试验方法，提出过另一类的延伸方法，称为系列几何比尺模型延伸法。做一系列几何比尺不同的模型，在各个模型中均以原型沙进行动床试验，并将试验结果与几何比尺绘图，在对数坐标纸上连成直线，或做经验方程式，再延伸至垂直比尺为1的冲刷深度，即得到原型值。通过以原型沙作为模型沙，并按重力相似条件设计模型进行试验延伸，研究水库泥沙淤积问题。他们在模型设计和系列比尺选定上，除做了些概念性假设和经验处理外，均缺少理论性的阐明。

金德春在确定长江某大桥桥墩沉井局部冲刷深度时，采用了沥青、木屑轻质沙进行系列模型延伸试验，并从相似理论出发对沙玉清方法进行了分析论证。金德春提出，系列模型物理量存在偏差的一般表达式为

式中：Δx为水力因素或河床因素因模型比尺引起的偏差；分别为模型满足与不满足相似条件的几何比尺。

当用原型沙做模型沙时，把资料延伸到而得原型所求值；当采用非原型沙做模型沙时，资料延伸终点是而得原型所求值。这使沙玉清的延伸图式得到补充和发展，但在某些比尺关系处理上还值得商榷。

1.2.5.2　系列模型设计原理[113]

在动床模型试验中，由于模型沙运动状态很难与原型沙运动相似，试验结果必然产生一定偏差。偏差大小同模型尺寸大小有关，模型越大，偏差越小，模型大到同原型尺寸相同，偏差就变为零。根据这一逻辑概念，就可以同时塑造一系列大小不同的模型，使其尺寸从小向大逐步接近原型，把各个模型试验结果顺势延伸到原型，使偏差逐步缩小，最后消失，从而得出没有偏差的原型成果（延伸结果）。这就是系列模型延伸法的基本原理。

要想取得正确的试验成果，模型必须根据相似原理，按照相似准则设计。系列模型实际是由几个比尺不同的模型组成，它们之间的差别除表现在模型尺寸不同外，还表现在它们同原型的偏差也不同。要想利用这些模型取得同比尺相似模型近似的成果，系列模型应当按服从带有偏差因素的相似比尺条件式进行设计和试验，其中若干个成系列的具体模型比尺必须受所述条件式的控制，以便逐步消除偏差，实现模型试验成果最后与原型相似。否则，进行几何比尺不相似的系列模型就无章可循。

设完全符合相似条件的正态模型几何比尺为，系列模型拟选用的不相似模型几何比尺为λh，当模型完全满足正态模型相似条件时，（λhs为冲淤深度比尺）；当模型偏离正态模型相似条件时，，λhs之所以偏离λh是由于λh偏离造成的。λhs偏离λh的程度大小，取决于λh偏离的程度大小，如把这种关系用函数关系表示，则有

由于，而λhs既可能大于λh，也可能小于λh，因此指数m值可正可负。将上式改写成

其中

这里的ΔH即为模型比尺λh偏离而产生的偏差。

1.2.5.3　丁坝冲刷系列模型应用

丁坝、桥墩等建筑物前由于水流发生变化而出现局部冲刷坑，为了保证工程的安全，需要研究冲刷坑的冲刷深度和冲刷范围[114-120]。在实测资料和试验资料的基础上，许多学者[121-133]建立了不少局部冲刷预报公式，但是这些公式的应用有一定的限制。也有不少学者从数学模型出发，去模拟局部冲刷坑的深度和大小[134-138]。还有学者用系列模型进行了桥墩、沉井、围堰等局部冲刷和防护试验，模型沙采用过原型沙、非原型天然沙和塑料轻质沙等。

下面介绍长江口深水航道工程丁坝冲刷系列模型研究的情况[139]。长江口深水航道位于长江口的南港至北槽河段，治理工程分别由长约50km的一对南导堤和北双导堤、分流嘴工程、丁坝工程以及疏浚工程组成。工程分三期实施，一期工程南北双导堤各长近20km，南北导堤各布置三条丁坝，航道浚深为10m。为了确定丁坝坝头的防护范围，采用系列模型对丁坝坝头局部冲刷进行了试验研究。

坝头附近北槽河床质为粉砂，d50=0.16mm。选择北导堤两条丁坝（N1和N3）和南导堤两条丁坝（S1和S3）的布置方案。试验分别采用长江口原型沙和沥青沙作为模型沙。当模型沙采用原型沙时，做3个正态模型，比尺分别为45、55和75。当模型沙采用沥青沙时，系列模型的比尺分别为100、150、200，沥青沙的中值粒径为0.35mm。

试验在长30m、宽6m的水槽中进行。丁坝头部局部冲刷试验动床范围长15m、宽6m。丁坝头部附近水下地形按1997年测图制作。在长江口整体模型上测量一期工程丁坝坝头流速，并作为局部模型的水流控制条件。选用上游大通流量30000m3/s与大潮（中浚潮差4.0m）组合进行冲刷试验。模型测得N1、N3、S1和S3丁坝坝头落潮最大流速分别为2.5m/s、3.0m/s、2.75m/s和2.95m/s，对应潮位为1.0m。

将原型沙的试验结果换算到天然冲刷深度后，得到比尺分别为45、55和75的模型其对应的N1丁坝坝头最大冲刷坑为8.7m、8.8m、8.7m；N3丁坝坝头最大冲刷坑为12.4m、12.7m、12.6m；S1丁坝坝头最大冲刷坑为9.5m、9.6m、9.5m；S3丁坝坝头最大冲刷坑为11.2m、11.4m、11.3m。将N1丁坝坝头沥青沙系列模型试验结果换算至原型值，得到对应比尺为100、150、200三个模型的原型最大冲刷深度分别为10.1m、10.0m和10.2m。与N1丁坝坝头原型沙系列模型试验结果比较，两者最大冲刷深度接近。